Sentido de número

O “43” que aparece na etiqueta de umas calças não tem o mesmo significado daquele que aparece na senha que retiro à entrada dos serviços das finanças, nem o significado daquele que está sobre a porta de entrada da casa do meu amigo que vestiu a camisola 43 na sua última prova de atletismo. Também este “43” que ostenta a camisola do meu amigo não significa o número de ovelhas que o vizinho do meu avô tinha na aldeia, embora sejam estes os símbolos utilizados para representar a quantidade daqueles animais que habitualmente comiam no prado do senhor Augusto.

Na verdade, o número, para além do seu sentido como cardinal, indicando a quantidade de elementos de um determinado conjunto, pode ter outros significados como sendo a medida de uma calças, a localização de uma casa, a posição numa ordem de atendimento ou a identificação de um atleta.

Mas é no sentido de quantidade que, de um modo geral, todos atribuem significado ao número. Mesmo assim, esse significado não tem o mesmo sentido para cada um de nós. Hoje, 100 euros assumem um sentido muito mais convergente para cada um de nós que há uma década atrás, quando começámos a utilizar esta nova unidade monetária. O sentido de número vai-se desenvolvendo ao longo do tempo, dependendo também das experiências que cada um tem com números. Para uma criança que acaba o seu primeiro ano de escolaridade, não atribui o mesmo significado a 43 cêntimos como um adulto. No entanto, o sentido de número entre duas pessoas com a mesma escolaridade, com certeza, que também não é o mesmo.

Recordo-me de uma expressão que ficou célebre entre nós, de alguém que perdeu o valor de grandeza do número, talvez pela ausência de um referente matemático. Afinal, pretendia saber quanto seria 6% de três mil milhões de euros. “seis vezes três são dezoito, portanto… é fazer as contas”. É claro que com números desta ordem de grandeza, o sentido de número já não é o mesmo para todos. A própria lentidão na resposta revela que o seu sentido de número começa a estar próximo dos seus limites. Havendo espaço para raciocinar, podemos concluir que 6% de 3 mil é uma centésima de 18 mil, ou seja 180. Uma vez que se falava na ordem dos milhões, então estamos a falar de 180 milhões como sendo 6% de 3 mil milhões em euros.

Também a estimativa, ou o processo de estimar, intimamente relacionado com o sentido de número, também se vai desenvolvendo com as experiências matemáticas que cada um de nós vai tendo ao longo da vida, geralmente, associadas a referentes físicos. Mas uma boa estimativa pode implicar também a realização de cálculos intermédios necessitando um bom conhecimento do efeito das operações sobre os números.

Atente-se um pouco sobre o fenómeno que tem ocorrido na informática. Dei conta que ao comprar a minha pen drive com a capacidade de 8 gigabytes ficou sensivelmente ao mesmo preço de uma caixa com dez unidades das antigas e miraculosas disquetes de 3,5 polegadas. Produto que há 20 anos era muitíssimo apreciado, afinal passou a ser uma forma de guardar um livro com mais de 100 páginas num simples bolso de camisa. Mas então quanto deveria custar a minha pen ao preço que era pago naquela altura a capacidade de armazenamento? Parece muito, uma simples pen de 8 Gb custar 2000€? Considerando o que se pagava por aquelas disquetes, este seria um óptimo negócio. No entanto, alguns anos depois, 10€ é o suficiente para comprar uma pen com a capacidade aproximada de 6000 disquetes. Imagina agora a quantidade de livros que posso trazer pendurados no meu porta-chaves?

A regularidade com que estabelecemos relações entre os números e entre as grandezas a eles associados é um ótimo contributo para o desenvolvimento do nosso sentido de número. É neste pressuposto, que proponho um pequeno exercício que provoca a sua intuição matemática e se der ao trabalho do efetuar, com certeza que ganhará um pouco mais de sentido de número.

