Acerca da divisão (resp)

Já passou algum tempo, chega a hora de dar um pouco de atenção ao desafio publicado a 28 de fevereiro de 2009 intitulado “Acerca da divisão”. Parece-me ser uma boa alternativa para uma grande parte dos alunos que não se dão muito bem com o tradicional algoritmo da divisão.

Este algoritmo propõe a possibilidade de efetuar a divisão percorrendo várias fases, tudo dependendo da capacidade de cálculo mental do respetivo operador. Parecendo ser um algoritmo complexo, devido ao seu aspeto, é no entanto um modelo de fácil compreensão e resolução dado que o processo para encontrar o quociente é feito por partes.

Tomando a divisão proposta (8275,26:7,23) poderemos interpretar a divisão como medida, onde se pretende saber em 8275,26 quantos grupos de 7,23 lá cabem.

Numa primeira fase poderemos admitir que é possível admitir 1000 grupos de 7,23 dado que é fácil reconhecer que estaríamos a considerar 7230 (7,23 x 1000) o que é manifestamente inferior a 8275,26. Segundo este raciocínio, podemos fazer o seguinte registo:

O valor considerado na coluna da direita é o quociente parcial, tendo em conta que ainda restam 1045,80 (coluna da esquerda) onde ainda é possível criar mais grupos de 7,23.

Num processo idêntico e repetitivo poderemos anotar os vários quocientes parcelares até encontrar um resto inferior ao divisor (7,23), isto é, quando não seja mais possível formar um grupo de 7,23 com o resto que sobra.

Assim sendo, apresenta-se uma possível proposta de resolução.

Obtém-se assim o quociente 1144 (soma dos quocientes parciais) e sendo o resto 4,68. Temos então a seguinte igualdade:

8275,80 : 7,23 = 1144 + 4,68 : 7,23

Ou seja,

8275,80 = 1144 x 7,23 + 4,68 (identidade fundamental da divisão)

ABCABC

Cada vez são mais as pessoas que praticam exercício físico. Alguns é pelo reconhecimento de como ele é fundamental para a manutenção da vida, mas outros será por razões de ordem inferior - a elegância. No entanto, no que diz respeito à manutenção ou à higiene mental, parece haver cada vez menos pessoas preocupadas com este assunto. Talvez por não ser visível na passerelle.

Mesmo assim, ainda vai havendo umas minorias que gostam de praticar exercício mental. Para quem quiser fazê-lo recomendo uma visita ao “ginásio” RECREAMAT. Foi aí que descobri um desafio deixado por uma frequentadora daquele local que dizia: “gostaria de saber porque é que qualquer número de 3 algarismos repetidos, exemplo 123123, a dividir por 91 é sempre possível?”

De facto é verdade, um número do tipo ABCABC é sempre múltiplo de 91. Há uma outra particularidade muito interessante num número com este formato. O leitor pode fazer a experiência, digite numa calculadora um qualquer número de três dígitos. Por mais desinteressante que seja o número escolhido, repita-o para que passe a obter um número muito especial (com o formato ABCABC).

Se quiser saber porque razão será assim tão especial, divida esse número por 7 e vai ver que vai obter um número inteiro. Se tornar a dividir por 11 vai constatar que continua com um número inteiro, e se o dividir novamente por 13, então vai-me dar razão. A magia do número faz com que apareça na calculadora o número inicial. Não é espantoso?

Dá vontade de fazer uma nova experiência. Por exemplo, vamos escolher o número 379.

Repetimo-lo e obtemos 379379

i) 379379 : 7 = 54197

ii) 54197 : 11 = 4927

iii) 4927 : 13 = 379

E voltamos novamente ao 379.

Importa estabelecer uma relação entre o número inicial (3 dígitos) e o número de 6 dígitos. Quantas vezes é maior o número com o formato ABCABC em relação ao número com o formato ABC?

Os três dígitos iniciais formados pelo número (ABC) passam a formar a classe dos milhares porque tomam um valor de posição mil vez superior em relação à situação anterior (ABC000). Isto é ABC x 1000 = ABC000.

