Um problema de reflexão (resp.)

 Dando resposta ao desafio aqui publicado a 3 de dezembro de 2008 com o título “ Um problema de reflexão”, propõe-se o seguinte raciocínio.

Se imaginarmos a casota do cão  (ponto B), na outra margem do rio, com certeza que o balde deveria ser cheio no ponto de intersecção do rio com o caminho, em linha reta, entre a casa e a casota do cão. Esta dica é determinante para que possamos imaginar a casota do cão do outro lado do rio, e à mesma distância dele. Ao fim ao cabo, importa determinar a reflexão do ponto B (B’) em relação à reta r. O menor trajeto entre A e B’ é o segmento que une estes dois pontos onde se determina o ponto P na reta r. Então fica determinado o trajeto APB como sendo o menor, uma vez que o segmento de reta PB’ tem o mesmo comprimento do segmento de reta PB.

Poder-se-ia optar por fazer a reflexão do ponto A sobre a reta r. O resultado seria o mesmo (ponto P):

Sentido de número

O “43” que aparece na etiqueta de umas calças não tem o mesmo significado daquele que aparece na senha que retiro à entrada dos serviços das finanças, nem o significado daquele que está sobre a porta de entrada da casa do meu amigo que vestiu a camisola 43 na sua última prova de atletismo. Também este “43” que ostenta a camisola do meu amigo não significa o número de ovelhas que o vizinho do meu avô tinha na aldeia, embora sejam estes os símbolos utilizados para representar a quantidade daqueles animais que habitualmente comiam no prado do senhor Augusto.

Na verdade, o número, para além do seu sentido como cardinal, indicando a quantidade de elementos de um determinado conjunto, pode ter outros significados como sendo a medida de uma calças, a localização de uma casa, a posição numa ordem de atendimento ou a identificação de um atleta.

Mas é no sentido de quantidade que, de um modo geral, todos atribuem significado ao número. Mesmo assim, esse significado não tem o mesmo sentido para cada um de nós. Hoje, 100 euros assumem um sentido muito mais convergente para cada um de nós que há uma década atrás, quando começámos a utilizar esta nova unidade monetária. O sentido de número vai-se desenvolvendo ao longo do tempo, dependendo também das experiências que cada um tem com números. Para uma criança que acaba o seu primeiro ano de escolaridade, não atribui o mesmo significado a 43 cêntimos como um adulto. No entanto, o sentido de número entre duas pessoas com a mesma escolaridade, com certeza, que também não é o mesmo.

Recordo-me de uma expressão que ficou célebre entre nós, de alguém que perdeu o valor de grandeza do número, talvez pela ausência de um referente matemático. Afinal, pretendia saber quanto seria 6% de três mil milhões de euros. “seis vezes três são dezoito, portanto… é fazer as contas”. É claro que com números desta ordem de grandeza, o sentido de número já não é o mesmo para todos. A própria lentidão na resposta revela que o seu sentido de número começa a estar próximo dos seus limites. Havendo espaço para raciocinar, podemos concluir que 6% de 3 mil é uma centésima de 18 mil, ou seja 180. Uma vez que se falava na ordem dos milhões, então estamos a falar de 180 milhões como sendo 6% de 3 mil milhões em euros.

Também a estimativa, ou o processo de estimar, intimamente relacionado com o sentido de número, também se vai desenvolvendo com as experiências matemáticas que cada um de nós vai tendo ao longo da vida, geralmente, associadas a referentes físicos. Mas uma boa estimativa pode implicar também a realização de cálculos intermédios necessitando um bom conhecimento do efeito das operações sobre os números.

Atente-se um pouco sobre o fenómeno que tem ocorrido na informática. Dei conta que ao comprar a minha pen drive com a capacidade de 8 gigabytes ficou sensivelmente ao mesmo preço de uma caixa com dez unidades das antigas e miraculosas disquetes de 3,5 polegadas. Produto que há 20 anos era muitíssimo apreciado, afinal passou a ser uma forma de guardar um livro com mais de 100 páginas num simples bolso de camisa. Mas então quanto deveria custar a minha pen ao preço que era pago naquela altura a capacidade de armazenamento? Parece muito, uma simples pen de 8 Gb custar 2000€? Considerando o que se pagava por aquelas disquetes, este seria um óptimo negócio. No entanto, alguns anos depois, 10€ é o suficiente para comprar uma pen com a capacidade aproximada de 6000 disquetes. Imagina agora a quantidade de livros que posso trazer pendurados no meu porta-chaves?

