domingo, 16 de maio de 2010

Uma questão de tempo (Resp.)

clip_image003Recordando o artigo “Uma questão de tempo”, publicado neste blogue a 7 de Setembro de 2008, era pedido um exemplo onde a influência da cultura Babilónica ainda se fizesse sentir nos dias de hoje.

A medida da amplitude de um ângulo é um exemplo disso mesmo. Quando se fazem medições de amplitudes de ângulos, recorre-se habitualmente ao sistema de numeração de base sessenta (sistema sexagesimal). Um grau é o mesmo que 60 minutos, e um minuto são 60 segundos. As experiências que temos com um sistema diferente do decimal, como no caso da medição de ângulos ou na medição do tempo, poderá servir para compreender melhor quando se pretende converter a representação de um número numa base para outra base diferente.

É certo que este sistema (sexagesimal), tal como o conhecemos, não é suficientemente puro uma vez que não dispõe de 60 símbolos, de modo a que a ordem dos segundos, dos minutos ou dos graus fosse representada apenas por um símbolo. Na verdade, cada uma destas ordens, ainda que seja de forma parcial, organizam-se com recurso ao sistema decimal.

Mesmo assim, compreende-se que o número 20o15’36’’ corresponde a 20x602+15x60+36 unidades no sistema decimal, isto é, 72936 segundos que, na sua decomposição polinomial de base dez pode ser representado por 7x104+2x103+9x102+3x10+6 .

Na eventualidade de querer representar um número noutra base a partir da decimal deveremos proceder em sentido inverso. Partindo do mesmo exemplo, 72936 segundos, é o mesmo que 72936:60 minutos (72936=1215x60+36). Assim, na ordem dos minutos temos 1215 e na ordem do segundos, o que resta: 36 segundos.

No entanto, torna-se obrigatória a operação 1215:60 (horas), uma vez que em qualquer ordem só se admitem valores inferiores a 60. Dado que 1215:60=20x60+15, concluiu-se que temos 20 na ordem das horas, 15 na ordem dos minutos e 36 na ordem dos segundos: 20o15’36’.

De forma análoga, querendo representar o mesmo número 72936 na base cinco, o procedimento é o mesmo, com a diferença de que as divisões a efectuar são sempre com divisor cinco.

72936:5=14587x5+1 –> 14587 grupos de 5 de ordem um, e ainda resta 1 na ordem zero –> 1

14587:5=2917x5+2 –> 2917 grupos de 5 de ordem dois, e ainda restam 2 na ordem um –> 21

2917:5=583x5+2 –> 583 grupos de 5 de ordem três, e ainda restam 2na ordem dois –> 221

583:5=116x5+3 –> 116 grupos de 5 de ordem 4, e ainda restam 3 na ordem três –> 221

116:5=23x5+1 –> 23 grupos de 5 de ordem 5, e ainda resta um na ordem quatro –> 13221

23:5=4x5+3 –> 4 grupos de 5 de ordem 6, e ainda restam 3 na ordem cinco –> 313221, isto é: 4313221(cinco)

Confirmando a sua representação em número decimal, temos: 4x56+3x55+1x54+3x53+2x52+2x5+1=72936.

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