Se a ABC000 adicionarmos novamente ABC obtemos ABCABC, de onde se conclui que ABCABC é 1001 vezes maior que ABC.

Portanto, temos que ABCABC = 1001 x ABC. Então qualquer número com este formato é sempre múltiplo de 1001. Assim se percebe que dividindo qualquer número composto por 3 algarismos repetidos, no formato de ABCABC, por 1001 obtemos sempre ABC.

Foi isso que foi feito anteriormente. O número foi dividido por 7 depois por 11 e finalmente por 13. Esta é uma particularidade muito interessante do número 1001, decomposto em fatores primos: 1001=7x11x13.

Assim sendo, qualquer número ABCABC é múltiplo de 1001, mas também é múltiplo de 7, de 11, de 13 e de que quantos mais números?

ABCABC = 7 x 11 x 13 x ABC

ABCABC = 7 x 143 x ABC

ABCABC = 77 x 13 x ABC

ABCABC = 11 x 91 x ABC

ABCABC = 1001 x ABC

Parece que agora fica claro em como aquele número é sempre múltiplo de 91 como também é de 77 ou de 143…

E se o número tivesse o formato ABCDABCD, será que num procedimento idêntico conseguimos obter ABCD?

O problema dos quatro quatros

 

Malba Tahan (2001) propõe no seu livro " O homem que calculava" (título original) um problema curioso que tem feito perder muitas horas aos amigos da matemática mais perseverantes, como sendo possível escrever os números inteiros  até 100 apenas com quatro quatros.
O problema apresenta-se: "Escrever com quatro quatros e sinais matemáticos, uma expressão que seja igual a um número inteiro dado. Na expressão não pode figurar (além dos quatro quatros) nenhum algarismo ou letra ou símbolo algébrico que envolva letra, tais como: log., lim., etc."

A imagem exemplifica uma das representações dos números inteiros até 10, onde se incluem as notações e operações possíveis. Não é permitida qualquer outra notação a não ser os parêntesis retos.

A ideia é descobrir os outros 90 números. Vamos ver quem dá maiores
contributos.

Tendo em conta que escrever matemática em texto corrido são necessárias algumas adaptações, registam-se os exemplos dados na figura:

0= 44-44
1= 4:4x4:4
2= 4/4+4/4
3= (4+4+4):4
4= 4?-Rq(4)-Rq(4)-Rq(4)
5= 4+4^(4-4)
6= 4!x4:4:4
7= Rq(4)+4+4:4
8= 4+4+4:4
9= 4/4+4+4
10= (44-4):4
 
Aqui pode consultar a lista com os números que já foram descobertos.
Nota: 
- não se admite outra raiz senão a quadrada
- o fatorial está representado por "!"   - n! é o produto de todos os números naturais menores ou iguais a n. (ex: 4!=24)
- o termial está representado por "?"   - n? é a soma de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. (ex: 4?=10)

Dimensões A4 (resp)

Ao artigo publicado neste blogue com o título “Dimensões A4” a 28 de Janeiro de 2009, é proposta a seguinte resposta:

A figura representa uma folha A4 que, dividida ao meio dá origem a duas folhas de formato A5.

Então a razão entre os comprimentos e as larguras da A4 e da folha A5 mantém-se, isto é:

(1)  

Por outro lado, sabe-se que são necessárias 16 folhas A4 para obter 1 m², isto é:

(2)

A partir de (1):

 

Determinando a partir de (2):

Substituindo em (3):

A partir de (4 ) obtém-se a :

Assim, de (5) temos que, o comprimento da folha é

E de (6), a largura é

 

Regularidades numéricas nas idades

 

A elaboração de uma tabela é em muitos casos a estratégia mais apropriada para a resolução de um problema. A tabela dá a possibilidade de visualizar com mais facilidade a forma como os números se relacionam e por conseguinte, uma forma rápida de estabelecermos relações entre os números que seguindo um raciocínio indutivo, nos leva a fazer as nossas próprias generalizações.

Esta é apenas uma sugestão a levar em conta quando se pretende perceber com mais facilidade as regularidades que os números escondem entre si. O problema que levanto poderá servir de exemplo para a sua aplicação: a idade de um pai, alguma vez poderá ser o dobro da idade do seu filho?

Parece ser uma questão sem conteúdo, mas se fizermos extensões a este problema eleva-se o seu interesse do ponto de vista matemático. Considere-se então, no caso da idade do pai ser o triplo da idade do filho? E se fosse o quádruplo? E o quíntuplo? Todas estas situações poderão ocorrer durante a vida de um homem?

Estas são algumas questões que poderão ser motivo para despoletar uma atividade de investigação em ambiente de sala de aula.

Se nos cingirmos apenas ao universo dos números naturais até 100 - poucos já são os que ultrapassam esta idade - e admitindo a possibilidade matemática de ser pai a partir dos quinze anos, damos conta que com 30 anos de idade já pode ter o dobro da idade do filho, se bem que a data limite para se pai seria os 50 anos. Só assim ficaria garantido atingir a dobro da idade do filho aos 100 anos de idade.

Portanto, a diferença entre as idades de pai e filho pode variar entre 15 e 50 anos. Há portanto 36 = 50 – 15 + 1 possibilidades do pai ter o dobro da idade do filho. Esta conclusão já nos leva a considerar que o seguinte problema tem solução – “O Afonso tem 19 anos e o seu pai 44. Quando é que o pai tem o dobro da idade do filho?”

O mesmo já não acontece quando falamos no triplo da idade. Sendo pai aos 15 anos, embora o número pareça ser simpático (é múltiplo de 3), nunca vai haver a possibilidade do pai ter o triplo da idade do filho. A tabela ao lado ilustra isso mesmo. Para uma diferença de 15 anos de idade, quando o pai tem 22, é mais que o triplo da idade do filho, mas no ano seguinte, a mesma relação entre as idades já não chega a ser o triplo.

Seria interessante saber então quando será possível essa relação. Assim, é importante que nos fixemos na ideia de que a diferença de idades entre pai e filho (p-f) representa a idade do pai quando o filho nasce. Portanto, a tabela deverá começar por relacionar as idades cuja diferença seja a mais próxima e nunca inferior a 15 (p – f ≥15). Por outro lado, a idade do pai é o triplo da idade do filho (p = 3 x f). Perante estas condições, a idade do filho vai ter que se reportar a 8 anos e a do pai 24. Temos assim a tabela que nos dá a ideia dos momentos possíveis em que a idade do pai é o triplo da idade do filho.

Na tabela, verifica-se que a linha amarela contempla apenas números pares, de onde se concluiu que, a verificar-se a relação desejada, é condição necessária que o nascimento do filho ocorra apenas quando o pai tem um número par de anos.

Confirma-se assim a impossibilidade do pai ter o triplo da idade do filho no caso da diferença entre as suas idades ser de 15 anos, ou seja, ser pai aos 15 anos.

Então, somos levados a concluir que:

1. Para que a idade do pai seja o dobro da idade do filho, a diferença entre as suas idades é um número natural.

2. Para que a idade do pai seja o triplo da idade do filho, a diferença entre as suas idades é um número par (múltiplo de 2).

Será então que a regularidade matemática que se evidencia nos leva a conjeturar que para a idade do pai vir a ser o quádruplo da idade do filho, a diferença entre as suas idades deverá ser um múltiplo de 3?

Continuando o raciocínio exposto, sugere-se a elaboração de outra tabela onde se admitem as possíveis idades do pai em função das diferentes idades do filho.

Temos então as condições: p – f ≥15 Λ p = 4f

Deste modo, a tabela irá começar por contemplar a idade do filho com 5 anos e a do pai 20.