A regularidade com que estabelecemos relações entre os números e entre as grandezas a eles associados é um ótimo contributo para o desenvolvimento do nosso sentido de número. É neste pressuposto, que proponho um pequeno exercício que provoca a sua intuição matemática e se der ao trabalho do efetuar, com certeza que ganhará um pouco mais de sentido de número.

Então é assim: imagine uma folha de papel com 1 milímetro de espessura e de tamanho indeterminado, podendo fazer dela o número de dobras sucessivas (dobra sobre dobra) que quiser. É claro que com esta espessura é mais um cartão que uma folha de papel, mas assim os cálculos ficam mais simplificados.

Será capaz de fazer uma estimativa de quantas dobras sucessivas, necessita de fazer no mínimo, para que obter uma altura superior à da maior torre do nosso planeta, que foi inaugurada em 2010 no Dubai com 828m de altura? Depois de fazer a sua estimativa comprove-a com os cálculos, e conclua sobre o seu sentido de número.

Divisão de unidades indivisíveis (resp)

Relativamente ao artigo publicado neste blogue a 12 de Novembro de 2008 com o título “Divisão de unidades indivisíveis” chega o momento de refletir um pouco sobre o enigma proposto.

Este enigma é mais um problema  semelhante a outros que se categorizam por alvitrarem as respostas. Também neste caso, embora de forma implícita, fica-se a entender que toda a herança é distribuída pelos 3 filhos. É necessário ter cuidado com este tipo de problemas. Devemos desconfiar quando o enunciado já nos deixa algum “caminho percorrido”. Geralmente esse caminho é o errado conduzindo-nos a situações sem saída.

Na verdade, as partes da herança daqueles três irmãos não constituem a unidade, ou seja, o total da herança;1/2 + 1/3 + 1/9 = 9/18 + 6/18 + 2/18 = 17/18. Assim, 1/18 da herança, o mesmo que 2/36 estava por atribuir. Beremiz, “o homem que sabia contar”, rapidamente se apercebeu da situação para revelar a sua generosidade ao doar seu próprio camelo para engrossar a herança e, por outro lado, retirar dividendos pelo seu bom serviço de tornar possível a divisão da herança em partes inteiras - era necessário que a herança fosse constituída por 36 camelos.

Importa referir, do ponto de vista matemático, que o número de camelos ideal para facilitar a divisão, deve ser um número que, ao mesmo tempo, seja múltiplo de 2, de 3 e de 9. Imaginando-nos agora numa situação idêntica, mas em que o número da camelos eram 52, quantos camelos deveríamos juntar à cáfila de modo a brilhar como Beremiz?

Nota: esta interessante situação pode ser adaptada à de sala de aula para determinar, e atribuir importância em conhecer o conjunto dos números múltiplos do mmc(2,3,9), bem como conectar ao estudo dos critérios de divisibilidade por estes três números.

Harmónica ou aritmética?

A deslocação que diariamente faço para o meu local de trabalho, há dias, foi tema de conversa numa tertúlia de colegas de profissão. Face às medidas de austeridade que o nosso governo nos impõe, ir trabalhar fica muito mais caro. Para além do elevado preço dos combustíveis, agora passo a pagar uma taxa por utilizar uma via que me oferece condições para que chegue mais rápido ao meu local de trabalho. Se não quiser pagar a taxa terei de optar por demorar mais tempo na viagem. Feitas as contas, numa semana é mais um dia de trabalho útil que é gasto em viagens. Mas esta conversa vem a propósito para dar conta da situação enigmática que se levantou nessa discussão.