Então é assim: imagine uma folha de papel com 1 milímetro de espessura e de tamanho indeterminado, podendo fazer dela o número de dobras sucessivas (dobra sobre dobra) que quiser. É claro que com esta espessura é mais um cartão que uma folha de papel, mas assim os cálculos ficam mais simplificados.

Será capaz de fazer uma estimativa de quantas dobras sucessivas, necessita de fazer no mínimo, para que obter uma altura superior à da maior torre do nosso planeta, que foi inaugurada em 2010 no Dubai com 828m de altura? Depois de fazer a sua estimativa comprove-a com os cálculos, e conclua sobre o seu sentido de número.

Mais um metro de perímetro

Que significado poderá ter o ente matemático 2πr? É normal que qualquer aluno, a partir do 2º Ciclo do Ensino Básico, diga que se trata do perímetro de um círculo cujo raio é r. Será que nos podemos dar por satisfeitos quando o aluno aplica a fórmula para calcular o comprimento de uma circunferência?

Tenho vários exemplos de alunos que aplicam bem a fórmula para o cálculo do perímetro quando lhes é dado o raio ou até o diâmetro. No entanto, porque razão grande parte destes alunos ficam sem resposta e outros arriscam com grande erro, quando lhes é pedido para fazerem uma estimativa sobre o número de diâmetros que cabem no perímetro de um dado círculo?

Na verdade, nem todos os alunos atribuem o mesmo significado a “pi”, embora saibam que é um valor aproximado de 3. Importa, pois, que o professor interrogue: três, quê?

Será que aqueles que são mais desenvoltos no domínio desta noção, de relacionar o perímetro de um círculo com o seu diâmetro, estão à altura de interpretar, em toda a sua plenitude, estas relações?

Eu estava convencido que não necessitava de reflectir mais sobre esta relação, até ao dia em que, já no ensino superior, o meu ilustre professor, Domingos Rijo, colocou à turma o seguinte desafio:

Imaginem uma esfera do tamanho do nosso planeta e que passamos uma corda em toda a sua volta de modo a obtermos o perímetro do seu maior círculo. A essa corda acrescentamos um metro de corda. Seguramente, vamos obter uma folga como ilustra a figura. Será que essa folga é suficiente de modo a passar por ela um gato?

Foi unânime a intuição matemática da turma em admitir que seria insignificante o aumento de um metro em todo aquele comprimento de milhares de quilómetros de corda. Portanto, a folga criada seria insuficiente para que passasse um gato.

A mesma experiência foi proposta numa bola de futebol. Da mesma forma, acrescenta-se um metro à corda que corresponde ao perímetro do círculo máximo da bola. Nesta segunda experiência, ninguém hesitou em reconhecer que a folga criada com o aumento da corda já seria mais que suficiente para passar um gato.

Mas, de acordo com o conhecimento da relação entre o diâmetro do círculo e o seu perímetro, podemos afirmar que está na razão aproximada de 1 para 3. Quer isto dizer que para um diâmetro com uma unidade de comprimento, obtemos um perímetro aproximado de 3 unidades de comprimento. Assim, na razão inversa, um perímetro de um círculo com uma unidade de comprimento, corresponde a um diâmetro aproximado de uma terça parte. Então, nas experiências anteriores, como o aumento do perímetro era o mesmo, implica um aumento no diâmetro no mesmo valor, isto é, aproximadamente uma terça parte de um metro.

Imaginando que a experiência era feita com uma bola de golf e admitindo que uma folga de 10 cm é o suficiente para um gato passar, de quanto se teria de aumentar a corda para que o gato pudesse passar entre a bola e a corda? E em relação ao mundo, quanto teria de ser esse aumento?

Uma questão de percentagem…

Com a aproximação da época balnear, aumenta a preocupação dos agentes responsáveis pela saúde pública face ao apetite pelo “trabalho” excessivo, onde a maioria das pessoas se empenha na maior produção do seu “bronze”. Isto talvez se deva ao facto de este “trabalho” ser o único que contraria as leis da Física, uma vez que pode ser realizado sem qualquer movimento.