Confirma-se assim a conjetura de que para a idade do pai ser o quádruplo da idade do filho, a diferença entre as suas idades tem de ser um número múltiplo de 3.

Dando atenção à idade máxima para poder ser pai, a cada um dos casos, revela-se outra regularidade também merecedora de análise.

Querendo adaptar o problema já referido anteriormente - O Afonso tem 19 anos e o seu pai 44. Quando é que o pai tem o dobro da idade do filho? - que idades devem ser atribuídas ao pai e ao filho para podermos perguntar quando é o que pai vai ter o quíntuplo da idade do filho?

Um problema de reflexão (resp.)

 Dando resposta ao desafio aqui publicado a 3 de dezembro de 2008 com o título “ Um problema de reflexão”, propõe-se o seguinte raciocínio.

Se imaginarmos a casota do cão  (ponto B), na outra margem do rio, com certeza que o balde deveria ser cheio no ponto de intersecção do rio com o caminho, em linha reta, entre a casa e a casota do cão. Esta dica é determinante para que possamos imaginar a casota do cão do outro lado do rio, e à mesma distância dele. Ao fim ao cabo, importa determinar a reflexão do ponto B (B’) em relação à reta r. O menor trajeto entre A e B’ é o segmento que une estes dois pontos onde se determina o ponto P na reta r. Então fica determinado o trajeto APB como sendo o menor, uma vez que o segmento de reta PB’ tem o mesmo comprimento do segmento de reta PB.

Poder-se-ia optar por fazer a reflexão do ponto A sobre a reta r. O resultado seria o mesmo (ponto P):

Sentido de número

O “43” que aparece na etiqueta de umas calças não tem o mesmo significado daquele que aparece na senha que retiro à entrada dos serviços das finanças, nem o significado daquele que está sobre a porta de entrada da casa do meu amigo que vestiu a camisola 43 na sua última prova de atletismo. Também este “43” que ostenta a camisola do meu amigo não significa o número de ovelhas que o vizinho do meu avô tinha na aldeia, embora sejam estes os símbolos utilizados para representar a quantidade daqueles animais que habitualmente comiam no prado do senhor Augusto.

Na verdade, o número, para além do seu sentido como cardinal, indicando a quantidade de elementos de um determinado conjunto, pode ter outros significados como sendo a medida de uma calças, a localização de uma casa, a posição numa ordem de atendimento ou a identificação de um atleta.

Mas é no sentido de quantidade que, de um modo geral, todos atribuem significado ao número. Mesmo assim, esse significado não tem o mesmo sentido para cada um de nós. Hoje, 100 euros assumem um sentido muito mais convergente para cada um de nós que há uma década atrás, quando começámos a utilizar esta nova unidade monetária. O sentido de número vai-se desenvolvendo ao longo do tempo, dependendo também das experiências que cada um tem com números. Para uma criança que acaba o seu primeiro ano de escolaridade, não atribui o mesmo significado a 43 cêntimos como um adulto. No entanto, o sentido de número entre duas pessoas com a mesma escolaridade, com certeza, que também não é o mesmo.

Recordo-me de uma expressão que ficou célebre entre nós, de alguém que perdeu o valor de grandeza do número, talvez pela ausência de um referente matemático. Afinal, pretendia saber quanto seria 6% de três mil milhões de euros. “seis vezes três são dezoito, portanto… é fazer as contas”. É claro que com números desta ordem de grandeza, o sentido de número já não é o mesmo para todos. A própria lentidão na resposta revela que o seu sentido de número começa a estar próximo dos seus limites. Havendo espaço para raciocinar, podemos concluir que 6% de 3 mil é uma centésima de 18 mil, ou seja 180. Uma vez que se falava na ordem dos milhões, então estamos a falar de 180 milhões como sendo 6% de 3 mil milhões em euros.

Também a estimativa, ou o processo de estimar, intimamente relacionado com o sentido de número, também se vai desenvolvendo com as experiências matemáticas que cada um de nós vai tendo ao longo da vida, geralmente, associadas a referentes físicos. Mas uma boa estimativa pode implicar também a realização de cálculos intermédios necessitando um bom conhecimento do efeito das operações sobre os números.

