terça-feira, 24 de março de 2009

Actividade matemática com engrenagens

Para além do envolvimento do aluno em actividades significativas, o professor de matemática também tem como objectivo elevar o grau de abstracção dos seus alunos.

As engrenagens com rodas dentadas são o exemplo de situações pouco exploradas, mas que têm um grande potencial em relação a várias áreas no domínio cognitivo. Para além da abstracção, promove o sentido espacial, o raciocínio lógico e poderão ainda ser usadas na exploração e apropriação de conceitos matemáticos que fazem parte do programa nacional do ensino da matemática.

Refiro-me concretamente ao desenvolvimento do pensamento algébrico onde a noção de proporcionalidade e o estabelecimento de relações numéricas têm um papel relevante. A exploração deste tipo de tarefas propicia a formulação de generalizações tendo por base a sistematização e a organização do próprio pensamento.

Por exemplo, numa engrenagem constituída por rodas dentadas, algo se pode concluir em relação ao número de eixos envolvidos na engrenagem e o movimento relativo da última roda em relação à primeira.

Outro estudo, de maior interesse, é encontrar a relação entre o número de voltas da última roda dentada por cada volta da roda que desencadeia o movimento da engrenagem.

No caso específico, que se segue, é fácil reconhecer que para obtermos o número de voltas da roda B enquanto A dá uma volta, é necessário encontrar o quociente entre o número de dentes da roda A e o número de dentes da roda B (A:B). Conclui-se que a roda B dá meia volta enquanto a roda A dá uma volta completa.


Analisando uma engrenagem com 4 rodas dentadas, como no exemplo da figura seguinte, poder-se-á recorrer a uma tabela cujo preenchimento recorre à noção de proporcionalidade.
Fazendo a leitura da última linha da tabela fica-se a saber que o eixo D dá 1,6 voltas por cada volta completa de C. Pode-se ainda constatar, pela análise da figura, que se estabelecem 3 relações entre os quatro eixos: 1º-2º eixo, 2º-3º eixo e 3º-4º eixo. Assim, uma outra forma de sistematizar estas relações pode ser da seguinte forma:











Com um pouco de dedicação e capacidade de análise, o leitor com certeza que vai aceitar o seguinte desafio apenas com uma ligeira diferença em relação aos anteriores. Imagine, por exemplo, uma engrenagem composta por 5 eixos de rotação, havendo duas rodas dentadas sobre o mesmo eixo.

Qual o sentido de rotação do eixo F? Enquanto E dá uma volta, F dá mais ou menos que uma volta? Ou será que também dá uma volta?

Se eventualmente for professor, ainda sugeria outro tipo de abordagem como orientação metodológica numa fase mais avançada. Dispondo de 3 rodas dentadas de 9, 12 e 36 dentes, proponha a construção de uma engrenagem de modo que, uma volta completa de um eixo origine, em um outro eixo, quatro voltas completas, mas rodando no mesmo sentido.

1 comentário:

bia.contayoutube disse...

Sou uma aluna do 8ºano da Escola Francesa do Porto e este mês recebi um trabalho de casa para nota. Depois de ler e reler (com a ajuda da minha mãe), ficamos encravadas num exercício sobre engrenagens de várias rodas dentadas. Sem nenhuma explicação do meu professor sobre a matéria, decidimos procurar na net e descobrimos o seu site. Em 2 minutos e com a ajuda da sua explicação da matéria, resolvemos todos os exercícios. Queria agradecer por publicar a sua aula e permitindo-me perceber a matéria. Muito Obrigado.