domingo, 13 de junho de 2010

Regularidades no plano

Por volta de 1750, Leonhard Euler fez uma descoberta que, não sendo aquela que lhe deu mais notoriedade, representa uma ponte que estabelece os primeiros contactos dos alunos com a história da matemática. É uma das primeiras “receitas matemáticas” no currículo académico que denota nesta ciência regularidades, padrões e relações que poucos conseguem apreciar.

Euler delicia-nos com uma relação entre os elementos que constituem os sólidos geométricos limitados por superfícies planas - arestas, vértices e faces. Quando o professor leva os alunos a conjecturar que, num poliedro, a soma do número de faces com o número de vértices é sempre igual ao número de arestas mais dois (F+V=A+2), também tomam conhecimento de que essa descoberta já foi feita por alguém há cerca de 300 anos. Os estudantes, ao dar os primeiros passos nesta ciência, começam a perceber que a Matemática também tem a sua história, sendo tão importante o conhecimento matemático como o conhecimento daqueles que contribuíram para o seu desenvolvimento.

Mas todos sabemos que não há regra sem excepção, e a desilusão daqueles que entusiasticamente constroem matemática surge na descoberta de um elemento que não se encaixa na regra. O zero é um exemplo disso mesmo. Há quem o considere uma aberração da matemática porque faz perder as boas qualidades de grandes generalizações. A determinação do comprimento da diagonal do quadrado tendo de lado uma unidade de comprimento, tirou muitas noites de sono ao próprio Pitágoras. Também na relação de Euler aparece um “monstro” que refuta a teoria que parecia ser infalível. clip_image001

Houve então a necessidade de definir os sólidos que se caracterizam por verificar esta relação – os sólidos eulerianos. Os outros, na época, seriam os “monstros”, como o da figura.

Mas esta curiosidade nas 3 dimensões leva-nos a interrogar sobre o que se passa no plano. Será que existe uma regularidade semelhante ou, simplesmente, não haverá qualquer regularidade?!...

Imagine-se então um plano, cuja construção mental pode ser a ideia de um pavimento. Vamos considerar neste pavimento arestas (a), nós (n) e mosaicos (m). Consideremos as arestas como sendo as linhas que terminam em nós, e a porção de pavimento limitada pelas arestas serão os mosaicos. A figura seguinte é um exemplo de uma figura com 6 nós, 7 arestas e 2 mosaicos.

 clip_image002

Fica então o desafio de estabelecer uma relação, caso exista, entre nós (n), arestas (a) e mosaicos (m).

Depois de ter chegado a uma conclusão, analise cuidadosamente se não haverá um “monstro” que refute a sua conjectura.

Sem comentários: