Os quadrados mágicos, para além do prazer para quem gosta de desafios, poderão ser um bom exercício, em alguns casos, um verdadeiro problema a ser explorado em ambiente de sala de aula. Num nível pouco exigente é vulgar encontrar quadrados mágicos semipreenchidos onde se pretende que nas linhas, colunas e diagonais se obtenha sempre a mesma soma. O maior problema surge quando nos dão apenas o quadrado e o devemos preencher com uma sequência de números em progressão aritmética, não conhecendo sequer a soma mágica.
A história da matemática faz o registo de como o quadrado mágico move interesses matemáticos muito antigos. Veja-se o exemplo em Melancolia, uma das principais obras de Albrecht Dürer onde se pode apreciar um quadrado mágico de ordem 4. A curiosidade do quadrado regista a data da conceção da obra nos dois quadrados centrais e inferiores (1514).
A soma mágica neste quadrado é 34. Mas para além de se esperar esta soma nas linhas, colunas e diagonais, o 34 ainda se esconde em muitas outras situações.
Imagine o leitor que pretende pintar 4 quadrados do quadrado mágico, mas de forma criteriosa, com lógica, onde se vislumbre alguma harmonia, depois adicione os valores de cada quadrado pintado. Com certeza que fica surpreendido, a soma continua a ser 34. A seguir apresentam-se exemplos onde a soma mágica surge. Os quadrados destacados a amarelo são os triviais, os que se encontram pintados a laranja, talvez já os tenha descoberto. Este tipo de exploração em sala de aula pode constituir uma atividade onde promova o gosto e o desenvolvimento da intuição matemática, o cálculo mental, o raciocínio lógico, o pensamento algébrico entre outras conexões matemáticas, onde se incluiu também referências históricas.
Outras atividades de exploração investigatória poderão ser desenvolvidas se nos interrogarmos, por exemplo, sobre a razão do 34 ser o número mágico. Será que não poderá haver outro número mágico para quadrados 4 x 4?
É certo que os números utilizados no preenchimento deste quadrado mágico correspondem a uma sequência de progressão aritmética de razão 1 (do 1 ao 16), onde o somatório desta sequência é 136. Não deixa de ser curioso, este número é o quádruplo de 34 (136 = 4 x 34). E no caso de se considerar apenas os números pares, ou os números ímpares na formação da sequência? Tanto num caso como no outro o somatório da sequência é múltiplo de 4. Será que a soma mágica, nestes casos, continuará a ser a quarta parte do somatório? Claro que sim! Que outra sequência poderá ser formada de modo a que a soma mágica seja 38? Poderá haver somas mágica inferiores a 34? Ora aí está, uma grande oportunidade para envolver os números inteiros não positivos.
Mas até agora falou-se dos quadrados mágicos de 4x4. E no caso de ser 3x3, que regularidades se poderão encontrar?
O seguinte quadrado mágico é formado apenas por uma sequência de números pares.
Estamos a falar de um quadrado de ordem 3. Se relacionarmos a soma mágica (42) com o número central do quadrado (14), damos conta que agora os números simpatizam mais com o número 3 (3 x 14 = 42). Seguindo alguma intuição matemática, à semelhança do que acontece com os quadrados de ordem 4, agora a soma total dos números envolvidos do quadrado deverá ser o tripo da soma mágica. De facto,
6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 = 126 = 3 x 42.
Fica agora o repto para que o leitor produza outros quadrados mágicos a partir dos que são dados, e procurar as relações que aí se possam encontrar.
José Lima (DJEOSEDE), um dos nossos leitores que tem deixado através dos seus comentários um registo de valor acrescentado para este blogue, oferece-nos muitas horas do seu trabalho para nos brindar com quadrados mágicos de outras ordens. Imaginem o trabalho que aqui fica aqui exposto.
Não haverá também uma relação entre todas estas somas mágicas? Posso garantir que a soma mágica do quadrado de ordem 18 é 2925(considerando o mesmo critério na formação da sequência de números que formam o quadrado). Será que o leitor é capaz de predizer a soma mágica do quadrado mágico de ordem 20?
Para quem pretende investir um pouco mais nesta área, nem que seja deitado numa espreguiçadeira à beira mar, pode apreciar aqui, alguns algoritmos para a construção de quadrados mágicos. E já agora, o desafio obrigatório é o preenchimento do seguinte quadrado mágico de ordem 5 e soma mágica zero.
Já passou algum tempo, chega a hora de dar um pouco de atenção ao desafio publicado a 28 de fevereiro de 2009 intitulado “Acerca da divisão”. Parece-me ser uma boa alternativa para uma grande parte dos alunos que não se dão muito bem com o tradicional algoritmo da divisão.
Este algoritmo propõe a possibilidade de efetuar a divisão percorrendo várias fases, tudo dependendo da capacidade de cálculo mental do respetivo operador. Parecendo ser um algoritmo complexo, devido ao seu aspeto, é no entanto um modelo de fácil compreensão e resolução dado que o processo para encontrar o quociente é feito por partes.
