segunda-feira, 26 de abril de 2010

mdc

No artigo com o título mmc foi aproveitada a ideia das figuras rectangulares para determinar o mínimo múltiplo comum de dois números. Será que não haverá um processo idêntico para calcular o máximo divisor comum (mdc) de dois números?

Importa então pensar um pouco no que se entende por máximo divisor comum de dois números. Pretende-se encontrar o maior número inteiro que divide exactamente esses dois números. Recorrendo a uma figura rectangular, em que esses números estão representados pelo comprimento dos seus lados, temos de encontrar o maior, e o mesmo número de divisões iguais que podemos fazer, em cada um dos seus lados.

Por exemplo, num rectângulo de 6 por 9 é possível subdividi-lo em rectângulos semelhantes obtendo assim um número quadrado de rectângulos. É certo que o número de rectângulos que formam o rectângulo inicial é sempre um número quadrado, uma vez que resulta do produto de dois factores iguais. Neste caso, o resultado final será um rectângulo subdividido em 9 rectângulos congruentes (3x3).

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Neste exemplo, o maior número inteiro que divide exactamente os dois lados do rectângulo é o 3 (mdc de 6 e 9). É por isso que na diagonal do rectângulo se encontram 3 rectângulos.

Esta poderá ser uma indicação para encontrar, a partir de uma figura rectangular, o máximo divisor comum dos valores que correspondem aos comprimentos dos lados do rectângulo.

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Note-se que a soma das diagonais dos rectângulos interiores constitui a diagonal do rectângulo maior. Repare-se ainda, que esta diagonal contém dois pontos especiais para além dos seus extremos. São os extremos das diagonais dos rectângulos interiores. Estes pontos são os únicos que coincidem com os vértices dos quadrados da malha quadrangular.

Portanto, ao traçar uma diagonal num rectângulo construído numa malha quadrangular, podemos procurar os pontos da diagonal que coincidem com os vértices dos quadrados dessa malha. Caso existam, pode-se concluir que são os extremos das diagonais dos rectângulos interiores que se podem formar ao longo da diagonal, como se pode constatar na figura anterior.

Numa outra situação de exemplo, se a diagonal do rectângulo passar por quatro vértices dos quadrados que constituem a malha quadrangular, quer isto dizer que a diagonal foi dividida em 5 segmentos de comprimento igual. Sabendo agora que estes segmentos são as diagonais dos rectângulos que podem ser construídos sobre aquela diagonal, pode-se deduzir que será possível dividir o rectângulo em 25 rectângulos congruentes e semelhantes ao primeiro. Cinco no comprimento e cinco na largura.

Significa isto que o comprimento e a largura do rectângulo se deixam dividir exactamente por cinco.

Perante um rectângulo de 5 por 8, por serem números primos entre si (não têm um divisor comum que seja diferente de 1), podemos garantir, com toda a certeza, que a sua diagonal não encontra o vértice de qualquer quadrado. Confirme-se no exemplo.

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No entanto este rectângulo poderia ser visto como sendo apenas um de 36 rectângulos “iguais” que formam um outro rectângulo semelhante a este.

Qual será o valor do comprimento e largura desse rectângulo?

A diagonal desse rectângulo, para além dos seus extremos, contém pontos que são vértices dos quadrados da malha quadrangular. Quantos pontos são?

Esses pontos dividem a diagonal em quantas partes?

Que relação existe entre esse número de partes, o valor do comprimento e o valor da largura desse rectângulo?

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