domingo, 19 de outubro de 2008

Problemas com moedas

A resolução de problemas é reconhecida universalmente como sendo um item fundamental e de especial relevância nas aprendizagens. É indiscutivelmente um processo que promove o desenvolvimento do raciocínio e a construção de processos cognitivos de nível superior, como seja conjecturar, testar, validar, reflectir…

Mesmo assim, o conceito de problema ainda hoje não converge no seio da comunidade educativa. Tanto que, são vários os investimentos por parte de alguns matemáticos que se empenham na melhor definição deste conceito. Mas, partilhando a ideia de que um bom problema, entre outras características, deve ser interessante, desafiador, sem resposta imediata, mas cuja resolução seja possível por parte do resolvedor, contudo, nem sempre é possível reunir todas elas, pois existe uma comunidade de resolvedores muito heterogénea.

Serve de exemplo um problema de Brian Bolt, matemático que muito tem contribuído para motivar o interesse pela matemática. Trata-se de um problema desafiador que, caso o leitor já o conheça, deixará de ser um desafio, e por conseguinte, perderá algum do seu interesse natural.

“Disponha de oito moedas, como se indica na figura formando um quadrado com três moedas em cada lado.


Agora desloque quatro moedas para formar um quadrado com quatro moedas em cada lado!”

Por favor não continue a leitura enquanto não pensar um pouco na resolução do problema.

Este problema é normalmente classificado como sendo de tipo puzzle – não necessita de grandes conhecimentos para ser resolvido, a solução pode surgir num clique, a tal Eureka!

A disposição das moedas apresentada já é algo interessante e até poderia servir de solução a outro problema onde fosse necessário formar 8 soldados em 4 filas havendo apenas 3 soldados em cada fila.

O que poderia parecer impossível, por falta de 4 soldados, afinal, torna-se de fácil resolução se 4 soldados puderem ser contados duas vezes. Assim a disposição em quadrado, como na figura, seria a solução. O soldado que fica no vértice do quadrado será contado duas vezes.

A partir desta experiência torna-se mais fácil a descoberta da solução do problema proposto. Também neste caso para se obter um quadrado com 4 moedas em cada lado, e dispondo apenas de 8 moedas, só nos resta dispô-las de tal forma que cada moeda possa ser contada duas vezes, isto é, cada moeda tem que estar simultaneamente em dois lados.

Assim, basta deslocar as 4 moedas que se encontram no meio de cada lado e sobrepô-las nas moedas que formam os vértices. Temos assim 4 moedas em cada lado num quadrado formado por oito moedas. Interessante, não é?! Quando se sabe, é fácil!

Mas, tão fácil como esta resolução é também uma outra para o problema que apresento de seguida. Na minha opinião, trata-se de um problema dos mais fascinantes devido à facilidade com que pode ser resolvido mas, à primeira vista, parece ser impossível de resolver.

Imagine-se na situação de um condenado à morte que apenas tem uma só noite até à sua execução. Na masmorra onde está preso não entra qualquer luz. Os soldados visitam-no pela última vez para lhe transmitirem a decisão que o imperador tomou por influência do povo, uma vez que sabiam que você era um bom resolvedor de problemas.

Um soldado lê o comunicado: como podes verificar, ficam aqui na mesa 40 moedas. Apenas 18 destas moedas estão viradas com a cara para cima. Se amanhã quando te viermos buscar, as moedas estiverem divididas em 2 grupos, de forma que os 2 grupos tenham o mesmo número de moedas com a cara virada para cima, então, não serás executado.

Os soldados saem, fecham a porta, e fica completamente escuro sem ter qualquer possibilidade de ver as moedas.

O que faria para não ser executado?

Nota: O desgaste das moedas não lhe permite através do tacto identificar a cara ou a coroa da moeda. Caso não encontre a solução de imediato, sugiro que tente reduzir o problema a uma situação mais simples simulando-o com poucas moedas.


6 comentários:

Olimpio disse...

Tem a certeza de que este é um problema de Matemática, ou apenas de "entretenimento em brainstorming" ?

J. Filipe disse...

De forma alguma se trata de uma situação onde apenas a criatividade, a descoberta a partir de algum jogo de palavras, ou outra ideia que não seja matemática, possa dar resposta ao problema.

Bem pelo contrário, talvez seja a falta de experiências matemáticas e de reflexão sobre determinados processos e procedimentos que coíbam, por vezes, o desenvolvimento de raciocínios de cariz mais matemático.

Uma das estratégias na resolução de problemas que habitualmente nos dá luz para a solução, é reduzir o problema a uma situação mais simples.

Neste caso, sugeria a experiência, por exemplo, com cinco moedas em que duas delas estão com a cara voltada para cima.

Experimente agora, aleatoriamente, separar duas moedas, mas voltando cada uma delas ao contrário de modo a obter um grupo de três e outro de duas moedas. Verifique o que aconteceu em relação ao número de moedas com a cara voltada para cima em cada um dos grupos de moedas.

Penso que agora se tornará mais fácil perceber como o condenado à morte deveria proceder.

Tânia disse...

Seguindo este raciocínio, faria colunas com as moedas e quando elas formarem alturas diferentes será a resposta. Pois as faces mesmo que desgastadas apresentariam alturas diferentes.
Abraços

J. Filipe disse...

Recordo que o problema que se coloca ao condenado é dividir o grupo de 40 moedas em dois novos grupos, de tal modo que o número de moedas com a cara voltada para cima seja o mesmo em cada um dos grupos.

É interessante a sugestão da Tânia, no entanto, não vejo como poderá ter a garantia que, em cada uma das colunas formadas com as moedas, haja um mesmo número de moedas com a cara voltada para cima.

Estou a dar conta que nem todos têm o mesmo entendimento do que é dividir. Quando dividimos algo, a meu ver, não quer dizer que tenha de ser em partes iguais. O mesmo já não sucede com o conceito da operação aritmética de divisão.

Neste caso, o condenado pretende dividir as moedas em dois novos grupos, isso não invalida o facto de poder haver, por exemplo, num grupo 21 moedas e no outro 19 moedas.

Segundo o enunciado, tanto um grupo como o outro, deverão ter o mesmo número de moedas com a cara voltada para cima.

Anónimo disse...

Extraordinário como o que parace quase impossível , tem , de repente uma explicação tão simples e no entanto não a encontro aqui..
Temos 2 grupos de moedas e queremos .. 2 grupos de moedas , simples e claro como água , nada mais é pedido além de que haja em cada grupo o mesmo nº de moedas com "caras" , ou seja 9 para cada lado e já está. Fácil de mais!! Mas gostei vou continuar por aqui, não conhecia e foi muito estimulante ler e pensar em algumas das coisas propostas . M

Anderson Pedrosa disse...

Basta retirar 18 moedas das 40 e virá-las(as 18 moedas). Hipóteses: Se as 18 retiradas forem as caras depois de viradas temos zero caras nos doi grupos. Se das 18 vier 1 cara, depois de viradas teremos 17 caras nos dois grupos...