Quando me desloco para o trabalho, percorro 60km em 24 minutos, mas na viagem de regresso, uma vez que não há horários a cumprir, demoro um pouco mais, 36 minutos para percorrer os mesmos 60 km. Na verdade, tenho abusado na velocidade, 150km/h é o que acusa o ponteiro do velocímetro quando vou para o trabalho ao passo que, no regresso a casa, a velocidade passa a ser de 100km/h.

Mas a observação de um colega não deixa de ser interessante, porque segundo o que ele diz, se passasse a fazer as duas viagens à velocidade de 125km/h, não passaria pela vergonha de ser um prevaricador, e acabaria por gastar o mesmo tempo nas viagens, uma vez que passo a fazer a velocidade média das duas anteriores. Prevaricador continuaria a ser mas a margem de tolerância acabaria por ignorar a minha falta.

Feita a experiência, surge a surpresa. Os resultados ainda são melhores do que se esperava. Anteriormente demorava uma hora para fazer a viagem de ida e volta e agora ainda sobram quase dois minutos e meio. É certo que os 120km de viagem para serem feitos numa hora, basta fazer o percurso à velocidade de 120km/h e não 125km/ como teria sido sugerido pelo meu colega. Mas afinal, a velocidade média entre aquelas duas velocidades é 125 ou 120 km/h?

Na verdade, a média aritmética, vulgarmente conhecida por “média”, entre aquelas velocidades é 125 [(100+150)/2], mas 120 é também a média entre aqueles dois valores, só que neste caso, diz-se média harmónica – que é o inverso da média aritmética dos valores inversos, 2/(1/100+1/150) = 120.

São conceitos diferentes porque se contextualizam em situações diferentes. Uma coisa é querer saber a velocidade média para um determinado percurso sabendo que foram praticadas várias velocidades em distâncias iguais, conforme a situação apresentada. Outra coisa é saber a velocidade média para um determinado percurso sabendo que foram praticadas diferentes velocidades nos mesmos espaços de tempo. Faria sentido determinar a média aritmética se fizesse 30 minutos à velocidade de 100km/h e 30 minutos à velocidade de 150Km/h, ou seja, o mesmo que circular durante uma hora à velocidade de 125Km/h.

Na nossa tertúlia este assunto foi retomado mais tarde para dar conta desta ocorrência. O Artur não querendo acompanhar o raciocínio, espalhou a confusão dizendo que esse problema é o mesmo que se passa com o preço dos combustíveis. Para ele o preço nunca aumenta nem diminui. De cada vez que abastece o seu automóvel paga 20€. Todos sabemos que não é assim porque a quantidade de combustível que se compra com o mesmo dinheiro pode não ser a mesma.

Mas ficámos de saber qual o valor médio do preço do combustível que o Artur comprou nos dois últimos abastecimentos. O primeiro abastecimento foi feito numa bomba de combustível na cidade com um cartão que lhe dava um desconto considerável. O preço da gasolina ficou-lhe por 1,10€ o litro. O segundo abastecimento foi feito na autoestrada onde a gasolina foi vendida a 1,65€ cada litro.

E no caso de ter comprado 10 litros em cada um dos abastecimentos, qual seria o preço médio do combustível?

Fica o repto para que o leitor ajude a determinar o valor médio do preço do combustível para cada uma das situações.

Operações vs algoritmos (resp.)

 

A 4 de Novembro de 2008 ficou aqui lançado o desafio para interpretar o algoritmo da divisão que o Télen tinha levado como trabalho de casa. Chega então a hora de dar resposta ao desafio publicado com o título “Operações vs algoritmos”.

Nada de muito diferente do que habitualmente fazemos. O aspeto do algoritmo não é muito familiar, mas o raciocínio subjacente implica aquele procedimento.

Vejamos! Numa 1ª fase dividiu-se duas centenas em meias centenas, sabendo que ainda sobram 74 unidades para dividir posteriormente. Assim, 2 centenas podem ser divididas por 4 meias centenas.

É de notar que o 4, no quociente, toma a posição das centenas – poderiam ser colocados dois zeros à sua direita.

