sexta-feira, 19 de setembro de 2008

Descubra o seu algarismo da sorte


Um caldo de números e operações é o bastante para se aperceber que qualquer pessoa é vulnerável, não tendo qualquer importância o grau de superstição que a afecta. Se quiser fazer a experiência terá que seguir apenas as indicações que eu vou dando. Garantidamente, vai ter a possibilidade de confirmar se o seu algarismo da sorte, para este ano, será aquele em que você pensa que é.

Atenção que se trata de uma experiência que só resulta com adultos. Para isso, vai ser necessária qualquer coisa que escreva, e onde escreva. Peço ainda que não se engane nas instruções que lhe vão ser dadas.

Então vamos lá. Escreva a sua idade. Pense agora num algarismo (de 1 a 9), aquele que julga ser o seu algarismo da sorte. Lembro que o seu algarismo da sorte, para este ano, nunca poderá ser igual aos algarismos da sua idade.

Junte esse algarismo à sua idade, à esquerda se for canhoto, ou então, à direita se for destro.

Inverta o número, isto é, escreva o número pela ordem contrária. Neste momento deverá ter escrito dois números de três dígitos.

Encontre a diferença entre eles (ao maior número, subtrair o menor).

Ao número que obteve troque de posição o algarismo da esquerda com o algarismo da direita. A este novo número adicione-o à diferença obtida.

Neste momento deverá ter obtido um número formado por quatro algarismos. Já só tem que adicionar esses algarismos e guardar mentalmente o número obtido.

Agora, a partir do início do texto (sem contar com o título), só tem que contar o número de palavras correspondente ao número que tem guardado na mente.

Se encontrou a palavra NÃO, parabéns! Quer dizer que não se enganou e, sendo assim, o algarismo que escolheu é de certeza, até ao seu próximo aniversário, o algarismo no qual deve apostar.

Sabe que pode ter mais que um algarismo da sorte? Tente encontrar uma justificação para o fenómeno matemático que o leva a descobrir todos os seus algarismos da sorte.



quinta-feira, 11 de setembro de 2008

Teorias modernas

Com certeza que também já foi confrontado com aquele desafio muito antigo onde se pretende desenhar o envelope aberto sem levantar o lápis e sem passar novamente pela linha já traçada.



Um amigo meu, há dias, disse-me que se tivéssemos que desenhar o envelope fechado já não seria possível desenhá-lo. Por que será?

Será que este desafio também tem algo a ver com matemática? Claro que tem, e aqueles que se moveram pela sua resolução, só revela que também têm o gene da “essência matemática” – talvez não tenham descoberto ainda isso.

Esta situação é semelhante a outra muito conhecida que, já no séc. XVIII, fez perder muito tempo a Leonhard Euler na sua resolução – as pontes de Königsberg. Esta cidade é atravessada pelo rio Pregel que devido à sua ramificação dá origem à ilha Kneiphof (para a visualizar no Google Earth, pesquise por Kaliningrado). Esta ilha estava ligada à cidade por pontes onde os habitantes, durante os seus passeios, tentavam procurar o percurso que lhes dava a possibilidade de passar por todas elas, uma e apenas uma vez.


Esquema da cidade de Königsberg, antiga capital da Prússia
(Imagem retirada do site de Adérito Araújo, Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra - http://www.mat.uc.pt/~alma/escolas/pontes/)


Euler acabou por resolver o problema, provando que não é possível traçar esse circuito. E é talvez a partir do raciocínio deste matemático que se fez luz para o desenvolvimento de um novo ramo da geometria que, não considerando as dimensões da figura, analisa a ordem da disposição e a relação entre os vários elementos dessa figura – Teoria dos grafos.

A exemplo do que é dito, os esquemas que se seguem, embora diferentes, têm a mesma importância para o tipo de análise que se pretende fazer, representam a mesma coisa, neste caso, as pontes de Königsberg. As linhas (arestas do grafo) representam as pontes e os pontos (vértices do grafo), as regiões onde as pontes vão ligar.

