domingo, 24 de agosto de 2008

Duplicação do quadrado

Um aluno do 9º ano e o outro do 4º ano foram confrontados com o seguinte desafio:

“A partir do quadrado que é dado, desenha outro que tenha o dobro da área. No final, faz um registo daquilo que te possa ocorrer sobre o teu trabalho.”


O aluno do 9º ano começou por traçar um quadrado tendo de lado o dobro do comprimento, mas facilmente se apercebeu que não estava a obter o que desejava.

Recorreu a uma régua e concluiu que a área do quadrado pedido teria que ter 8 centímetros quadrados. Com a ajuda da máquina calculadora e utilizando a operação de radiciação decidiu construir um quadrado com 2,8cm de lado.

O seu registo final: “Não é possível desenhar um quadrado exactamente com o dobro da área do quadrado que é dado, uma vez que é necessário ter de lado um comprimento que não é possível medir (número irracional, sendo neste caso 2,82842712…). Assim, o quadrado que tracei tem um valor muito próximo do que é pedido: 2,8x2,8=7,84 centímetros quadrados”.

O aluno do 4º ano seguiu o mesmo erro do aluno com maior escolaridade, no entanto, também ele deu conta que obteve um quadrado com o quádruplo da área em vez do dobro, como era pedido.

Depois de várias tentativas, o aluno revela incapacidade de resolver aquilo que inicialmente lhe parecia muito fácil. É então aconselhado a simular um geoplano podendo mesmo aproveitar o quadrado como unidade para a representação da malha quadrangular. Este aconselhamento foi o suficiente para que o aluno tivesse ganho novo entusiasmo neste desafio.

Desenhou então:

Uma nova ajuda foi necessária para que o aluno escolhesse uma unidade de área que o facilitasse na construção do quadrado pedido. A partir daí já não foi muito difícil concluir que, o quadrado pretendido deveria ter quatro unidades de áreas dado que o quadrado inicial teria 2 u.a. (2 triângulos).

Com alguma perseverança lá conseguiu construir o quadrado pretendido:


Confrontado com a mesma dificuldade com que todos os alunos deste nível de ensino revelam, foi difícil fazer com que o aluno reflectisse um pouco sobre o seu trabalho e conseguisse algum registo. Após análise orientada sobre o trabalho produzido, o aluno acaba por escrever: “Gostei desta actividade porque percebi que não deveremos desistir. Afinal só temos é que pensar um pouco. Com este desafio aprendi ainda que a diagonal de um quadrado e o lado de outro quadrado com o dobro da área têm o mesmo comprimento.”

Importa então reflectir sobre a competência matemática destes alunos. Em qual dos casos será maior ou, tenha havido uma maior apropriação dessa competência?

O desenho seguinte resultou de uma actividade de desenvolvimento que pretendia a elaboração de uma figura composta apenas por quadrados. O único requisito é que qualquer quadrado na figura teria de lá ter o seu sucessor ou antecessor, isto é, o quadrado com o dobro ou com a metade da sua área.

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