Dimensões A4

A folha de papel, de formato A4, garantidamente, nada tem a ver com uma empresa de automóveis alemã que produz Audis, aliás, com a mesma designação das folhas de papel que utilizamos mais vezes. A designação referente à letra, sabendo que não é por ser a inicial de Audi, poderá ser uma convenção para identificar aquele formato. No entanto, o número é que diferencia o tamanho das folhas.

Sabe-se que dobrando uma folha A4 obtém-se a folha A5. Esta correspondência permite deduzir que a área da folha A4 é o dobro da área da A5. Pela mesma razão se deduz que a folha A3 tem o dobro da área A4. Uma característica interessante e que merece referência é o facto do comprimento da folha ser sempre igual à medida da largura da folha imediatamente superior.

Outro facto interessante a ser observado, é que os diferentes formatos das folhas quando sobrepostas de tal modo que os seus lados maiores (p.e.) e os vértices correspondentes coincidam, implica que as suas diagonais fiquem sobre uma mesma recta.

Quer isto dizer que as folhas com os diferentes índices são semelhantes entre si.

Esta particularidade permite, nas fotocopiadoras, fazer ampliações e reduções sem haver qualquer desperdício de papel.

Também se verifica, por observação na primeira figura, que as medidas dos lados da folha de A0 e A4 estão numa razão de 4 para 1. Significa isto que os lados da folha A0 têm o quádruplo do comprimento dos lados da folha A4.

Penso que agora se possa deduzir o facto de se utilizar o valor 4 para definir o tamanho da folha. O quadrado desta razão de semelhança (4:1) é, portanto, a razão entre as suas áreas. Facilmente se comprova que a folha A0 é constituída por 16 folhas A4 (quatro ao quadrado).

Com um pouco mais de curiosidade matemática, estamos em condições de saber qual a área da folha A0. A partir do cálculo da área da folha A4, se multiplicarmos este valor por 16, obtemos um valor muito próximo do metro quadrado.

Assim, partindo-se do princípio que, (1) a folha A0 tem de ter um metro quadrado, (2) a divisão de qualquer folha pelo seu menor eixo de simetria origina duas folhas semelhantes à folha que lhes deu origem, só poderá haver uma única dimensão para a folha A4.

Sem medir os comprimentos dos lados, tente deduzir qual o comprimento e a largura da folha A4.

proposta de resolução

Latas em progressão aritmética

Uma pesquisa sobre a biografia de Friedrich Gauss leva-nos a um interessante episódio com mais de 200 anos, sendo já uma importante referência na história da matemática. Conta-se que este prestigioso matemático alemão, ao começar a dar os seus primeiros passos académicos, surpreendeu o seu professor quando sujeito a uma actividade matemática que consistia em determinar a soma de todos os números inteiros de 1 a 100.

Sendo uma tarefa muito penosa para todos os seus colegas, Gauss muito rapidamente, colocou em cima da secretária do professor a sua ardósia com a conclusão da tarefa. Sentindo a necessidade de justificar a sua rapidez, explicou ao professor que a soma seria o valor do produto de 50 pares de números por 101. Assim surge o número 5050. Valor ao qual, os colegas se renderam depois de meia hora de trabalho.

O raciocínio daquele aluno baseou-se na observação de que 1+100 = 2+98 = 3+97 = 4+96 = …= 50+51 = 101. Portanto, bastava adicionar 50 pares de números com o valor de 101.

Será que o leitor também já se tinha apercebido desta curiosidade? Experimente aplicar o mesmo raciocínio para determinar a soma de outra qualquer sequência do mesmo tipo. Em matemática estas sequências são conhecidas por progressões aritméticas - o termo seguinte, resulta da soma do termo anterior com um qualquer número que deve ser constante. Um exemplo de uma progressão aritmética é: 9, 12, 15, 18… em que a constante é 3. Querendo adicionar os 6 primeiros termos (9 + 12 + 15 + 18 + 21+ 24), de acordo com a descoberta de Gauss, é o mesmo que ter 33 + 33 + 33 = 3 x 33 = 99.

