“E vai um …”

É muito vulgar a utilização da expressão “e vai um” quando realizamos uma operação aritmética. No caso da adição é facilmente compreensível a utilização desta expressão matemática. Quando adicionamos os valores de uma determinada ordem temos que transportar para a ordem seguinte o número de dezenas acumuladas na ordem anterior. Este procedimento deve-se ao facto de cada ordem admitir apenas um dígito.

Quer isto dizer que se eventualmente a soma dos valores de uma determinada ordem for, por exemplo, dezasseis (dez mais seis), ficam seis nessa ordem e vai uma dezena para a ordem seguinte - o mesmo que dizer “e vai um”. Quando a adição é constituída por várias parcelas pode acontecer que haja a necessidade de “irem 2, 3” ou o número de dezenas que acumula o somatório daquela ordem.

No caso da subtracção já não é assim tão fácil a interpretação do misterioso “e vai um”. A diferença encontrada é sempre inferior a dez, no entanto, por vezes utiliza-se o artifício do “e vai um”. Este procedimento ocorre quando numa determinada ordem é necessário subtrair um valor maior àquele que existe no aditivo.

Por vezes, costuma-se justificar este procedimento, embora sem fundamento científico, como sendo o método do empréstimo. Pede-se emprestado ao vizinho de cima e dá-se novamente ao vizinho de baixo. Isto é, imaginando que se pretende efectuar a seguinte subtracção 53 – 37, diz-se: sete para treze (pede-se 10 ao vizinho do lado) são seis, e vai um; três mais um (entrega-se no vizinho de baixo) são quatro, quatro para cinco fica um. A diferença é 16.

A bem da verdade, esta justificação não justifica nada. O que acontece, de facto, na subtracção é a verificação da ocorrência da invariância do resto quando se adiciona o mesmo número inteiro quer ao aditivo quer ao subtractivo. Neste exemplo, 53 – 37 = 63 – 47, por conveniência, o 63 é visto como sendo 50 + 13 e o 47 como sendo 40 + 7. Assim temos:

Utilizando a linguagem simbólica é o mesmo que:

53-37=

= (53 + 10) - (37 + 10) =

= (50 + 13) - (40 + 7) =

= 50 + 13 – 40 - 7=

= (50 - 40) + (13 - 7) =

= 10 + 6

Neste caso a técnica matemática utilizada consta de uma compensação. Se adicionamos 10 ao aditivo, então teremos que adicionar 10 ao subtractivo para que a diferença se mantenha. Será correcto dizer-se que se trata do método da compensação em vez do empréstimo.

Embora, a meu ver, seja este o método mais complicado para efectuar a subtracção, no entanto é o mais usual. Mais fácil seria a aplicação do verdadeiro método do empréstimo que consiste em transferir, no aditivo, uma dezena para a ordem de nível imediatamente inferior. A sua representação algorítmica poderia ser assim entendida:

Neste caso, o raciocínio seria traduzido da seguinte forma: sete para treze, seis unidades, e três dezenas para quatro dezenas, uma dezena.

Mas, o que me leva a reflectir sobre este assunto é o facto de num momento de avaliação diagnóstica ter surgido um aluno com um raciocínio completamente inovador no que diz respeito à técnica utilizada para fazer uma subtracção. No entanto, não deixa de ser muito interessante.

Perante a mesma subtracção (53 – 37) o aluno pensou alto: “de três, pretendo tirar sete – não é possível. Mas como posso tirar uma dezena na ordem seguinte, tenho que adicionar três nas unidades.  Então, três mais três são seis,

“e vai um”. Um mais três, quatro. Quatro para cinco, um”.

Não é fácil aceitar este procedimento sem uma reflexão prévia. Por isso, solicitei outro algoritmo (463 – 178) para que o aluno aplicasse o mesmo raciocínio.

Explicou de forma inequívoca:

- Dois mais três são cinco, e vai um;

- Um mais sete são oito, então dois mais seis são oito, e vai um;

- Um mais um são dois, dois para quatro vão dois.

Tratando-se de uma técnica infalível, importa encontrar o fundamento científico que sustenta o raciocínio deste aluno. É o desafio que fica para o leitor.