quarta-feira, 20 de abril de 2011

Divisão de apostas

A probabilidade é uma área da matemática com poucos anos de vida. Podemos dizer que o estudo das probabilidades na história da matemática é ainda uma criança, com mais ou menos 350 anos. A sua conceção deve-se aos grandes nomes Blaise Pascal, Pierre Fermat, matemáticos que fazem do séc. XVII uma referência na história na matemática. Foi através da prática de jogos de apostas onde a sorte e o azar, determinando a maior ou menor felicidade dos jogadores, que começou por surgiu o estudo das probabilidades.

clip_image002Hoje, com um maior conhecimento nesta área da matemática somos levados a rotular determinados jogos como sendo mais de azar do que sorte. Aliás, para que estes jogos sejam rentáveis, aquele que os explora, sabe muito bem que entre estas duas vicissitudes - azar e sorte, não podem ser equiprováveis. De outra forma seria incompreensível a existência de casas de jogo se a “sorte” não lhes fosse muito mais frequente.

A necessidade de calcular a probabilidade de um dado acontecimento ocorrer, só faz sentido se a experiência for aleatória - o que quer dizer que ninguém pode determinar com toda a certeza o que vai ocorrer, ao contrário de uma outra experiência dita determinista que pela sua causalidade sabemos o que acontece. É o exemplo de um automóvel que passa a toda a velocidade por um charco de água que está ao nosso lado – é previsível o que possa acontecer.

O conhecimento mais básico para o cálculo de uma probabilidade surge com uma Lei de um grande matemático que se baseia em conhecer todos os resultados possíveis de uma dada experiência aleatória. Por exemplo, no caso de haver dez bolas numeradas dentro de um saco preto e se pretender retirar uma bola do saco, existe a possibilidade de ocorrer 10 acontecimentos diferentes. Mas se duas das bolas forem vermelhas, dentro dos 10 resultados possíveis, há dois resultados que são favoráveis quando se pretende retirar uma bola vermelha. Assim, a razão entre os dois resultados favoráveis e o número de resultados possíveis (10) é, segundo Laplace, a probabilidade de retirar uma bola vermelha do saco (2/10=20%).

clip_image004No entanto, ainda não tinha nascido Laplace já Pascal e Fermat trocavam cartas argumentando cada um a melhor estratégia para resolver um problema (de probabilidades) onde se pretendia a divisão de um prémio (valor que os jogadores apostaram) num jogo que teve de ser interrompido.

Os dois jogadores tinham de jogar uma séria de partidas justas arrecadando o valor da aposta aquele que obtivesse, em primeiro lugar, 6 vitórias. Acontece que, por situações imprevistas, o jogo teve de ser interrompido no momento em que o jogador A tem 5 vitórias e o jogador B tem 3 vitórias. A questão que se colocava e que foi analisada por muitos matemáticos era encontrar a forma mais justa de fazer a divisão do valor que estava em aposta entre os dois jogadores.

Uma solução que acabou por ser rebatida por Pascal e Fermat, atribuía 5/8 do prémio ao jogador A, e 3/8 de prémio ao jogador B. Esta visão matemática onde transparece um raciocínio proporcional tendo em conta o número de partidas que foram realizadas (8), nada tinha a ver com a realidade que se focava naquilo que ainda faltava jogar.

Desta forma o problema foi tratado, por largos anos, como sendo um problema de proporções, quando afinal, tratava-se de um problema de probabilidades, uma vez que o prémio deveria ser repartido de acordo com a probabilidade que cada um tinha no momento da interrupção em ganhar aquela série de partidas.

Embora Fermat e Pascal tenham seguido percursos diferentes mas ambos chegaram a um acordo em relação à resposta deste problema. Assim já não foi entendido por D’Alembert que, um século depois, apresenta uma divisão justa para este problema com uma resposta diferente, baseada no seguinte raciocínio:

No caso de o jogo continuar, havia a possibilidade de ainda serem efetuadas três partidas, acabando o jogo se o jogador A ganhasse em qualquer uma delas. Esquematicamente teríamos:

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De acordo com este pensamento e segundo a lei de Laplace, o jogador A reunia três resultados favoráveis, o que lhe permitia arrecadar 3/4 do prémio sendo o restante para o jogador B. É certo o reconhecimento do pensamento sofisticado de D’Alembert ao seguir um novo conhecimento matemático – a teoria da probabilidade.

No entanto, esta abordagem a este tipo de problema é conhecida pelo erro D’Alembert. Quem estava certo eram aqueles dois matemáticos que 100 anos antes já tinham chegado à conclusão que o jogador A deveria receber 7/8 do prémio e o jogador B, 1/8 do prémio. Fica agora o desafio lançado para que o leitor justifique estas respostas dadas por Fermat e Pascal, tendo por base a razão entre os resultados favoráveis e os resultados possíveis nesta situação de jogo.

2 comentários:

Anónimo disse...

Na minha opinião a repartição de 1/8 e 7/8 é mais lógica que a de d'Alembert, mas mesmo assim acho que assenta numa premissa que não estará provada que em cada jogo seja de 50% a probabilidade de vitória para qualquer dos jogadores.

André Luiz Diniz disse...

Bastante claro e didático o texto, parabéns!