A desidratação é um dos problemas em questão, daí as recomendações surgirem em todos os meios de comunicação social para que ninguém seja apanhado desprevenido. Mesmo assim, há sempre casos a relatar devido à falta de controlo dos índices aquosos. Não é por acaso que este solvente, imprescindível ao bom funcionamento de qualquer organismo vivo, é o constituinte do nosso organismo em maior percentagem.

À medida que a idade do ser humano vai avançando a percentagem de água no seu corpo vai diminuindo, seguindo quase um processo de desidratação. A partir dos 60 anos de idade, a percentagem de água no seu corpo é praticamente responsável por metade do seu peso. No caso das crianças, nos seus primeiros anos de vida, a percentagem de água no seu corpo é muito elevada, chegando a valores próximos de 80%.

Pelo que digo, nem parece que hoje o assunto seja matemática. No entanto, para que seja possível a compreensão do texto é necessário ter presente um conceito matemático – a percentagem. Nos dias de hoje, a solicitação a esta noção é tão grande que todo o público, mesmo não tendo uma apropriação plena deste conceito, de uma ou outra forma, certamente já incluiu este termo no seu discurso. Quanto mais não seja para saber o valor do seu vencimento após o anúncio de um possível aumento.

É no sentido de poder aferir se o leitor tem um bom domínio deste conceito que proponho o desafio de hoje. Trata-se de uma adaptação de um problema proposto pelo prof. Nuno Crato de um recente livro seu intitulado “A Matemática das Coisas”, onde alvitra de forma muito curiosa, como uma melancia pode reduzir substancialmente o seu peso condicionado por uma suposta perda mínima de água.

Analise-se, então, o que poderia suceder com uma criança de 3 anos, onde supostamente a percentagem de água no seu corpo é de 80%. Fica claro que admitimos, neste caso, que a massa sólida do seu corpo corresponde a 20%.

Vamos imaginar que os pais da Maria, em férias na praia, estão tão empenhados no “trabalho do bronze” que se descuidam e deixam que a percentagem de água no corpo da sua filha passe a ser idêntica à do seu avô. Esta desidratação, na criança, fez com que a percentagem de água no seu corpo passasse a ser na ordem dos 60%. Será que se pode considerar um descuido grave por parte dos pais? Imaginando que a Maria pesava 14kg e que sua perda de peso se deve exclusivamente à perda de água, quanto pesa agora a criança?

Antes de fazer os seus cálculos, sugiro que faça em primeiro lugar uma estimativa de quanto passaria a ser o peso da Maria. Só depois deve confirmar a sua estimativa. Mas se o resultado indicar que a criança passa a ter um peso superior a 11kg é porque cometeu um erro de cálculo ou de interpretação. Se for o caso, tente de novo. Não desista até encontrar o resultado certo. Um valor plausível para a solução do problema é garantidamente inferior a 8Kg.

Comunicação matemática

A propósito da baixa de preços dos combustíveis, vários têm sido os comunicados a dar conta desse acontecimento. Mas com tantas baixas de preço, difícil é compreender como é que ainda só houve uma redução de cerca de 25% no preço do combustível, após ter atingido o seu valor máximo, quando a matéria-prima, sendo um factor determinante para o apuramento do preço ao consumidor final, (pelo menos sempre foi essa a justificação para o aumento do preço dos combustíveis), já desceu cerca de 70% em relação ao seu valor máximo.

Bom, mas isto é apenas um desabafo, o que me leva a escrever este artigo prende-se com a forma como são comunicados os novos valores do precioso líquido. Foram já vários os comunicados na rádio em que tive dificuldade na interpretação da comunicação. Será por se tratar de conteúdo essencialmente matemático?

Um dia destes ouvi na rádio, “a partir da meia-noite o combustível vai estar mais barato, sofre uma redução de zero, vírgula, zero, vinte e cinco cêntimos”. Quando não consigo atribuir significado a um número de euros, tenho a tendência para recorrer à moeda que ainda tenho como referência – o escudo, foi o caso. No entanto, o meu cálculo mental não foi suficientemente rápido para fazer a conversão. A jornalista adiantava: “o preço do litro do gasóleo passará a custar novecentos e quarenta e oito cêntimos”.

