quarta-feira, 22 de dezembro de 2010

Números primos (resp.)

Já vai sendo altura de dar resposta ao desafio proposto neste blogue a 10 de Outubro de 2008 com o título “Números Primos”.

Assim, analisando a imagem e procurando descobrir o critério da formação numérica de cada um dos eixos do esquema, damos conta que todos os eixos têm como origem o mesmo número – o 1.

nos.primos

O primeiro eixo é encabeçado pelo número dois, e os números que se seguem são todos os seus múltiplos. Poder-se-ia identificar este eixo como sendo o eixo dos números pares.

Sendo assim, o próximo número natural que não entra neste eixo – o número 3, vai encabeçar o segundo eixo. Todos os números do segundo eixo, ou seja, do eixo 3, são os seus múltiplos excepto os números pares porque ficaram “presos” no eixo do 2.

Percebe-se então, que o próximo eixo vai ser o eixo do 5, uma vez que é o primeiro número natural que não entra no eixo do 2 nem no eixo do 3. Da mesma forma, os números que se seguem neste eixo vão ser os múltiplos de 5 que ainda não entraram nos eixos anteriores.

Este critério aplicado a todos os números naturais dá origem à formação de tantos eixos, tantos os números primos existentes, dado que são estes que lideram cada um dos eixos.

É interessante verificar que todos os números que fazem parte de um determinado eixo não são múltiplos de nenhum número que esteja nos eixos anteriores. Então podemos concluir que os segundos números de cada eixo têm apenas mais um divisor que o número que os antecede. Esse divisor é o próprio número que o antecede, o que faz com que estes números sejam quadrados.

Uma vez que estes números, os que se encontram em segundo lugar em cada eixo, têm apenas três divisores, poderíamos propor que fossem os “números segundos-primos”. Não seria interessante?

Então, sabendo agora que o segundo número de cada eixo resulta do quadrado do primeiro, será fácil concluir que o número B = 13 x 13 = 169, C = 11 x 11 = 121 e D = 5x5 = 25.

O número que ocupa a posição A é o primeiro número natural que não é múltiplo de qualquer um dos que já ficaram nos eixos anteriores. É portanto, o número primo 19.

Em síntese e de forma conclusiva podemos verificar que os primeiros números de cada eixo correspondem ao conjunto dos números primos. Os segundos números de cada eixo resultam do quadrado do número primo que dá nome ao eixo – os segundos-primos (não é par levar a sério).

Para finalizar, também é merecida a referência ao terceiro número de cada eixo. Pois ele resulta do produto do número primo desse eixo pelo primo que lhe sucede. E já agora, o 4º número de cada eixo terá alguma relação semelhante?

1 comentário:

Piter Keo disse...

Se você desconsiderar o 8, por ele ser o produto de 2 com 4 (que por sua vez já é produto de 2), e portanto considerar o 10 no eixo do 2, haverá sim um padrão para o quarto número, que será o produto do primo do seu eixo pelo primo de dois eixos à frente.
Ou seja, removendo os cubos dos números primos (e todas as suas potências seguintes), o próximo número em cada eixo será sempre o produto do primo daquele eixo com o primo de C-2 eixos à frente (onde C representa a casa do eixo em q o número em questão se encontra).
O 10 (excluindo-se o 8 do eixo) fica na quarta casa, portanto ele é o produto de 2 vezes o (4-2)º primo seguinte (2 vezes o 2º primo seguinte).
No eixo seguinte, o 21 é o produto de 3 vezes o 2º primo seguinte. Etc.. etc...
Como é óbvio, no eixo 2, cada número é o anterior + 2.
No eixo 3, é o anterior + 6.
No eixo 5, há uma alteração. O anterior +20, depois o anterior + 10, depois o anterior + 20 de novo, e assim alternadamente.