Descubra o seu algarismo da sorte ( resp. )

Relativamente ao artigo publicado neste blogue com o título “Descubra o seu algarismo da sorte a 19 de Setembro de 2008, proponho a seguinte resposta:

Este problema assenta na curiosidade de que partindo de um número formado por 3 algarismos, encontrando a diferença com o mesmo número invertido, e adicionando à diferença o número da diferença também invertido, obtemos sempre uma mesmo número: o 1089.

É certo que, o número de partida deve ser formado por três algarismos desde que não sejam todos iguais. Repare que um número desta natureza, quando invertido fica igual a si próprio. Logo, a diferença entre eles vai ser zero, o que não é conveniente. É por isso que se diz no desafio que ”…o seu algarismo da sorte, para este ano, nunca poderá ser igual aos algarismos da sua idade”. Assim fica garantido que o número de partida tem, pelo menos, um algarismo diferente e, com a certeza de que o mesmo número é formado por três algarismos, uma vez que “…se trata de uma experiência que só resulta com adultos”.

Sabendo então que o número obtido é sempre 1089, fica garantido que a soma dos seus algarismos vai dar indicação da 18ª palavra do texto. É claro que qualquer outro algarismo escolhido preenche sempre o requisito para seja o seu número da sorte.

Muito concretamente, nesta situação apresentada, bastaria apenas encontrar a diferença entre os números invertidos para desencadear a descoberta da 18ª palavra, como sugere a ilustração ao lado.

No entanto, a contextualização criada pretendia promover esta curiosidade que pode ser adaptada a outras situações ainda mais interessantes. Por exemplo, numa plateia em que todos fazem os mesmos cálculos a partir de números diferentes, chegar a um mesmo número, ninguém fica indiferente, a não ser que já conheça o fenómeno matemático.

Importa então analisar esta curiosidade para que se perceba como funciona do ponto de vista matemático.

Considere-se então o número:

Invertendo o número, temos:

Obtendo a diferença entre eles:

10²a + 10b + c - (10²c + 10b + a) =

= 10²(a - c) + c - a

Dado que a > c, o algarismo das unidades (c - a) não é possível determinar, em N.

Assim, vamos ter de utilizar uma técnica idêntica àquela quando pretendemos subtrair um número em que o aditivo é inferior ao subtractivo. Uma técnica vulgar é o recurso ao método do empréstimo - a ordem seguinte cede uma dezena à ordem anterior para que o cálculo seja possível. No nosso caso, 10²(a - c) + c - a, a ordem das dezenas encontra-se vazia, o que obriga a recorrer à ordem das centenas para “emprestar” uma dezena de centenas.

Assim, temos:

10²(a - c) + c - a =

= 10²(a - c) - 10² + 10² - 10 + 10 + c - a =

= 10²(a - c - 1) + 10² - 10 + (10 + c - a)=

= 10²(a - c - 1) + 10 x (10 - 1) + (10 + c - a)=

Daqui se percebe que:

(1) O algarismo das centenas = a - c - 1

(2) O algarismo das dezenas = 9

(3) O algarismo das unidades = 10 + c - a

O procedimento seguinte consistia em adicionar este número com o mesmo número invertido.

Invertendo este número obtém-se:

10² (10 + c - a) + 10 x 9 + (a - c - 1)

Adicionando este dois números:

10²(a - c - 1) + 90 + (10 + c - a) + 10²(10 + c - a) + 90 + (a - c - 1)=

= 10² (a - c - 1 + 10 + c - a) + 90 +10 + c - a + 90 + a - c - 1 =

10² x 9 + 189 = 1089.