segunda-feira, 29 de março de 2010

mmc

Procurar o mmc dos números A e B é procurar o menor número que se deixa dividir exactamente por A e B.

Uma estratégia simples que ajuda a desenvolver esta noção é a representação na recta numérica dos múltiplos dos números envolvidos.

Por exemplo, querendo saber o mmc (4,6) temos:

mmc01

Contamos de quatro em quatro até encontrarmos um múltiplo de 6, ou de 6 em 6 até encontrarmos um múltiplo de 4.

Contudo, torna-se desconfortável quando os números envolvidos têm um mínimo múltiplo comum elevado, exigindo o prolongamento da recta numérica. Querendo continuar a recorrer à mesma estratégia, podemos optar por um segmento de recta graduado cujo comprimento deve corresponder ao maior, dos dois números envolvidos.

Assim, neste caso, basta fazer contagens de 4 em 4 num segmento de comprimento 6, percorrendo-o da esquerda para a direita e vice-versa até encontrar um dos seus extremos. Determinando o produto do número de vezes que o segmento é percorrido pelo seu comprimento encontramos o número pretendido. Esse número é múltiplo daquele que é usado para contagem, e também é múltiplo do número que corresponde ao comprimento do segmento uma vez que a contagem acaba num dos seus extremos. Assim, no exemplo seguido, concluiu-se que o mmc (4,6) = 2 x 6 = 12

O seguinte esquema evidencia o procedimento:

mmc02

No entanto, também se compreende que o esquema perde a sua percepção se houver a necessidade de continuar vários percursos até encontrar um dos extremos do segmento.

Mas, sabendo que o mmc de dois números nunca pode ser maior que o produto entre esses números, facilmente ultrapassamos as desvantagens dos métodos anteriores se essa multiplicação for entendida como sendo o cálculo da área de uma figura rectangular.

mmc03

No exemplo seguido, 4 x 6 implica 24 quadrados - número que será sempre maior ou igual ao mmc dos números que representam a largura e o comprimento do rectângulo.

Se, da mesma forma, procedermos a contagens de quatro em quatro quadrados, ao longo do comprimento do rectângulo, poder-se-á chegar à mesma conclusão, com a vantagem de deixarmos o registo, de forma inequívoca, as contagens feitas.

Sugere-se assim que a contagem dos quadrados seja feita e registada pelas suas diagonais, conforme o exemplo a seguir:

mmc04

Continuando as contagens de 4 em 4 temos:

mmc05

Concluiu-se assim que foram atravessados 3 x 4 quadrados correspondendo a 2 comprimentos do rectângulo. Nesta altura, já deve ter percebido a relação que se estabelece entre o número de quadrados atravessados pela sua diagonal, o número de quadrados que se contam na largura e o número de quadrados que definem o comprimento do rectângulo.

Este esquema poderá dar origem à visualização mental de uma mesa de bilhar dimensionada a uma malha quadrangular e onde a bola percorre as diagonais dos quadrados dessa malha. A partir de um canto, a bola pode-se deslocar até encontrar outro canto da mesa e sem passar duas vezes sobre o mesmo quadrado.

Imagine-se então uma mesa de bilhar onde se possa traçar uma malha quadrangular de 6 por 8 quadrados. Quantos quadrados seriam atravessados pela bola que sai de um canto, passando sempre pelas diagonais dos quadrados, até encontrar novamente outro canto?

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