quarta-feira, 1 de outubro de 2008

Pitágoras, não só para quadrados

É do conhecimento profissional do pedreiro fazer uma esquadria sem que no entanto tenha um esquadro. Quando confrontei um pedreiro meu amigo com esta situação, de imediato referiu: “60, 80 e 100 é quanto preciso para fazer uma esquadria”.

No entanto, ficou surpreendido ao saber que os pedreiros de antigamente conseguiam a mesma proeza mas, sem fita métrica. Uma corda seria o bastante para traçarem duas linhas perpendiculares para que, a partir daí construíssem duas paredes a fazerem entre si 90 graus. A técnica consistia em dar nós na corda à mesma distância uns dos outros de modo a obter doze comprimentos iguais.



Depois bastava formar com a corda um triângulo de modo a ter nos lados 3, 4 e 5 unidades de comprimento. O maior ângulo do triângulo que se obtém é de 90 graus. Trata-se, portanto, de um triângulo rectângulo.

É interessante a observação que esse meu amigo fez sobre a relação entre estes números e os que ele utiliza. Ele próprio disse: “ eu estava a pensar em centímetros mas, se considerarmos decímetros é o mesmo que 6, 8 e 10 que são precisamente os dobros do trio 3, 4 e 5”. Também o terno 9, 12 e 15 dá origem a um triângulo rectângulo a diferença está apenas nas suas dimensões.

Aos conjuntos de três números com a particularidade de expressarem as medidas de um triângulo rectângulo são conhecidos por ternos pitagóricos, dado que, a soma dos quadrados dos lados menores (catetos do triângulo) é igual ao quadrado do lado maior (hipotenusa do triângulo). A interpretação geométrica pode ser traduzida pela seguinte figura:
Fica então o desafio para a descoberta de outros ternos pitagóricos que não sejam múltiplos dos anteriores nem dos do exemplo seguinte: 8, 15 e 17 [8^2+15^2=17^2]

Mas, o produto de um quadrado pelo nobre irracional transcendente “pi” dá origem a um círculo cujo raio é o lado desse quadrado. Então, na igualdade de Pitágoras, neste caso, 3^2+4^2=5^2 podemos criar uma nova igualdade com um novo significado: pi3^2+pi4^2=pi5^2

Se os lados do triângulo rectângulo forem raios de círculos, poder-se-ão relacionar de acordo com a descoberta de Pitágoras. Assim, pode-se concluir que a área do semicírculo construído sobre a hipotenusa de um triângulo rectângulo é igual à soma dos semicírculos construídos sobre os seus catetos. Interpretando esta frase geometricamente, temos: a = b + c

Então, que relação se pode estabelecer entre as lúnulas x, z e o triângulo y?




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