Técnicas de cálculo (mental)

Um bom cálculo mental, em certa medida, pode determinar a melhor tomada de decisão em momentos que não é possível o uso de máquina de calcular ou o próprio algoritmo dado que o papel, lápis e calculadora nem sempre estão disponíveis.

O cálculo mental visto como aprendizagem, também não tem uma receita própria para se desenvolver, mas deve resultar de descobertas pessoais no sentido de construir procedimentos mentais de modo a facilitarem o cálculo. Todavia, há dois denominadores comuns que são fundamentais para o desenvolvimento do cálculo mental, o exercício sistemático, gozando da particularidade de não haver necessidade de agendar essa actividade dado que são muitas as oportunidades pelas solicitações da vida do dia-a-dia e, por outro lado, o domínio da tabuada. É mesmo necessário saber a tabuada para além da sua compreensão.

Aliás, ocorrem situações que a aplicação do conhecimento da tabuada é suficiente desde que coadjuvado com técnicas de cálculo que se suportam por um conhecimento matemático mais avançado sobre os números e as relações entre eles.

O quadrado de um número em que o algarismo das unidades seja cinco, pode servir de exemplo ao que é dito: 75 x 75 = 5625, em que 25 resulta do produto de 5 por 5, e 56 é o produto de 7 pelo seu sucessor natural.

Importa saber se esta técnica de cálculo resulta com outros números. De facto, a mesma regra também poderia ser aplicada, por exemplo, a 83 x 87. O resultado desta operação pode ser obtido pelo produto de 3 por 7 (21), ao qual, se junta à esquerda 72, que é o produto de 8 pelo número inteiro que o sucede (8 x 9 = 72). Assim se obtém de forma rápida 83x87=7221, bastando para isso conhecer a tabuada e a técnica matemática a usar.

Mas o que é estes números terão de especial para que esta regra, não sendo geral, funcione também com os produtos: 22x28; 34x36; 48x42…?

Verifica-se que os produtos envolvidos são formados por factores com o mesmo número de dezenas. Assim, os dois factores podem ser representados:

factor 1: (a10 + b), em que a, representa o algarismo das dezenas e b o algarismo das unidades.

factor 2: (a10 + c), em que a, representa o algarismo das dezenas e c o algarismo das unidades.

O produto destes números pode ser representado:

(a10 + b) (a10 + c)=

= a²10² + ac10 + ab10+ bc =

= a²10² + a(c+b)10 + bc

Repare-se que, em vez de termos a(c+b)10 na expressão anterior, se tivéssemos a10² estaríamos perante a mesma situação dos produtos anteriores, o que corresponde a multiplicar o algarismo das dezenas pelo seu sucessor, obtendo-se assim o valor das centenas e adicionando/juntando o produto dos “algarismos” das unidades. Ou seja:

a²10² + a10² + bc = a(a+1)10²+ bc

Insistindo então nesta igualdade a(c + b)10 = a10², verifica-se que b+c=10.

Isto leva-nos a concluir que esta técnica de cálculo só é permitida quando os dois factores têm o mesmo número de dezenas e os algarismos das unidades são complementares aritméticos, isto é, quando a sua soma é 10.

No caso de obtermos um quadrado de um número, por exemplo, 64 x 64 poderemos utilizar outra técnica igualmente interessante:

É capaz de explicar a razão deste algoritmo?