Continuando com a divisão, damos conta que ainda há, pelo menos, 7 dezenas para dividir em meias dezenas. Assim, às 4 centenas no quociente devem juntar-se as 14 dezenas (14 meias dezenas = 7 dezenas). Nesta segunda fase o algoritmo assume a seguinte figura:

Neste momento já foram divididos 27 dezenas, havendo ainda 4 unidades para dividir em metades, o que nos leva a juntar esses 8 meias unidades ao quociente.

O desenvolvimento deste algoritmo por parte do Télen, dá-nos a perceber o grande sentido de número que tem este aluno tendo em conta que, a sua compreensão do algoritmo, leva a respeitar o valor de posição dos números. Assim, o 8 toma a posição das unidades. Afinal estava a dividir 4 unidades.

Compreende-se então que 274 unidades podem ser divididas em 4 centenas e ainda mais 148 meias unidades. Então resta adicionar o que figura no quociente, sendo que no resto já não há nada mais para dividir.

É certo que este ou outro algoritmo poderia ser dispensado na medida em que o cálculo poderia ser feito mentalmente: 274 dividido em metades obtém-se o dobro desta novas unidades – 400 (dobro de 200) e ainda mais 148 (dobro de 74) o que perfaz 548.

Divisão de apostas

A probabilidade é uma área da matemática com poucos anos de vida. Podemos dizer que o estudo das probabilidades na história da matemática é ainda uma criança, com mais ou menos 350 anos. A sua conceção deve-se aos grandes nomes Blaise Pascal, Pierre Fermat, matemáticos que fazem do séc. XVII uma referência na história na matemática. Foi através da prática de jogos de apostas onde a sorte e o azar, determinando a maior ou menor felicidade dos jogadores, que começou por surgiu o estudo das probabilidades.

Hoje, com um maior conhecimento nesta área da matemática somos levados a rotular determinados jogos como sendo mais de azar do que sorte. Aliás, para que estes jogos sejam rentáveis, aquele que os explora, sabe muito bem que entre estas duas vicissitudes - azar e sorte, não podem ser equiprováveis. De outra forma seria incompreensível a existência de casas de jogo se a “sorte” não lhes fosse muito mais frequente.

A necessidade de calcular a probabilidade de um dado acontecimento ocorrer, só faz sentido se a experiência for aleatória - o que quer dizer que ninguém pode determinar com toda a certeza o que vai ocorrer, ao contrário de uma outra experiência dita determinista que pela sua causalidade sabemos o que acontece. É o exemplo de um automóvel que passa a toda a velocidade por um charco de água que está ao nosso lado – é previsível o que possa acontecer.

O conhecimento mais básico para o cálculo de uma probabilidade surge com uma Lei de um grande matemático que se baseia em conhecer todos os resultados possíveis de uma dada experiência aleatória. Por exemplo, no caso de haver dez bolas numeradas dentro de um saco preto e se pretender retirar uma bola do saco, existe a possibilidade de ocorrer 10 acontecimentos diferentes. Mas se duas das bolas forem vermelhas, dentro dos 10 resultados possíveis, há dois resultados que são favoráveis quando se pretende retirar uma bola vermelha. Assim, a razão entre os dois resultados favoráveis e o número de resultados possíveis (10) é, segundo Laplace, a probabilidade de retirar uma bola vermelha do saco (2/10=20%).

No entanto, ainda não tinha nascido Laplace já Pascal e Fermat trocavam cartas argumentando cada um a melhor estratégia para resolver um problema (de probabilidades) onde se pretendia a divisão de um prémio (valor que os jogadores apostaram) num jogo que teve de ser interrompido.

Os dois jogadores tinham de jogar uma séria de partidas justas arrecadando o valor da aposta aquele que obtivesse, em primeiro lugar, 6 vitórias. Acontece que, por situações imprevistas, o jogo teve de ser interrompido no momento em que o jogador A tem 5 vitórias e o jogador B tem 3 vitórias. A questão que se colocava e que foi analisada por muitos matemáticos era encontrar a forma mais justa de fazer a divisão do valor que estava em aposta entre os dois jogadores.