Tomando a divisão proposta (8275,26:7,23) poderemos interpretar a divisão como medida, onde se pretende saber em 8275,26 quantos grupos de 7,23 lá cabem.
Numa primeira fase poderemos admitir que é possível admitir 1000 grupos de 7,23 dado que é fácil reconhecer que estaríamos a considerar 7230 (7,23 x 1000) o que é manifestamente inferior a 8275,26. Segundo este raciocínio, podemos fazer o seguinte registo:
![clip_image002[6]](http://lh5.ggpht.com/-JLKZdurc6CE/UerKIEoCexI/AAAAAAAAB_g/YpyCgBGAbFU/s1600-h/clip_image002%25255B6%25255D%25255B3%25255D.jpg "clip_image002[6]")
O valor considerado na coluna da direita é o quociente parcial, tendo em conta que ainda restam 1045,80 (coluna da esquerda) onde ainda é possível criar mais grupos de 7,23.
Num processo idêntico e repetitivo poderemos anotar os vários quocientes parcelares até encontrar um resto inferior ao divisor (7,23), isto é, quando não seja mais possível formar um grupo de 7,23 com o resto que sobra.
Assim sendo, apresenta-se uma possível proposta de resolução.
Obtém-se assim o quociente 1144 (soma dos quocientes parciais) e sendo o resto 4,68. Temos então a seguinte igualdade:
8275,80 : 7,23 = 1144 + 4,68 : 7,23
Ou seja,
8275,80 = 1144 x 7,23 + 4,68 (identidade fundamental da divisão)
Cada vez são mais as pessoas que praticam exercício físico. Alguns é pelo reconhecimento de como ele é fundamental para a manutenção da vida, mas outros será por razões de ordem inferior - a elegância. No entanto, no que diz respeito à manutenção ou à higiene mental, parece haver cada vez menos pessoas preocupadas com este assunto. Talvez por não ser visível na passerelle.
Mesmo assim, ainda vai havendo umas minorias que gostam de praticar exercício mental. Para quem quiser fazê-lo recomendo uma visita ao “ginásio” RECREAMAT. Foi aí que descobri um desafio deixado por uma frequentadora daquele local que dizia: “gostaria de saber porque é que qualquer número de 3 algarismos repetidos, exemplo 123123, a dividir por 91 é sempre possível?”
De facto é verdade, um número do tipo ABCABC é sempre múltiplo de 91. Há uma outra particularidade muito interessante num número com este formato. O leitor pode fazer a experiência, digite numa calculadora um qualquer número de três dígitos. Por mais desinteressante que seja o número escolhido, repita-o para que passe a obter um número muito especial (com o formato ABCABC).
Se quiser saber porque razão será assim tão especial, divida esse número por 7 e vai ver que vai obter um número inteiro. Se tornar a dividir por 11 vai constatar que continua com um número inteiro, e se o dividir novamente por 13, então vai-me dar razão. A magia do número faz com que apareça na calculadora o número inicial. Não é espantoso?
Dá vontade de fazer uma nova experiência. Por exemplo, vamos escolher o número 379.
Repetimo-lo e obtemos 379379
i) 379379 : 7 = 54197
ii) 54197 : 11 = 4927
iii) 4927 : 13 = 379
E voltamos novamente ao 379.
Importa estabelecer uma relação entre o número inicial (3 dígitos) e o número de 6 dígitos. Quantas vezes é maior o número com o formato ABCABC em relação ao número com o formato ABC?
Os três dígitos iniciais formados pelo número (ABC) passam a formar a classe dos milhares porque tomam um valor de posição mil vez superior em relação à situação anterior (ABC000). Isto é ABC x 1000 = ABC000.
Se a ABC000 adicionarmos novamente ABC obtemos ABCABC, de onde se conclui que ABCABC é 1001 vezes maior que ABC.
Portanto, temos que ABCABC = 1001 x ABC. Então qualquer número com este formato é sempre múltiplo de 1001. Assim se percebe que dividindo qualquer número composto por 3 algarismos repetidos, no formato de ABCABC, por 1001 obtemos sempre ABC.
Foi isso que foi feito anteriormente. O número foi dividido por 7 depois por 11 e finalmente por 13. Esta é uma particularidade muito interessante do número 1001, decomposto em fatores primos: 1001=7x11x13.
Assim sendo, qualquer número ABCABC é múltiplo de 1001, mas também é múltiplo de 7, de 11, de 13 e de que quantos mais números?
ABCABC = 7 x 11 x 13 x ABC
ABCABC = 7 x 143 x ABC
ABCABC = 77 x 13 x ABC
ABCABC = 11 x 91 x ABC
ABCABC = 1001 x ABC
Parece que agora fica claro em como aquele número é sempre múltiplo de 91 como também é de 77 ou de 143…
E se o número tivesse o formato ABCDABCD, será que num procedimento idêntico conseguimos obter ABCD?