À semelhança do desafio do envelope, também aqui se pretende desenhar a figura sem se poder levantar o lápis, a menos que as pessoas se pudessem deslocar pelo ar, mas naquela altura ainda não havia helicópteros. Também não se pode passar novamente numa linha já traçada - os habitantes de Königsberg não queriam passar mais do que uma vez na mesma ponte.

Já são muitas as actividades económicas que recorrem a este ramo da matemática tendo em vista maior rendibilidade nas suas acções. É o exemplo do vendedor ambulante que pretende visitar todos os seus clientes fazendo o menor percurso possível, a distribuição do correio, ou a elaboração do plano do circuito das carreiras urbanas de uma cidade.

Esta nova área da matemática tem vindo a ganhar importância devido ao seu enorme potencial de aplicações. No entanto, é pena que a escola ainda não lhe tenha reconhecido essa importância para a incluir nos seus currículos de escolaridade obrigatória. Assim, para além do gozo pessoal que se pode ter na descoberta da solução do desafio do envelope, importa saber também de que forma se poderá sistematizar o conhecimento para que rapidamente se possa decidir sobre a possibilidade ou não da resolução de qualquer figura.

Fazendo uma análise um pouco mais cuidada sobre esta situação damos conta que, ao traçar um circuito ininterrupto, quando se chega a um vértice (ponto) é necessário sair de lá. Então, se a todos os vértices afluírem um número par de arestas (linhas), é possível a sua resolução, uma vez que em cada vértice há uma entrada e uma saída. Mesmo que se escolha um vértice para partir, desde que ele seja par, fica garantida uma aresta para a chegada, o que se conclui que o vértice de partida também terá que ser o de chegada.

Pode, no entanto, ainda ser traçado um circuito ininterrupto com partida num vértice e com chegada noutro vértice. Neste caso, os vértices de partida e chegada terão de ser ímpares, ou seja, concorrem nele um número ímpar de arestas, em que, a aresta que não tem par serve de partida ou de chegada. Portanto, ainda há a possibilidade da figura ter vértices ímpares (pontos onde afluem um número ímpar de linhas) mas, neste caso terão de ser dois.

Reúnem-se, agora, as condições para opinar sobre quais as pontes que deveriam ir abaixo de forma a que os habitantes de Königsberg pudessem, nos seus passeios, visitar todas elas uma só vez. Claro que se não houver problemas de orçamento poder-se-ia pensar antes na construção de novas pontes. Não quererá dar uma sugestão onde poderá ser construída uma ponte para poder satisfazer as pretensões dos habitantes daquela cidade?

Voltando ao desfio do envelope, já poderemos dar uma opinião sobre a sua resolução: por que razão não é possível traçar um circuito ininterrupto, de modo a obter o envelope fechado?



domingo, 7 de setembro de 2008

Uma questão de tempo

De há muito que o nosso povo se distingue pela sua capacidade de improvisação e criatividade até mesmo inventiva. Numa plateia, com o objectivo de aferir a criatividade e capacidade argumentativa do público, foi lançado o desafio para que cada pessoa respondesse por escrito tentando encontrar uma justificação para o fenómeno que se apresenta:

Um avião que habitualmente faz carreira entre a cidade A e a cidade B demora uma hora e vinte minutos quando se descola da primeira para a segunda cidade. Mas, quando faz o percurso inverso demora oitenta minutos. Encontre razões que justifiquem o sucedido.

Foram variadíssimas as respostas dadas. O vento, o movimento de rotação do planeta, a mudança de fuso horário foram alguns dos factores que serviram de justificação para a compreensão do fenómeno.

No entanto, poucos foram os interlocutores que deram a resposta que deveria ser evidente. Coloca-se então a questão, porque será que apenas uma minoria da plateia utilizou o conhecimento matemático mais básico, mas suficiente, para dar resposta a uma situação do mais trivial que existe? Espero que o caro leitor pertença a essa minoria que reconhece uma hora e vinte minutos como sendo o mesmo que oitenta minutos não havendo, portanto, necessidade de justificar qualquer fenómeno.

