sábado, 7 de abril de 2012

Regularidades numéricas nas idades

 

imageA elaboração de uma tabela é em muitos casos a estratégia mais apropriada para a resolução de um problema. A tabela dá a possibilidade de visualizar com mais facilidade a forma como os números se relacionam e por conseguinte, uma forma rápida de estabelecermos relações entre os números que seguindo um raciocínio indutivo, nos leva a fazer as nossas próprias generalizações.

Esta é apenas uma sugestão a levar em conta quando se pretende perceber com mais facilidade as regularidades que os números escondem entre si. O problema que levanto poderá servir de exemplo para a sua aplicação: a idade de um pai, alguma vez poderá ser o dobro da idade do seu filho?

Parece ser uma questão sem conteúdo, mas se fizermos extensões a este problema eleva-se o seu interesse do ponto de vista matemático. Considere-se então, no caso da idade do pai ser o triplo da idade do filho? E se fosse o quádruplo? E o quíntuplo? Todas estas situações poderão ocorrer durante a vida de um homem?

Estas são algumas questões que poderão ser motivo para despoletar uma atividade de investigação em ambiente de sala de aula.

Se nos cingirmos apenas ao universo dos números naturais até 100 - poucos já são os que ultrapassam esta idade - e admitindo a possibilidade matemática de ser pai a partir dos quinze anos, damos conta que com 30 anos de idade já pode ter o dobro da idade do filho, se bem que a data limite para se pai seria os 50 anos. Só assim ficaria garantido atingir a dobro da idade do filho aos 100 anos de idade.

Portanto, a diferença entre as idades de pai e filho pode variar entre 15 e 50 anos. Há portanto 36 = 50 – 15 + 1 possibilidades do pai ter o dobro da idade do filho. Esta conclusão já nos leva a considerar que o seguinte problema tem solução – O Afonso tem 19 anos e o seu pai 44. Quando é que o pai tem o dobro da idade do filho?”

imageO mesmo já não acontece quando falamos no triplo da idade. Sendo pai aos 15 anos, embora o número pareça ser simpático (é múltiplo de 3), nunca vai haver a possibilidade do pai ter o triplo da idade do filho. A tabela ao lado ilustra isso mesmo. Para uma diferença de 15 anos de idade, quando o pai tem 22, é mais que o triplo da idade do filho, mas no ano seguinte, a mesma relação entre as idades já não chega a ser o triplo.

Seria interessante saber então quando será possível essa relação. Assim, é importante que nos fixemos na ideia de que a diferença de idades entre pai e filho (p-f) representa a idade do pai quando o filho nasce. Portanto, a tabela deverá começar por relacionar as idades cuja diferença seja a mais próxima e nunca inferior a 15 (p – f ≥15). Por outro lado, a idade do pai é o triplo da idade do filho (p = 3 x f). Perante estas condições, a idade do filho vai ter que se reportar a 8 anos e a do pai 24. Temos assim a tabela que nos dá a ideia dos momentos possíveis em que a idade do pai é o triplo da idade do filho.

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Na tabela, verifica-se que a linha amarela contempla apenas números pares, de onde se concluiu que, a verificar-se a relação desejada, é condição necessária que o nascimento do filho ocorra apenas quando o pai tem um número par de anos.

Confirma-se assim a impossibilidade do pai ter o triplo da idade do filho no caso da diferença entre as suas idades ser de 15 anos, ou seja, ser pai aos 15 anos.

Então, somos levados a concluir que:

1. Para que a idade do pai seja o dobro da idade do filho, a diferença entre as suas idades é um número natural.

2. Para que a idade do pai seja o triplo da idade do filho, a diferença entre as suas idades é um número par (múltiplo de 2).

Será então que a regularidade matemática que se evidencia nos leva a conjeturar que para a idade do pai vir a ser o quádruplo da idade do filho, a diferença entre as suas idades deverá ser um múltiplo de 3?

Continuando o raciocínio exposto, sugere-se a elaboração de outra tabela onde se admitem as possíveis idades do pai em função das diferentes idades do filho.

Temos então as condições: p – f ≥15 Λ p = 4f

Deste modo, a tabela irá começar por contemplar a idade do filho com 5 anos e a do pai 20.

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Confirma-se assim a conjetura de que para a idade do pai ser o quádruplo da idade do filho, a diferença entre as suas idades tem de ser um número múltiplo de 3.

Dando atenção à idade máxima para poder ser pai, a cada um dos casos, revela-se outra regularidade também merecedora de análise.

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Querendo adaptar o problema já referido anteriormente - O Afonso tem 19 anos e o seu pai 44. Quando é que o pai tem o dobro da idade do filho? - que idades devem ser atribuídas ao pai e ao filho para podermos perguntar quando é o que pai vai ter o quíntuplo da idade do filho?

1 comentário:

Anónimo disse...

ACHO QUE O PAI TEM A IDADE DO FILHO QUANDO FIZER 50 ANOS (6 ANOS).

ACHO QUE DEVEMOS ATRIBUIR AO PAI 30 ANOS E AO FILHO 2 ANOS PARA PODERMOS PERGUNTAR QUANDO É QUE O PAI VAI TER O QUÍNTUPLO DA IDADE DO FILHO.

ATT. DJEOSEDE.