Fiquei ainda mais confuso. Afinal, trata-se de uma baixa de preço ou um agravamento substancial? Todos sabem que um euro ou cem cêntimos é a mesma quantia. Tratando-se de novecentos cêntimos, já nem quero saber do que vai para além disso, estão em causa, pelo menos, 9 euros.

Nem quero imaginar quando o preço do combustível possa chegar a esse valor. Faço votos, para que nessa altura, a dependência do gasóleo ou da gasolina seja a mesma como a que hoje temos em relação à água que corre no chafariz da aldeia.

Na comunicação social, torna-se evidente a falta de rigor da linguagem matemática, parecendo que a comunicação é perfeita, quando na verdade, é o receptor que a transforma, de acordo com a sua contextualização, naquilo que é previsível. Talvez seja esta a causa por haver necessidade de tantas rectificações orçamentais, principalmente quando envolvem grandes números. Só consigo compreender a coragem de ser feita uma comunicação deste teor, quando o comunicador fala de qualquer coisa para a qual não lhe atribui sentido.

É neste contexto, numa tentativa de percebermos o que é que falha nesta comunicação, que lanço o repto para uma análise mais cuidada. Pegando na frase que nos dá conta do abatimento do valor do combustível em “zero, vírgula, zero, vinte e cinco cêntimos”, ao certo, de quanto é este valor em escudos? Para facilitar os cálculos, considere por arredondamento, que um cêntimo equivale a 2 escudos. Recordo ainda que aquelas moedas, a que chamávamos “tostões”, eram necessárias 10 para obter um escudo. E que essas moedas, as mais antigas, ostentavam numa das suas faces o símbolo “X” e a palavra “centavos”.

Problemas com moedas

A resolução de problemas é reconhecida universalmente como sendo um item fundamental e de especial relevância nas aprendizagens. É indiscutivelmente um processo que promove o desenvolvimento do raciocínio e a construção de processos cognitivos de nível superior, como seja conjecturar, testar, validar, reflectir…

Mesmo assim, o conceito de problema ainda hoje não converge no seio da comunidade educativa. Tanto que, são vários os investimentos por parte de alguns matemáticos que se empenham na melhor definição deste conceito. Mas, partilhando a ideia de que um bom problema, entre outras características, deve ser interessante, desafiador, sem resposta imediata, mas cuja resolução seja possível por parte do resolvedor, contudo, nem sempre é possível reunir todas elas, pois existe uma comunidade de resolvedores muito heterogénea.

Serve de exemplo um problema de Brian Bolt, matemático que muito tem contribuído para motivar o interesse pela matemática. Trata-se de um problema desafiador que, caso o leitor já o conheça, deixará de ser um desafio, e por conseguinte, perderá algum do seu interesse natural.

“Disponha de oito moedas, como se indica na figura formando um quadrado com três moedas em cada lado.

Agora desloque quatro moedas para formar um quadrado com quatro moedas em cada lado!”

Por favor não continue a leitura enquanto não pensar um pouco na resolução do problema.

Este problema é normalmente classificado como sendo de tipo puzzle – não necessita de grandes conhecimentos para ser resolvido, a solução pode surgir num clique, a tal Eureka!

A disposição das moedas apresentada já é algo interessante e até poderia servir de solução a outro problema onde fosse necessário formar 8 soldados em 4 filas havendo apenas 3 soldados em cada fila.

O que poderia parecer impossível, por falta de 4 soldados, afinal, torna-se de fácil resolução se 4 soldados puderem ser contados duas vezes. Assim a disposição em quadrado, como na figura, seria a solução. O soldado que fica no vértice do quadrado será contado duas vezes.