Atente-se um pouco sobre o fenómeno que tem ocorrido na informática. Dei conta que ao comprar a minha pen drive com a capacidade de 8 gigabytes ficou sensivelmente ao mesmo preço de uma caixa com dez unidades das antigas e miraculosas disquetes de 3,5 polegadas. Produto que há 20 anos era muitíssimo apreciado, afinal passou a ser uma forma de guardar um livro com mais de 100 páginas num simples bolso de camisa. Mas então quanto deveria custar a minha pen ao preço que era pago naquela altura a capacidade de armazenamento? Parece muito, uma simples pen de 8 Gb custar 2000€? Considerando o que se pagava por aquelas disquetes, este seria um óptimo negócio. No entanto, alguns anos depois, 10€ é o suficiente para comprar uma pen com a capacidade aproximada de 6000 disquetes. Imagina agora a quantidade de livros que posso trazer pendurados no meu porta-chaves?

A regularidade com que estabelecemos relações entre os números e entre as grandezas a eles associados é um ótimo contributo para o desenvolvimento do nosso sentido de número. É neste pressuposto, que proponho um pequeno exercício que provoca a sua intuição matemática e se der ao trabalho do efetuar, com certeza que ganhará um pouco mais de sentido de número.

Então é assim: imagine uma folha de papel com 1 milímetro de espessura e de tamanho indeterminado, podendo fazer dela o número de dobras sucessivas (dobra sobre dobra) que quiser. É claro que com esta espessura é mais um cartão que uma folha de papel, mas assim os cálculos ficam mais simplificados.

Será capaz de fazer uma estimativa de quantas dobras sucessivas, necessita de fazer no mínimo, para que obter uma altura superior à da maior torre do nosso planeta, que foi inaugurada em 2010 no Dubai com 828m de altura? Depois de fazer a sua estimativa comprove-a com os cálculos, e conclua sobre o seu sentido de número.

Divisão de unidades indivisíveis (resp)

Relativamente ao artigo publicado neste blogue a 12 de Novembro de 2008 com o título “Divisão de unidades indivisíveis” chega o momento de refletir um pouco sobre o enigma proposto.

Este enigma é mais um problema  semelhante a outros que se categorizam por alvitrarem as respostas. Também neste caso, embora de forma implícita, fica-se a entender que toda a herança é distribuída pelos 3 filhos. É necessário ter cuidado com este tipo de problemas. Devemos desconfiar quando o enunciado já nos deixa algum “caminho percorrido”. Geralmente esse caminho é o errado conduzindo-nos a situações sem saída.

Na verdade, as partes da herança daqueles três irmãos não constituem a unidade, ou seja, o total da herança;1/2 + 1/3 + 1/9 = 9/18 + 6/18 + 2/18 = 17/18. Assim, 1/18 da herança, o mesmo que 2/36 estava por atribuir. Beremiz, “o homem que sabia contar”, rapidamente se apercebeu da situação para revelar a sua generosidade ao doar seu próprio camelo para engrossar a herança e, por outro lado, retirar dividendos pelo seu bom serviço de tornar possível a divisão da herança em partes inteiras - era necessário que a herança fosse constituída por 36 camelos.

Importa referir, do ponto de vista matemático, que o número de camelos ideal para facilitar a divisão, deve ser um número que, ao mesmo tempo, seja múltiplo de 2, de 3 e de 9. Imaginando-nos agora numa situação idêntica, mas em que o número da camelos eram 52, quantos camelos deveríamos juntar à cáfila de modo a brilhar como Beremiz?

Nota: esta interessante situação pode ser adaptada à de sala de aula para determinar, e atribuir importância em conhecer o conjunto dos números múltiplos do mmc(2,3,9), bem como conectar ao estudo dos critérios de divisibilidade por estes três números.

Harmónica ou aritmética?