É interessante o próprio leitor fazer este teste com outras pessoas. Vai verificar que é isso mesmo que acontece, a maioria das pessoas esquece que o sistema de numeração a que estamos habituados (sistema decimal), não é usado habitualmente para fazer contagens de tempo. No caso desta grandeza, as contagens deixam de ser feitas em agrupamentos de dez para serem feitas em agrupamentos de sessenta (sistema sexagesimal). Daí ficarmos um pouco baralhados.

Trata-se de uma influência da civilização Babilónica que se expandiu na região que hoje conhecemos por Iraque e que remonta a um período que poderíamos considerar simétrico aos dos nossos dias seguindo a linha cronológica que nos serve de referência.

À semelhança do que acontece com as horas, também as coordenadas geográficas se expressam de acordo com a herança dos antigos babilónios. Será que é capaz de encontrar outro exemplo onde ainda usamos esta influência babilónica?


terça-feira, 2 de setembro de 2008

Dados da sorte

A conjuntura económica que assola os nossos dias coloca-nos numa posição que nos faz reflectir sobre o futuro. No jornal Público já foi proposto um desafio por Eduardo Veloso e José Paulo Viana que é, sem dúvida, uma mais-valia para quem tiver que recorrer a outros rendimentos extraordinários. Aproveitando esta ideia, qualquer pessoa com um pouco de audácia poder-se-á tornar num invejável ganhador de apostas, seduzindo mesmo aqueles que se julgam mais finórios.

Considere-se, então, 4 dados cujas faces têm um número de 0 a 6:


Dado Azul – 0, 0, 4, 4, 4, 4;

Dado Branco – 1, 1, 1, 5, 5, 5;

Dado Castanho – 2, 2, 2, 2, 6, 6;

Dado Dourado – 3, 3, 3, 3, 3, 3.

Pretende-se que cada um dos apostadores escolha um dado. Depois de cada apostador lançar o seu dado, ganha um ponto aquele que obtiver maior valor acusado pelo seu dado. No final de 20 lançamentos, por exemplo, aquele que obtiver maior número de pontos arrecada o dinheiro em jogo.

Imagine que vai jogar comigo. Dou-lhe a oportunidade de escolher o dado com que quer jogar. Vamos imaginar que escolhe o dado azul. Assim, eu escolho o dado branco.

Sabendo que cada dado tem 6 faces, há portanto 6x6=36 casos possíveis. Na tentativa de clarificar esta situação, identifiquemos as faces de um dado (cubo 1), com as letras A, B, C, D, E e F e as faces do outro dado (cubo 2), com as letras a, b, c, d, e e f. Os casos possíveis encontram-se identificados na tabela seguinte:



No caso dos dados envolvidos serem o azul e o branco, o dado branco – o meu dado, pontua quando se obtém a dupla 0-1 (2x3=6 possibilidades), a dupla 0-5 (2x3=6 possibilidades) ou ainda a dupla 4-5 (4x3=12 possibilidades), o que perfaz 24 casos favoráveis em 36. Quer então dizer que provavelmente irei ganhar.

Mas, sabendo que o dado branco é mais vantajoso que o azul, provavelmente iria escolher em primeiro lugar o dado branco. Neste caso, eu escolheria o dado Castanho. Agora, os casos favoráveis para o dado branco é a dupla 2-5 o que corresponde a apenas 12 casos favoráveis (3x4=12) restando, novamente, 24 casos favoráveis para o meu lado. Quer isto dizer que, tal como na situação anterior, terei a mesma probabilidade de ganhar.

Perante este facto, estou convicto de que o dado castanho passaria a ser a sua preferência. Se assim fosse, eu escolheria o dourado. Neste caso, os casos favoráveis ao dado castanho é quando sai apenas a dupla 3-6, correspondendo apenas a 12 casos favoráveis (2x6=12), contra, uma vez mais, os meus 24 casos favoráveis. Quer isto dizer que, com a mesma probabilidade, muito provavelmente, eu iria ganhar.

Afinal, o significado do dourado talvez tenha todo o seu peso na escolha do dado ganhador. Assim seja, nesse caso, se escolhesse o dourado, eu escolheria o azul. Será que continuo a fazer uma boa escolha? Estou convencido que iria ganhar novamente…