sábado, 27 de Julho de 2013

Quadrados mágicos

Os quadrados mágicos, para além do prazer para quem gosta de desafios, poderão ser um bom exercício, em alguns casos, um verdadeiro problema a ser explorado em ambiente de sala de aula. Num nível pouco exigente é vulgar encontrar quadrados mágicos semipreenchidos onde se pretende que nas linhas, colunas e diagonais se obtenha sempre a mesma soma. O maior problema surge quando nos dão apenas o quadrado e o devemos preencher com uma sequência de números em progressão aritmética, não conhecendo sequer a soma mágica.

A história da matemática faz o registo de como o quadrado mágico move interesses matemáticos muito antigos. Veja-se o exemplo em Melancolia, uma das principais obras de Albrecht Dürer onde se pode apreciar um quadrado mágico de ordem 4. A curiosidade do quadrado regista a data da conceção da obra nos dois quadrados centrais e inferiores (1514).

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A soma mágica neste quadrado é 34. Mas para além de se esperar esta soma nas linhas, colunas e diagonais, o 34 ainda se esconde em muitas outras situações.

Imagine o leitor que pretende pintar 4 quadrados do quadrado mágico, mas de forma criteriosa, com lógica, onde se vislumbre alguma harmonia, depois adicione os valores de cada quadrado pintado. Com certeza que fica surpreendido, a soma continua a ser 34. A seguir apresentam-se exemplos onde a soma mágica surge. Os quadrados destacados a amarelo são os triviais, os que se encontram pintados a laranja, talvez já os tenha descoberto. Este tipo de exploração em sala de aula pode constituir uma atividade onde promova o gosto e o desenvolvimento da intuição matemática, o cálculo mental, o raciocínio lógico, o pensamento algébrico entre outras conexões matemáticas, onde se incluiu também referências históricas.

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Outras atividades de exploração investigatória poderão ser desenvolvidas se nos interrogarmos, por exemplo, sobre a razão do 34 ser o número mágico. Será que não poderá haver outro número mágico para quadrados 4 x 4?

É certo que os números utilizados no preenchimento deste quadrado mágico correspondem a uma sequência de progressão aritmética de razão 1 (do 1 ao 16), onde o somatório desta sequência é 136. Não deixa de ser curioso, este número é o quádruplo de 34 (136 = 4 x 34). E no caso de se considerar apenas os números pares, ou os números ímpares na formação da sequência? Tanto num caso como no outro o somatório da sequência é múltiplo de 4. Será que a soma mágica, nestes casos, continuará a ser a quarta parte do somatório? Claro que sim! Que outra sequência poderá ser formada de modo a que a soma mágica seja 38? Poderá haver somas mágica inferiores a 34? Ora aí está, uma grande oportunidade para envolver os números inteiros não positivos.

Mas até agora falou-se dos quadrados mágicos de 4x4. E no caso de ser 3x3, que regularidades se poderão encontrar?

O seguinte quadrado mágico é formado apenas por uma sequência de números pares.

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Estamos a falar de um quadrado de ordem 3. Se relacionarmos a soma mágica (42) com o número central do quadrado (14), damos conta que agora os números simpatizam mais com o número 3 (3 x 14 = 42). Seguindo alguma intuição matemática, à semelhança do que acontece com os quadrados de ordem 4, agora a soma total dos números envolvidos do quadrado deverá ser o tripo da soma mágica. De facto,

6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 = 126 = 3 x 42.

Fica agora o repto para que o leitor produza outros quadrados mágicos a partir dos que são dados, e procurar as relações que aí se possam encontrar.

José Lima (DJEOSEDE), um dos nossos leitores que tem deixado através dos seus comentários um registo de valor acrescentado para este blogue, oferece-nos muitas horas do seu trabalho para nos brindar com quadrados mágicos de outras ordens. Imaginem o trabalho que aqui fica aqui exposto.

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Não haverá também uma relação entre todas estas somas mágicas? Posso garantir que a soma mágica do quadrado de ordem 18  é 2925(considerando o mesmo critério na formação da sequência de números que formam o quadrado). Será que o leitor é capaz de predizer a soma mágica do quadrado mágico de ordem 20?

Para quem pretende investir um pouco mais nesta área, nem que seja deitado numa espreguiçadeira à beira mar, pode apreciar aqui, alguns algoritmos para a construção de quadrados mágicos. E já agora, o desafio obrigatório é o preenchimento do seguinte quadrado mágico de ordem 5 e soma mágica zero.

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1 comentário:

Prof disse...

Olá!

O seu blog é muito interessante. Não conhecia, mas vou passar a visitar regularmente. Coloquei-o na minha lista de blogs.

Aproveito para a convidar a visitar o meu pequeno projeto de Matemática, e quem sabe, também a incluí-lo na sua lista de blogs.

www.estudarmatematica.pt

Cumprimentos, Filipe