domingo, 20 de fevereiro de 2011

Um sétimo

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Os números escondem segredos que, a pouco a pouco, vão-se desvendando e fazendo da matemática também uma ciência sempre em evolução. Com um olhar mais atento, surgem sempre novas relações entre os números, que para muitos não passam de meras curiosidades, mas fundamentais para o desenvolvimento de mecanismos, por exemplo, os tecnológicos que determinam substancialmente a qualidade das nossas vidas. Numa sociedade cada vez mais tecnológica, não nos apercebemos, por vezes, da importância desta ciência - a matemática.

Mas, hoje apenas quero enobrecer a curiosidade, de entre muitos fenómenos numéricos, um que também contribui para a reflexão matemática e sensibilidade para apreciar um pouco mais esta ciência.

Eu, pessoalmente, tenho uma particular paixão pelo número 9, é um número ao qual se associa grandes mistérios. Mas hoje vou colocá-lo de fora. Não quero qualquer vestígio deste número, por isso, elimino também o 3 para não correr o risco de se transformar num quadrado. E, já agora, que se exclua também o 6, não vá ele voltar-se ao contrário. Resta assim, dentro dos números naturais de um dígito, considerar o 1, 2, 4, 5, 7 e 8.

Alinhados desta forma e agrupados a pares corre-se o risco de juntar o 1º com o último, o 2º com o penúltimo e o 3º com o antepenúltimo. Se assim for, obtemos 3 grupos de 9: 1+8; 2+7, 4+5. E voltamos a falar do 9. Então é necessário propor outro alinhamento, por exemplo: 142857.

À primeira vista parece ser um número vulgar, mas na verdade tem uma particularidade muito interessante. O seu dobro é constituído pelos mesmos algarismos: 2 x 142857 = 285714. Também é interessante verificar que todos eles continuam com o seu companheiro – 14; 28 e 57.

E no caso de considerarmos o triplo, o número continua teimoso: 3 x 142857 = 428571. Em relação ao dobro, o 4 deixa a sua posição mais à direita e toma posição mais à esquerda ficando o resto invariante. Insistem em ser uma família unida.

Nesta altura começamos a pensar que não é possível haver um número mais teimoso que nós. Por isso, é inevitável a multiplicação por 4; 4 x 142857 = 571428. É incrível o que sucede! Para além de continuar com os mesmos números, agora estão novamente emparelhados como no início: 14; 28 e 57

Ninguém resiste à próxima experiência; 5 x 142857 = 714285. Agora foi a vez do 5 abandonar a esquerda e tomar a direita.

E também não é a multiplicação por seis que separa aquela família; 6 x 142857 = 857142, embora estivesse à espera que neste produto os pares tornar-se-iam a reconciliar. Mas neste caso, o dois está separado do oito.

Na verdade, não deixa de ser apenas uma ilusão. Imagine-se esta sequência a originar a seguinte sucessão: 142857142857142857… todos os produtos até agora determinados podem aí ser identificados. E nenhum número abandona o seu companheiro.

142857142857…

142857142857…

142857142857…

142857142857…

142857142857…

Acredito que nesta altura o leitor já tenha feito o produto por 7. Se é o caso, deve ter ficado de boca aberta.

E no caso de ter feito o produto por 8 não pense que esta família tenha desistido…. Repare-se no resultado: 1142856. Desapareceu o 7, mas fê-lo representar pela vinda do 1 e do 6 (1+6). É incrível! O mesmo sucedendo com a última experiência que nos falta: 9 x 142857 = 1285713. O 4 foi descansar, no entanto, foi substituído por 1 e por 3 (1+3).

Mas os poderes deste número não se ficam por aqui. Com certeza que vai admirar a harmonia numérica se aos produtos que resultaram destas experiências forem novamente multiplicados por 7.

142857

x

2

x

7

=

1999998

142857

x

3

x

7

=

2999997

142857

x

4

x

7

=

3999996

142857

x

5

x

7

=

4999995

142857

x

6

x

7

=

5999994

142857

x

7

x

7

=

6999993

142857

x

8

x

7

=

7999992

142858

x

9

x

7

=

9000054

Logo vi se o “nove” não estaria também envolvido neste mistério... Será que agora o leitor consegue encontrar uma razão para que o título desde artigo seja ”um sétimo”?

2 comentários:

Paulo Afonso disse...

Caro Filipe, excelente este artigo. Revela grande maturidade do seu autor e coloca em evidência a Matemática como Ci~encia que não deixa de nos surpreender constantemente. Basta um "olhar" mais atento e algo de raro e belo surge com uma naturalidade que não pode deixar-nos sem reacção. Vida a Matemática e o Filipe que tem a capacidade de evidenciar a sua rara Beleza!

Plínio® disse...

Sim, entendi: 1/7 dá esta dízima: 0,14285714285714285714285714285714 que é justamente a parte utilizada por você neste artigo: 142857.

Mas, nesta linha acho que você fez um cálculo errado: 142858 x 9 x 7 = 9000054, onde deveria ser: 142857 x 9 x 7 = 999999 x 9 = 1285713 x 7 = 8999991! E logo veja que a regularidade agora é assombrosa:

142857 x 1 x 7 = 0999999 (e 0+9=9)
142857 x 2 x 7 = 1999998 (1+8=9)
142857 x 3 x 7 = 2999997 (2+7=9)
142857 x 4 x 7 = 3999996 (3+6=9)
142857 x 5 x 7 = 4999995 (4+5=9)
142857 x 6 x 7 = 5999994 (5+4=9)
142857 x 7 x 7 = 6999993 (6+3=9)
142857 x 8 x 7 = 7999992 (7+2=9)
142857 x 9 x 7 = 8999991 (8+1=9)
142857 x 10 x 7 = 9999990 (9+0=9)
142857 x 11 x 7 =10999989
Neste último caso, a operação de multiplicação estourou para 2 dígitos tanto no início qto no final do número. Mas e daí? Somamos do mesmo jeito: 10+89=99 ou ainda 1+0+8+9=18 donde vem que 1+8=9!

Como o restante dos números se compõem por "9"s, todos eles devem ser divisíveis por 9! Vejam a regularidade:

142857x1x7=>0999999/9 = 111111
142857x2x7=>1999998/9 = 222222
142857x3x7=>2999997/9 = 333333
142857x4x7=>3999996/9 = 444444
142857x5x7=>4999995/9 = 555555
142857x6x7=>5999994/9 = 666666
142857x7x7=>6999993/9 = 777777
142857x8x7=>7999992/9 = 888888
142857x9x7=>8999991/9 = 999999
142857x11x7=>10999989/99 = 111111
142857x12x7=>11999988/99 = 121212

Então, sim podemos afirmar sonoramente que: sim, isto tem tudo a ver com 9! Ou melhor, com 9, 99, 999, 9999 e assim por diante!

Já há algum tempo que "brinco" com os números inteiros, pois adoro a "teoria dos números". Aliás, blog interessante neste sentido!

Bom, depois escrevo mais (pois acho que este "post" está enorme, e já deve estar aborrecendo :)) sobre as diferentes bases numéricas e a ocorrência de fenômenos bastante paracidos com este do "7"!

Até...