sábado, 12 de dezembro de 2009

Áreas e perímetros com abelhas (resp.)


clip_image002[4]Em relação ao artigo publicado neste blogue com o título Áreas e perímetros com abelhas a 1 de Agosto de 2008, proponho a seguinte análise:

Seguindo o conceito de uma pavimentação regular, o plano é pavimentado apenas com um tipo de ladrilho, cuja forma é um polígono regular. O polígono regular implica ter todos os lados de comprimento igual e ângulos internos com a mesma amplitude. Apenas o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular têm ângulos internos cujas amplitudes são submúltiplas de 3600. Quer isto dizer, que são os únicos polígonos regulares que pavimentam.

Facilmente se reconhece que o trabalho desenvolvido por uma comunidade composta por centenas de elementos é mais fácil se todos eles forem formatados para fazer o mesmo. Desta forma, não há a necessidade de discutir alterações ou a criação de novos projectos. Neste caso, o projecto das abelhas é dividir o plano em regiões idênticas, de forma que todas elas estejam sempre envolvidas no mesmo projecto. Assim, é compreensível que se adopte apenas um ladrilho para que seja feita a pavimentação (monoédrica).

Por outro lado, o rendimento do trabalho aumentará se para a conclusão do mesmo projecto recorrer à menor energia possível. É dentro desta lógica que importa saber qual a forma a adoptar para obter a maior área tendo o mesmo perímetro. Através do conhecimento matemático prova-se que o círculo é a forma geométrica ideal, tendo em vista a obtenção da maior área com o menor perímetro. De facto, entre as três figuras enumeradas anteriormente, o hexágono é aquela que se aproxima mais do círculo. Vamos lá perceber como é que as abelhas descobriram isso…

Fazendo o teste que é sugerido para uma mesma área:


Optando por triângulos equiláteros:clip_image003[4]

-- 135 palitos

-- ±9,5 palitos para acabar de fechar o rectângulo.

Total de 144,5 palitos


Optando por quadrados:

clip_image004

-- 76 palitos

-- ± 8,5 palitos para acabar de fechar o rectângulo.

Total de 84,5 palitos


Optando por hexágonos regulares:

clip_image005

-- 45 palitos

-- ± 19,5 palitos para acabar de fechar o rectângulo.

Total de 64,5 palitos


Comprova-se que para um menor consumo energético na construção dos favos, as abelhas estão certas em optarem pelos hexágonos.

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