Problemas com moedas

A resolução de problemas é reconhecida universalmente como sendo um item fundamental e de especial relevância nas aprendizagens. É indiscutivelmente um processo que promove o desenvolvimento do raciocínio e a construção de processos cognitivos de nível superior, como seja conjecturar, testar, validar, reflectir…

Mesmo assim, o conceito de problema ainda hoje não converge no seio da comunidade educativa. Tanto que, são vários os investimentos por parte de alguns matemáticos que se empenham na melhor definição deste conceito. Mas, partilhando a ideia de que um bom problema, entre outras características, deve ser interessante, desafiador, sem resposta imediata, mas cuja resolução seja possível por parte do resolvedor, contudo, nem sempre é possível reunir todas elas, pois existe uma comunidade de resolvedores muito heterogénea.

Serve de exemplo um problema de Brian Bolt, matemático que muito tem contribuído para motivar o interesse pela matemática. Trata-se de um problema desafiador que, caso o leitor já o conheça, deixará de ser um desafio, e por conseguinte, perderá algum do seu interesse natural.

“Disponha de oito moedas, como se indica na figura formando um quadrado com três moedas em cada lado.

Agora desloque quatro moedas para formar um quadrado com quatro moedas em cada lado!”

Por favor não continue a leitura enquanto não pensar um pouco na resolução do problema.

Este problema é normalmente classificado como sendo de tipo puzzle – não necessita de grandes conhecimentos para ser resolvido, a solução pode surgir num clique, a tal Eureka!

A disposição das moedas apresentada já é algo interessante e até poderia servir de solução a outro problema onde fosse necessário formar 8 soldados em 4 filas havendo apenas 3 soldados em cada fila.

O que poderia parecer impossível, por falta de 4 soldados, afinal, torna-se de fácil resolução se 4 soldados puderem ser contados duas vezes. Assim a disposição em quadrado, como na figura, seria a solução. O soldado que fica no vértice do quadrado será contado duas vezes.

A partir desta experiência torna-se mais fácil a descoberta da solução do problema proposto. Também neste caso para se obter um quadrado com 4 moedas em cada lado, e dispondo apenas de 8 moedas, só nos resta dispô-las de tal forma que cada moeda possa ser contada duas vezes, isto é, cada moeda tem que estar simultaneamente em dois lados.

Assim, basta deslocar as 4 moedas que se encontram no meio de cada lado e sobrepô-las nas moedas que formam os vértices. Temos assim 4 moedas em cada lado num quadrado formado por oito moedas. Interessante, não é?! Quando se sabe, é fácil!

Mas, tão fácil como esta resolução é também uma outra para o problema que apresento de seguida. Na minha opinião, trata-se de um problema dos mais fascinantes devido à facilidade com que pode ser resolvido mas, à primeira vista, parece ser impossível de resolver.

Imagine-se na situação de um condenado à morte que apenas tem uma só noite até à sua execução. Na masmorra onde está preso não entra qualquer luz. Os soldados visitam-no pela última vez para lhe transmitirem a decisão que o imperador tomou por influência do povo, uma vez que sabiam que você era um bom resolvedor de problemas.

Um soldado lê o comunicado: como podes verificar, ficam aqui na mesa 40 moedas. Apenas 18 destas moedas estão viradas com a cara para cima. Se amanhã quando te viermos buscar, as moedas estiverem divididas em 2 grupos, de forma que os 2 grupos tenham o mesmo número de moedas com a cara virada para cima, então, não serás executado.

Os soldados saem, fecham a porta, e fica completamente escuro sem ter qualquer possibilidade de ver as moedas.

O que faria para não ser executado?

Nota: O desgaste das moedas não lhe permite através do tacto identificar a cara ou a coroa da moeda. Caso não encontre a solução de imediato, sugiro que tente reduzir o problema a uma situação mais simples simulando-o com poucas moedas.

proposta de resolução