domingo, 27 de dezembro de 2009

Dobros sucessivos – base 2.

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Frequentemente medito nos números e sobre os números, faz parte da minha profissão. Muito cedo revelei alguma apetência pelos números em desfavor das letras. Uma evidência em sala de aula merecedora de registo foi o exemplo que dei à minha professora primária sobre os sucessivos dobros quando, o que se pretendia era o conhecimento da tabuada do 2. O dobro de 1 é o 2 e o dobro de 2 é 4 e a seguir vem o 8, 16, 32... A professora mandou-me calar quando passava pelo 1024. Hoje sabe-se, incompreensivelmente para alguns, que este valor corresponde a um kilobyte, uma vez que se trata de uma grandeza associada a um sistema de base 2 e, portanto, é a potência de base dois a que se pode atribuir o prefixo kilo, por ser a mais próxima de 1000 bytes.

Mas não querendo fugir à questão dos sucessivos dobros importa referir que essa sucessão pode ser vista como sendo 20, 21, 22, 23, 24, … É importante que se reconheça que o antecessor de qualquer termo é sempre metade desse termo. Faço esta referência porque há uma tendência natural para dizer que o dobro de 210 é 220. Cuidado!...

Só muito mais tarde descobri que o fascínio que tinha por estes números também era um padrão de referência para outras culturas. Os egípcios, por exemplo, não se preocupavam em saber a tabuada como nós a propomos aos nossos alunos. O mais importante para eles era saber duplicar uma vez que qualquer número, se não fosse uma potência de base dois, poderia ser obtido pela soma de potências de base dois.

Também a informática optou por desenvolver a sua linguagem num processo simples, onde apenas dois símbolos seriam o suficiente para representar qualquer valor. Tomando um “zero” como sendo um circuito interrompido e um “um” como estando ligado, todos os arranjos entre “zeros” e “uns” fariam da opção binária a escolha ideal para o desenvolvimento daquilo que hoje é o mais complicado para todos nós - o computador.

De acordo com a tabela seguinte é fácil reconhecer que qualquer número pode ser representado apenas com “zeros” e “uns” necessitando apenas das potências de base dois para a sua formação:

Para ajudar na análise da tabela podemos verificar, por exemplo, que o número 10 é representado por '1010' significando no sistema binário, 1x23+0x22+1x21+0x20=10, ou seja 8+0+2+0.

Aproveitando a regularidade que se evidência na tabela, sugere-se a formação de listas de ordem 0, 1, 2, 3… tendo cada lista o nome do número do expoente da referida ordem. Começando pela lista de ordem zero (20) devem ser incluídos todos os números que têm um “um” na coluna dessa ordem:

lista0 Para construir a lista de ordem 1, segue-se o mesmo critério. Apenas se incluem os números cuja representação binária, precisa de um “um”, nessa ordem.

lista1 O mesmo critério se deve aplicar para formar as restantes listas:

lista2

lista3

Uma vez organizadas 4 listas, verifica-se que são necessários 15 números para a formação das listas com o mesmo número de elementos. Note-se que todas elas acabam nesse número (24-1). O número seguinte (24), por se tratar de uma potência de base dois vai encabeçar a próxima lista (lista de ordem 4). Mas, considerando apenas estas quatro listas (0, 1, 2 e 3), pode-se pedir que pense num número até 15 e que revele as listas onde aparece. De imediato se fica a saber o número em que pensou. Quer dizer como? E se fizesse 6 listas, os números envolvidos seriam até qual?

Experimente descarregar aqui o ficheiro que lhe propõe 8 listas de números. Só tem de identificar as listas onde se encontra o seu número secreto. O computador encarrega-se de descobrir esse número.

Nota: depois de abrir o ficheiro Excel (office 2007), é necessário clicar em “opções” e optar por “activar este conteúdo” - macros.

sábado, 12 de dezembro de 2009

Áreas e perímetros com abelhas (resp.)


clip_image002[4]Em relação ao artigo publicado neste blogue com o título Áreas e perímetros com abelhas a 1 de Agosto de 2008, proponho a seguinte análise:

Seguindo o conceito de uma pavimentação regular, o plano é pavimentado apenas com um tipo de ladrilho, cuja forma é um polígono regular. O polígono regular implica ter todos os lados de comprimento igual e ângulos internos com a mesma amplitude. Apenas o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular têm ângulos internos cujas amplitudes são submúltiplas de 3600. Quer isto dizer, que são os únicos polígonos regulares que pavimentam.

Facilmente se reconhece que o trabalho desenvolvido por uma comunidade composta por centenas de elementos é mais fácil se todos eles forem formatados para fazer o mesmo. Desta forma, não há a necessidade de discutir alterações ou a criação de novos projectos. Neste caso, o projecto das abelhas é dividir o plano em regiões idênticas, de forma que todas elas estejam sempre envolvidas no mesmo projecto. Assim, é compreensível que se adopte apenas um ladrilho para que seja feita a pavimentação (monoédrica).

Por outro lado, o rendimento do trabalho aumentará se para a conclusão do mesmo projecto recorrer à menor energia possível. É dentro desta lógica que importa saber qual a forma a adoptar para obter a maior área tendo o mesmo perímetro. Através do conhecimento matemático prova-se que o círculo é a forma geométrica ideal, tendo em vista a obtenção da maior área com o menor perímetro. De facto, entre as três figuras enumeradas anteriormente, o hexágono é aquela que se aproxima mais do círculo. Vamos lá perceber como é que as abelhas descobriram isso…

Fazendo o teste que é sugerido para uma mesma área:


Optando por triângulos equiláteros:clip_image003[4]

-- 135 palitos

-- ±9,5 palitos para acabar de fechar o rectângulo.

Total de 144,5 palitos


Optando por quadrados:

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-- 76 palitos

-- ± 8,5 palitos para acabar de fechar o rectângulo.

Total de 84,5 palitos


Optando por hexágonos regulares:

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-- 45 palitos

-- ± 19,5 palitos para acabar de fechar o rectângulo.

Total de 64,5 palitos


Comprova-se que para um menor consumo energético na construção dos favos, as abelhas estão certas em optarem pelos hexágonos.