Harmónica ou aritmética?

A deslocação que diariamente faço para o meu local de trabalho, há dias, foi tema de conversa numa tertúlia de colegas de profissão. Face às medidas de austeridade que o nosso governo nos impõe, ir trabalhar fica muito mais caro. Para além do elevado preço dos combustíveis, agora passo a pagar uma taxa por utilizar uma via que me oferece condições para que chegue mais rápido ao meu local de trabalho. Se não quiser pagar a taxa terei de optar por demorar mais tempo na viagem. Feitas as contas, numa semana é mais um dia de trabalho útil que é gasto em viagens. Mas esta conversa vem a propósito para dar conta da situação enigmática que se levantou nessa discussão.

Quando me desloco para o trabalho, percorro 60km em 24 minutos, mas na viagem de regresso, uma vez que não há horários a cumprir, demoro um pouco mais, 36 minutos para percorrer os mesmos 60 km. Na verdade, tenho abusado na velocidade, 150km/h é o que acusa o ponteiro do velocímetro quando vou para o trabalho ao passo que, no regresso a casa, a velocidade passa a ser de 100km/h.

Mas a observação de um colega não deixa de ser interessante, porque segundo o que ele diz, se passasse a fazer as duas viagens à velocidade de 125km/h, não passaria pela vergonha de ser um prevaricador, e acabaria por gastar o mesmo tempo nas viagens, uma vez que passo a fazer a velocidade média das duas anteriores. Prevaricador continuaria a ser mas a margem de tolerância acabaria por ignorar a minha falta.

Feita a experiência, surge a surpresa. Os resultados ainda são melhores do que se esperava. Anteriormente demorava uma hora para fazer a viagem de ida e volta e agora ainda sobram quase dois minutos e meio. É certo que os 120km de viagem para serem feitos numa hora, basta fazer o percurso à velocidade de 120km/h e não 125km/ como teria sido sugerido pelo meu colega. Mas afinal, a velocidade média entre aquelas duas velocidades é 125 ou 120 km/h?

Na verdade, a média aritmética, vulgarmente conhecida por “média”, entre aquelas velocidades é 125 [(100+150)/2], mas 120 é também a média entre aqueles dois valores, só que neste caso, diz-se média harmónica – que é o inverso da média aritmética dos valores inversos, 2/(1/100+1/150) = 120.

São conceitos diferentes porque se contextualizam em situações diferentes. Uma coisa é querer saber a velocidade média para um determinado percurso sabendo que foram praticadas várias velocidades em distâncias iguais, conforme a situação apresentada. Outra coisa é saber a velocidade média para um determinado percurso sabendo que foram praticadas diferentes velocidades nos mesmos espaços de tempo. Faria sentido determinar a média aritmética se fizesse 30 minutos à velocidade de 100km/h e 30 minutos à velocidade de 150Km/h, ou seja, o mesmo que circular durante uma hora à velocidade de 125Km/h.

Na nossa tertúlia este assunto foi retomado mais tarde para dar conta desta ocorrência. O Artur não querendo acompanhar o raciocínio, espalhou a confusão dizendo que esse problema é o mesmo que se passa com o preço dos combustíveis. Para ele o preço nunca aumenta nem diminui. De cada vez que abastece o seu automóvel paga 20€. Todos sabemos que não é assim porque a quantidade de combustível que se compra com o mesmo dinheiro pode não ser a mesma.

Mas ficámos de saber qual o valor médio do preço do combustível que o Artur comprou nos dois últimos abastecimentos. O primeiro abastecimento foi feito numa bomba de combustível na cidade com um cartão que lhe dava um desconto considerável. O preço da gasolina ficou-lhe por 1,10€ o litro. O segundo abastecimento foi feito na autoestrada onde a gasolina foi vendida a 1,65€ cada litro.

E no caso de ter comprado 10 litros em cada um dos abastecimentos, qual seria o preço médio do combustível?

Fica o repto para que o leitor ajude a determinar o valor médio do preço do combustível para cada uma das situações.