A partir desta experiência torna-se mais fácil a descoberta da solução do problema proposto. Também neste caso para se obter um quadrado com 4 moedas em cada lado, e dispondo apenas de 8 moedas, só nos resta dispô-las de tal forma que cada moeda possa ser contada duas vezes, isto é, cada moeda tem que estar simultaneamente em dois lados.

Assim, basta deslocar as 4 moedas que se encontram no meio de cada lado e sobrepô-las nas moedas que formam os vértices. Temos assim 4 moedas em cada lado num quadrado formado por oito moedas. Interessante, não é?! Quando se sabe, é fácil!

Mas, tão fácil como esta resolução é também uma outra para o problema que apresento de seguida. Na minha opinião, trata-se de um problema dos mais fascinantes devido à facilidade com que pode ser resolvido mas, à primeira vista, parece ser impossível de resolver.

Imagine-se na situação de um condenado à morte que apenas tem uma só noite até à sua execução. Na masmorra onde está preso não entra qualquer luz. Os soldados visitam-no pela última vez para lhe transmitirem a decisão que o imperador tomou por influência do povo, uma vez que sabiam que você era um bom resolvedor de problemas.

Um soldado lê o comunicado: como podes verificar, ficam aqui na mesa 40 moedas. Apenas 18 destas moedas estão viradas com a cara para cima. Se amanhã quando te viermos buscar, as moedas estiverem divididas em 2 grupos, de forma que os 2 grupos tenham o mesmo número de moedas com a cara virada para cima, então, não serás executado.

Os soldados saem, fecham a porta, e fica completamente escuro sem ter qualquer possibilidade de ver as moedas.

O que faria para não ser executado?

Nota: O desgaste das moedas não lhe permite através do tacto identificar a cara ou a coroa da moeda. Caso não encontre a solução de imediato, sugiro que tente reduzir o problema a uma situação mais simples simulando-o com poucas moedas.

proposta de resolução

Sinal de perigo

São muitos os casos em que, na estrada, aparecem sinais de trânsito com informação que exige conhecimento matemático.

Também eu, quando tive de me preparar para o exame de condução, dei conta que um sinal triangular sugerindo uma descida e, acompanhado por um valor percentual, dá a indicação de uma situação de perigo devido à inclinação da descida que se aproxima ser demasiado acentuada. Por vezes, até é acompanhado de um painel adicional dizendo: “trave com o motor” ou “teste os travões”.

Imagine-se no ponto A da figura . Na sua opinião, que ponto ligaria ao ponto A para obter um declive que se aproxime daquele que é indicado no sinal de trânsito (10%)? E se o declive fosse de 100%, qual seria o ponto a ligar a A?

Proposta de resolução

Desidratação

Imagine-se uma melancia com 1kg e atente-se na seguinte questão:

Apenas 1 por cento da massa da melancia é sólida, os outros 99 por cento são água. A melancia é posta ao sol e desidrata-se. Passa a ter apenas 98 por cento de água. A pergunta é: quanto pesa agora a melancia?

retirado de Crato, N. (2008). A Matemática das Coisas. Lisboa: Gradiva

Antes de fazer cálculos, será que é capaz de fazer uma estimativa do peso da melancia? Agora confirme a sua estimativa, mas se o resultado for superior a novecentos gramas, cometeu um erro de cálculo ou de interpretação. Se for o caso, tente de novo. Garanto-lhe que é um valor inferior a seiscentos gramas.

Proposta de resolução

Estátua

A baía do porto de Nova York vangloria-se com a distinta estátua da Liberdade com 57 metros de altura e 225 toneladas de cobre.
Sem recorrer a qualquer algoritmo, nem à máquina de calcular, que quantidade de cobre preciso para fazer uma réplica desta estátua com 57 dm de altura?

resposta sugerida

Rodas dentadas

Imagine-se uma roda dentada, fixa, com 30 dentes. Uma outra roda mais pequena, apenas com 10 dentes, roda à volta da primeira.
Quantas voltas dá a roda mais pequena em torno de si própria, depois de dar uma volta completa em torno da roda fixa?

Propondo uma resposta