domingo, 29 de julho de 2012

ABCABC

Cada vez são mais as pessoas que praticam exercício físico. Alguns é pelo reconhecimento de como ele é fundamental para a manutenção da vida, mas outros será por razões de ordem inferior - a elegância. No entanto, no que diz respeito à manutenção ou à higiene mental, parece haver cada vez menos pessoas preocupadas com este assunto. Talvez por não ser visível na passerelle.

ABCABCMesmo assim, ainda vai havendo umas minorias que gostam de praticar exercício mental. Para quem quiser fazê-lo recomendo uma visita ao “ginásio” RECREAMAT. Foi aí que descobri um desafio deixado por uma frequentadora daquele local que dizia: “gostaria de saber porque é que qualquer número de 3 algarismos repetidos, exemplo 123123, a dividir por 91 é sempre possível?”

De facto é verdade, um número do tipo ABCABC é sempre múltiplo de 91. Há uma outra particularidade muito interessante num número com este formato. O leitor pode fazer a experiência, digite numa calculadora um qualquer número de três dígitos. Por mais desinteressante que seja o número escolhido, repita-o para que passe a obter um número muito especial (com o formato ABCABC).

Se quiser saber porque razão será assim tão especial, divida esse número por 7 e vai ver que vai obter um número inteiro. Se tornar a dividir por 11 vai constatar que continua com um número inteiro, e se o dividir novamente por 13, então vai-me dar razão. A magia do número faz com que apareça na calculadora o número inicial. Não é espantoso?

Dá vontade de fazer uma nova experiência. Por exemplo, vamos escolher o número 379.

Repetimo-lo e obtemos 379379

i) 379379 : 7 = 54197

ii) 54197 : 11 = 4927

iii) 4927 : 13 = 379

E voltamos novamente ao 379.

Importa estabelecer uma relação entre o número inicial (3 dígitos) e o número de 6 dígitos. Quantas vezes é maior o número com o formato ABCABC em relação ao número com o formato ABC?

Os três dígitos iniciais formados pelo número (ABC) passam a formar a classe dos milhares porque tomam um valor de posição mil vez superior em relação à situação anterior (ABC000). Isto é ABC x 1000 = ABC000.

Se a ABC000 adicionarmos novamente ABC obtemos ABCABC, de onde se conclui que ABCABC é 1001 vezes maior que ABC.

Portanto, temos que ABCABC = 1001 x ABC. Então qualquer número com este formato é sempre múltiplo de 1001. Assim se percebe que dividindo qualquer número composto por 3 algarismos repetidos, no formato de ABCABC, por 1001 obtemos sempre ABC.

Foi isso que foi feito anteriormente. O número foi dividido por 7 depois por 11 e finalmente por 13. Esta é uma particularidade muito interessante do número 1001, decomposto em fatores primos: 1001=7x11x13.

Assim sendo, qualquer número ABCABC é múltiplo de 1001, mas também é múltiplo de 7, de 11, de 13 e de que quantos mais números?

ABCABC = 7 x 11 x 13 x ABC

ABCABC = 7 x 143 x ABC

ABCABC = 77 x 13 x ABC

ABCABC = 11 x 91 x ABC

ABCABC = 1001 x ABC

Parece que agora fica claro em como aquele número é sempre múltiplo de 91 como também é de 77 ou de 143…

E se o número tivesse o formato ABCDABCD, será que num procedimento idêntico conseguimos obter ABCD?

sexta-feira, 6 de julho de 2012

O problema dos quatro quatros

 
Malba Tahan (2001) propõe no seu livro " O homem que calculava" (título original) um problema curioso que tem feito perder muitas horas aos amigos da matemática mais perseverantes, como sendo possível escrever os números inteiros  até 100 apenas com quatro quatros.
O problema apresenta-se: "Escrever com quatro quatros e sinais matemáticos, uma expressão que seja igual a um número inteiro dado. Na expressão não pode figurar (além dos quatro quatros) nenhum algarismo ou letra ou símbolo algébrico que envolva letra, tais como: log., lim., etc."
A imagem exemplifica uma das representações dos números inteiros até 10, onde se incluem as notações e operações possíveis. Não é permitida qualquer outra notação a não ser os parêntesis retos.
A ideia é descobrir os outros 90 números. Vamos ver quem dá maiores
contributos.
Tendo em conta que escrever matemática em texto corrido são necessárias algumas adaptações, registam-se os exemplos dados na figura:
0= 44-44
1= 4:4x4:4
2= 4/4+4/4
3= (4+4+4):4
4= 4?-Rq(4)-Rq(4)-Rq(4)
5= 4+4^(4-4)
6= 4!x4:4:4
7= Rq(4)+4+4:4
8= 4+4+4:4
9= 4/4+4+4
10= (44-4):4
 
Aqui pode consultar a lista com os números que já foram descobertos.
Nota: 
- não se admite outra raiz senão a quadrada
- o fatorial está representado por "!"   - n! é o produto de todos os números naturais menores ou iguais a n. (ex: 4!=24)
- o termial está representado por "?"   - n? é a soma de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. (ex: 4?=10)