Este é um bom exemplo de como a matemática pode ser uma boa ferramenta para nos facilitar o trabalho, que em princípio, parecia ser exaustivo. Assim, tivesse a rapariga do hipermercado conhecimento disso e também ela teria a vida facilitada. A rapariga a que me refiro é a Catarina, funcionária numa empresa que vende salsichas enlatadas. Nunca gostou de matemática, e agora tem que dar conta, ao seu patrão, do número exacto de latas que utilizou na exposição feita no hipermercado.

As latas foram empilhadas de tal forma que cada uma está assente noutras duas latas, o que faz com que cada camada tenha menos uma lata que a camada de baixo.

O trabalho realizado pela Catarina é uma “parede” construída com as latas de salsichas distribuídas por 16 camadas, em que a última camada, a do cimo, tem 16 latas. Já fez 3 contagens e encontrou 3 números diferentes. Desesperada, pediu ajuda a uma colega para fazerem uma nova contagem, entretanto, foi encontrado um novo número. A sua amiga rapidamente se descartou daquela tarefa justificando-se que nunca tinha sido boa aluna a matemática.

É certo que Gauss já não vai poder ajudar a Catarina, mas deixou-nos a maior riqueza que se pode herdar - o conhecimento. É com base nesse conhecimento que conto com a solidariedade do leitor para ajudar a Catarina a determinar o número exacto de latas que utilizou naquela construção.

Comunicação matemática

A propósito da baixa de preços dos combustíveis, vários têm sido os comunicados a dar conta desse acontecimento. Mas com tantas baixas de preço, difícil é compreender como é que ainda só houve uma redução de cerca de 25% no preço do combustível, após ter atingido o seu valor máximo, quando a matéria-prima, sendo um factor determinante para o apuramento do preço ao consumidor final, (pelo menos sempre foi essa a justificação para o aumento do preço dos combustíveis), já desceu cerca de 70% em relação ao seu valor máximo.

Bom, mas isto é apenas um desabafo, o que me leva a escrever este artigo prende-se com a forma como são comunicados os novos valores do precioso líquido. Foram já vários os comunicados na rádio em que tive dificuldade na interpretação da comunicação. Será por se tratar de conteúdo essencialmente matemático?

Um dia destes ouvi na rádio, “a partir da meia-noite o combustível vai estar mais barato, sofre uma redução de zero, vírgula, zero, vinte e cinco cêntimos”. Quando não consigo atribuir significado a um número de euros, tenho a tendência para recorrer à moeda que ainda tenho como referência – o escudo, foi o caso. No entanto, o meu cálculo mental não foi suficientemente rápido para fazer a conversão. A jornalista adiantava: “o preço do litro do gasóleo passará a custar novecentos e quarenta e oito cêntimos”.

Fiquei ainda mais confuso. Afinal, trata-se de uma baixa de preço ou um agravamento substancial? Todos sabem que um euro ou cem cêntimos é a mesma quantia. Tratando-se de novecentos cêntimos, já nem quero saber do que vai para além disso, estão em causa, pelo menos, 9 euros.

Nem quero imaginar quando o preço do combustível possa chegar a esse valor. Faço votos, para que nessa altura, a dependência do gasóleo ou da gasolina seja a mesma como a que hoje temos em relação à água que corre no chafariz da aldeia.

Na comunicação social, torna-se evidente a falta de rigor da linguagem matemática, parecendo que a comunicação é perfeita, quando na verdade, é o receptor que a transforma, de acordo com a sua contextualização, naquilo que é previsível. Talvez seja esta a causa por haver necessidade de tantas rectificações orçamentais, principalmente quando envolvem grandes números. Só consigo compreender a coragem de ser feita uma comunicação deste teor, quando o comunicador fala de qualquer coisa para a qual não lhe atribui sentido.

É neste contexto, numa tentativa de percebermos o que é que falha nesta comunicação, que lanço o repto para uma análise mais cuidada. Pegando na frase que nos dá conta do abatimento do valor do combustível em “zero, vírgula, zero, vinte e cinco cêntimos”, ao certo, de quanto é este valor em escudos? Para facilitar os cálculos, considere por arredondamento, que um cêntimo equivale a 2 escudos. Recordo ainda que aquelas moedas, a que chamávamos “tostões”, eram necessárias 10 para obter um escudo. E que essas moedas, as mais antigas, ostentavam numa das suas faces o símbolo “X” e a palavra “centavos”.