A deslocação que diariamente faço para o meu local de trabalho, há dias, foi tema de conversa numa tertúlia de colegas de profissão. Face às medidas de austeridade que o nosso governo nos impõe, ir trabalhar fica muito mais caro. Para além do elevado preço dos combustíveis, agora passo a pagar uma taxa por utilizar uma via que me oferece condições para que chegue mais rápido ao meu local de trabalho. Se não quiser pagar a taxa terei de optar por demorar mais tempo na viagem. Feitas as contas, numa semana é mais um dia de trabalho útil que é gasto em viagens. Mas esta conversa vem a propósito para dar conta da situação enigmática que se levantou nessa discussão.

Quando me desloco para o trabalho, percorro 60km em 24 minutos, mas na viagem de regresso, uma vez que não há horários a cumprir, demoro um pouco mais, 36 minutos para percorrer os mesmos 60 km. Na verdade, tenho abusado na velocidade, 150km/h é o que acusa o ponteiro do velocímetro quando vou para o trabalho ao passo que, no regresso a casa, a velocidade passa a ser de 100km/h.

Mas a observação de um colega não deixa de ser interessante, porque segundo o que ele diz, se passasse a fazer as duas viagens à velocidade de 125km/h, não passaria pela vergonha de ser um prevaricador, e acabaria por gastar o mesmo tempo nas viagens, uma vez que passo a fazer a velocidade média das duas anteriores. Prevaricador continuaria a ser mas a margem de tolerância acabaria por ignorar a minha falta.

Feita a experiência, surge a surpresa. Os resultados ainda são melhores do que se esperava. Anteriormente demorava uma hora para fazer a viagem de ida e volta e agora ainda sobram quase dois minutos e meio. É certo que os 120km de viagem para serem feitos numa hora, basta fazer o percurso à velocidade de 120km/h e não 125km/ como teria sido sugerido pelo meu colega. Mas afinal, a velocidade média entre aquelas duas velocidades é 125 ou 120 km/h?

Na verdade, a média aritmética, vulgarmente conhecida por “média”, entre aquelas velocidades é 125 [(100+150)/2], mas 120 é também a média entre aqueles dois valores, só que neste caso, diz-se média harmónica – que é o inverso da média aritmética dos valores inversos, 2/(1/100+1/150) = 120.

São conceitos diferentes porque se contextualizam em situações diferentes. Uma coisa é querer saber a velocidade média para um determinado percurso sabendo que foram praticadas várias velocidades em distâncias iguais, conforme a situação apresentada. Outra coisa é saber a velocidade média para um determinado percurso sabendo que foram praticadas diferentes velocidades nos mesmos espaços de tempo. Faria sentido determinar a média aritmética se fizesse 30 minutos à velocidade de 100km/h e 30 minutos à velocidade de 150Km/h, ou seja, o mesmo que circular durante uma hora à velocidade de 125Km/h.

Na nossa tertúlia este assunto foi retomado mais tarde para dar conta desta ocorrência. O Artur não querendo acompanhar o raciocínio, espalhou a confusão dizendo que esse problema é o mesmo que se passa com o preço dos combustíveis. Para ele o preço nunca aumenta nem diminui. De cada vez que abastece o seu automóvel paga 20€. Todos sabemos que não é assim porque a quantidade de combustível que se compra com o mesmo dinheiro pode não ser a mesma.

Mas ficámos de saber qual o valor médio do preço do combustível que o Artur comprou nos dois últimos abastecimentos. O primeiro abastecimento foi feito numa bomba de combustível na cidade com um cartão que lhe dava um desconto considerável. O preço da gasolina ficou-lhe por 1,10€ o litro. O segundo abastecimento foi feito na autoestrada onde a gasolina foi vendida a 1,65€ cada litro.

E no caso de ter comprado 10 litros em cada um dos abastecimentos, qual seria o preço médio do combustível?

Fica o repto para que o leitor ajude a determinar o valor médio do preço do combustível para cada uma das situações.