Uma solução que acabou por ser rebatida por Pascal e Fermat, atribuía 5/8 do prémio ao jogador A, e 3/8 de prémio ao jogador B. Esta visão matemática onde transparece um raciocínio proporcional tendo em conta o número de partidas que foram realizadas (8), nada tinha a ver com a realidade que se focava naquilo que ainda faltava jogar.

Desta forma o problema foi tratado, por largos anos, como sendo um problema de proporções, quando afinal, tratava-se de um problema de probabilidades, uma vez que o prémio deveria ser repartido de acordo com a probabilidade que cada um tinha no momento da interrupção em ganhar aquela série de partidas.

Embora Fermat e Pascal tenham seguido percursos diferentes mas ambos chegaram a um acordo em relação à resposta deste problema. Assim já não foi entendido por D’Alembert que, um século depois, apresenta uma divisão justa para este problema com uma resposta diferente, baseada no seguinte raciocínio:

No caso de o jogo continuar, havia a possibilidade de ainda serem efetuadas três partidas, acabando o jogo se o jogador A ganhasse em qualquer uma delas. Esquematicamente teríamos:

De acordo com este pensamento e segundo a lei de Laplace, o jogador A reunia três resultados favoráveis, o que lhe permitia arrecadar 3/4 do prémio sendo o restante para o jogador B. É certo o reconhecimento do pensamento sofisticado de D’Alembert ao seguir um novo conhecimento matemático – a teoria da probabilidade.

No entanto, esta abordagem a este tipo de problema é conhecida pelo erro D’Alembert. Quem estava certo eram aqueles dois matemáticos que 100 anos antes já tinham chegado à conclusão que o jogador A deveria receber 7/8 do prémio e o jogador B, 1/8 do prémio. Fica agora o desafio lançado para que o leitor justifique estas respostas dadas por Fermat e Pascal, tendo por base a razão entre os resultados favoráveis e os resultados possíveis nesta situação de jogo.

Problemas com moedas (resp.)

Relativamente ao artigo publicado a 19 de Outubro de 2008 com o título “Problemas com moedas” sugiro uma experiência para que cada um tire as suas ilações.

Relembro que de acordo com o problema colocado, podemos imaginar uma situação análoga onde nos encontramos de olhos vendados e nos é pedido para separar 40 moedas em dois grupos sendo que, cada um deles deve ter o mesmo número de moedas com a cara voltada para cima. Sabe-se ainda que naquele grupo de 40 moedas existem 18 moedas com a cara voltada para cima.

Talvez não seja fácil reunir 40 moedas, mas a simulação pode recorrer a simples papéis em vez de moedas. Neste caso, será necessário marcar nos 40 papéis o seu verso para que se possa distinguir a “cara” da “coroa”, por exemplo, com uma cruz. Dito isto, falta espalhar os papéis em cima de uma mesa de modo a ser possível contar 18 cruzes. Estamos prontos para fazer a experiência.

Pois bem, agora com a ajuda de uma mica (bolsa plástica para guardar documentos), deve separar quaisquer 18 papéis daquele grupo de 40, e colocá-los um a um na mica, sem que fiquem sobrepostos e com a certeza de que não vira nenhum ao contrário.

Agora, apenas tem de voltar a mica ao contrário e observar muito bem o sucedido. Ficamos com um grupo de 22 papéis em cima da mesa que faziam parte do grupo inicial, e um grupo de 18 papéis no interior da mica. O mais interessante é verificar que tanto num grupo como no outro se podem contar o mesmo número de cruzes.

O prognóstico daquilo que terá feito o condenado à morte, no problema inicial, já não parece ser difícil.

Assim, bastava retirar quaisquer 18 moedas para o lado, uma a uma, com o cuidado de as voltar ao contrário. Seria o suficiente para ter a garantia de que já seria executado…

Trata-se de um problema cuja resolução tem um procedimento fácil, mas de difícil compreensão. É por isso que sugiro que sejam feitas outras experiências com um menor número de moedas.

Boas experiências!

