Números primos

Não é novidade para ninguém, o facto de haver números primos. Pelo menos na escola já ouvimos falar em tais números. Grande parte das pessoas não se lembra o que estes números têm de especial para que justifiquem o nome de “primos”. De facto, são tão especiais que se tivermos um número primo de pessoas não as conseguimos dividir em grupos com o mesmo número de elementos, tendo em conta que, cada grupo deverá ficar com pelo menos duas pessoas.

Na matemática diz-se que o número primo só admite dois divisores: o um e ele próprio. Também no universo dos números naturais o primeiro primo tem uma característica que mais nenhum tem – é par, todos os outros são ímpares. Porque será?

Procurando então os números que não se deixam dividir por outro número senão por um e por ele próprio, temos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89…

Para além da decomposição de um número em factores primos, que se aprende na escola, será interessante constatar que qualquer número par (excepto o dois) é a soma de dois números primos. Este poderá ser um desafio interessante: descobrir um número par, maior que dois, que não seja a soma de dois números primos. É garantido que se o leitor descobrir esse número (é possível que isso aconteça uma vez que ainda ninguém conseguiu demonstrar o contrário), o seu nome vai ficar na história da matemática mesmo que ainda não tenha ganho grande afinidade com esta ciência. Esse feito iria conseguir refutar a conjectura que já dura quase há 300 anos cujo autor é Christian Goldbach.

Mas, se isso der muito trabalho pode ainda procurar fama na descoberta de um processo que produza a sequência de números primos. Por exemplo, a partir da sequência de números primos acima apresentada, como poderemos descobrir o próximo número primo (97)?

Para facilitar o trabalho posso adiantar uma particularidade que se verifica neste tipo de números: se a qualquer número primo maior que 3, retirarmos um e dividirmos por seis e não der resto zero, então adicionamos um e dividido por 6 dá de certeza resto zero. Será que esta regularidade acontece com todos os números primos? Isto é, qualquer número primo (excepto o 2 e o 3) existe na forma 6n±1?

Também se pode constatar que existem números primos na forma 4n+1. Da nossa lista destacam-se: 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89. Estes números têm a particularidade de serem a soma de números quadrados: 5=1+4, 13=4+9, 17=1+16, 29=4+25, 37=1+36… Será que é sempre assim? Isto é, qualquer número primo na forma 4n+1 é a soma de dois números quadrados?

Para além destas particularidades dos números primos também se constata que entre números quadrados consecutivos existe sempre pelo menos um número primo. Pelo menos na lista dos números primos menores que 100, não há dúvidas que isso aconteça: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 36, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97… Será que é sempre assim?

Parece-me que estas particularidades nestes números podem ajudar na descoberta de novos números primos… então, mãos à obra! E, já agora, consegue descobrir os números que estão escondidos pelas letras A, B, C, e D no esquema seguinte?

proposta de resolução