Um sétimo

Os números escondem segredos que, a pouco a pouco, vão-se desvendando e fazendo da matemática também uma ciência sempre em evolução. Com um olhar mais atento, surgem sempre novas relações entre os números, que para muitos não passam de meras curiosidades, mas fundamentais para o desenvolvimento de mecanismos, por exemplo, os tecnológicos que determinam substancialmente a qualidade das nossas vidas. Numa sociedade cada vez mais tecnológica, não nos apercebemos, por vezes, da importância desta ciência - a matemática.

Mas, hoje apenas quero enobrecer a curiosidade, de entre muitos fenómenos numéricos, um que também contribui para a reflexão matemática e sensibilidade para apreciar um pouco mais esta ciência.

Eu, pessoalmente, tenho uma particular paixão pelo número 9, é um número ao qual se associa grandes mistérios. Mas hoje vou colocá-lo de fora. Não quero qualquer vestígio deste número, por isso, elimino também o 3 para não correr o risco de se transformar num quadrado. E, já agora, que se exclua também o 6, não vá ele voltar-se ao contrário. Resta assim, dentro dos números naturais de um dígito, considerar o 1, 2, 4, 5, 7 e 8.

Alinhados desta forma e agrupados a pares corre-se o risco de juntar o 1º com o último, o 2º com o penúltimo e o 3º com o antepenúltimo. Se assim for, obtemos 3 grupos de 9: 1+8; 2+7, 4+5. E voltamos a falar do 9. Então é necessário propor outro alinhamento, por exemplo: 142857.

À primeira vista parece ser um número vulgar, mas na verdade tem uma particularidade muito interessante. O seu dobro é constituído pelos mesmos algarismos: 2 x 142857 = 285714. Também é interessante verificar que todos eles continuam com o seu companheiro – 14; 28 e 57.

E no caso de considerarmos o triplo, o número continua teimoso: 3 x 142857 = 428571. Em relação ao dobro, o 4 deixa a sua posição mais à direita e toma posição mais à esquerda ficando o resto invariante. Insistem em ser uma família unida.

Nesta altura começamos a pensar que não é possível haver um número mais teimoso que nós. Por isso, é inevitável a multiplicação por 4; 4 x 142857 = 571428. É incrível o que sucede! Para além de continuar com os mesmos números, agora estão novamente emparelhados como no início: 14; 28 e 57

Ninguém resiste à próxima experiência; 5 x 142857 = 714285. Agora foi a vez do 5 abandonar a esquerda e tomar a direita.

E também não é a multiplicação por seis que separa aquela família; 6 x 142857 = 857142, embora estivesse à espera que neste produto os pares tornar-se-iam a reconciliar. Mas neste caso, o dois está separado do oito.

Na verdade, não deixa de ser apenas uma ilusão. Imagine-se esta sequência a originar a seguinte sucessão: 142857142857142857… todos os produtos até agora determinados podem aí ser identificados. E nenhum número abandona o seu companheiro.

142857142857…

142857142857…

142857142857…

142857142857…

142857142857…

Acredito que nesta altura o leitor já tenha feito o produto por 7. Se é o caso, deve ter ficado de boca aberta.

E no caso de ter feito o produto por 8 não pense que esta família tenha desistido…. Repare-se no resultado: 1142856. Desapareceu o 7, mas fê-lo representar pela vinda do 1 e do 6 (1+6). É incrível! O mesmo sucedendo com a última experiência que nos falta: 9 x 142857 = 1285713. O 4 foi descansar, no entanto, foi substituído por 1 e por 3 (1+3).

Mas os poderes deste número não se ficam por aqui. Com certeza que vai admirar a harmonia numérica se aos produtos que resultaram destas experiências forem novamente multiplicados por 7.

142857	x	2	x	7	=	1999998
142857	x	3	x	7	=	2999997
142857	x	4	x	7	=	3999996
142857	x	5	x	7	=	4999995
142857	x	6	x	7	=	5999994
142857	x	7	x	7	=	6999993
142857	x	8	x	7	=	7999992
142858	x	9	x	7	=	9000054

Logo vi se o “nove” não estaria também envolvido neste mistério... Será que agora o leitor consegue encontrar uma razão para que o título desde artigo seja ”um sétimo”?