Malba Tahan (2001) propõe no seu livro " O homem que calculava" (título original) um problema curioso que tem feito perder muitas horas aos amigos da matemática mais perseverantes, como sendo possível escrever os números inteiros até 100 apenas com quatro quatros.Ao artigo publicado neste blogue com o título “Dimensões A4” a 28 de Janeiro de 2009, é proposta a seguinte respost
a:
A figura representa uma folha A4 que, dividida ao meio dá origem a duas folhas de formato A5.
Então a razão entre os comprimentos e as larguras da A4 e da folha A5 mantém-se, isto é:
(1) 
Por outro lado, sabe-se que são necessárias 16 folhas A4 para obter 1 m2, isto é:
(2) 
A partir de (1):
Determinando 
a partir de (2):
Substituindo ![clip_image009[1]](http://lh3.ggpht.com/-xsrAoVGkeaE/T-5MWblDg7I/AAAAAAAABcw/oQuDCpf0vGE/s1600-h/clip_image009%25255B1%25255D%25255B2%25255D.gif "clip_image009[1]"){kind=small}
em (3):
A partir de (4 ) obtém-se a ![clip_image009[2]](http://lh5.ggpht.com/-gBRHU3gk0jU/T-5MaKZChrI/AAAAAAAABdM/s_9zUuxFsmM/s1600-h/clip_image009%25255B2%25255D%25255B2%25255D.gif "clip_image009[2]"){kind=small}
:
Assim, de (5) temos que, o comprimento da folha é
E de (6), a largura é
A elaboração de uma tabela é em muitos casos a estratégia mais apropriada para a resolução de um problema. A tabela dá a possibilidade de visualizar com mais facilidade a forma como os números se relacionam e por conseguinte, uma forma rápida de estabelecermos relações entre os números que seguindo um raciocínio indutivo, nos leva a fazer as nossas próprias generalizações.
Esta é apenas uma sugestão a levar em conta quando se pretende perceber com mais facilidade as regularidades que os números escondem entre si. O problema que levanto poderá servir de exemplo para a sua aplicação: a idade de um pai, alguma vez poderá ser o dobro da idade do seu filho?
Parece ser uma questão sem conteúdo, mas se fizermos extensões a este problema eleva-se o seu interesse do ponto de vista matemático. Considere-se então, no caso da idade do pai ser o triplo da idade do filho? E se fosse o quádruplo? E o quíntuplo? Todas estas situações poderão ocorrer durante a vida de um homem?
Estas são algumas questões que poderão ser motivo para despoletar uma atividade de investigação em ambiente de sala de aula.
Se nos cingirmos apenas ao universo dos números naturais até 100 - poucos já são os que ultrapassam esta idade - e admitindo a possibilidade matemática de ser pai a partir dos quinze anos, damos conta que com 30 anos de idade já pode ter o dobro da idade do filho, se bem que a data limite para se pai seria os 50 anos. Só assim ficaria garantido atingir a dobro da idade do filho aos 100 anos de idade.
Portanto, a diferença entre as idades de pai e filho pode variar entre 15 e 50 anos. Há portanto 36 = 50 – 15 + 1 possibilidades do pai ter o dobro da idade do filho. Esta conclusão já nos leva a considerar que o seguinte problema tem solução – “O Afonso tem 19 anos e o seu pai 44. Quando é que o pai tem o dobro da idade do filho?”
O mesmo já não acontece quando falamos no triplo da idade. Sendo pai aos 15 anos, embora o número pareça ser simpático (é múltiplo de 3), nunca vai haver a possibilidade do pai ter o triplo da idade do filho. A tabela ao lado ilustra isso mesmo. Para uma diferença de 15 anos de idade, quando o pai tem 22, é mais que o triplo da idade do filho, mas no ano seguinte, a mesma relação entre as idades já não chega a ser o triplo.
Seria interessante saber então quando será possível essa relação. Assim, é importante que nos fixemos na ideia de que a diferença de idades entre pai e filho (p-f) representa a idade do pai quando o filho nasce. Portanto, a tabela deverá começar por relacionar as idades cuja diferença seja a mais próxima e nunca inferior a 15 (p – f ≥15). Por outro lado, a idade do pai é o triplo da idade do filho (p = 3 x f). Perante estas condições, a idade do filho vai ter que se reportar a 8 anos e a do pai 24. Temos assim a tabela que nos dá a ideia dos momentos possíveis em que a idade do pai é o triplo da idade do filho.
Na tabela, verifica-se que a linha amarela contempla apenas números pares, de onde se concluiu que, a verificar-se a relação desejada, é condição necessária que o nascimento do filho ocorra apenas quando o pai tem um número par de anos.
Confirma-se assim a impossibilidade do pai ter o triplo da idade do filho no caso da diferença entre as suas idades ser de 15 anos, ou seja, ser pai aos 15 anos.
Então, somos levados a concluir que:
1. Para que a idade do pai seja o dobro da idade do filho, a diferença entre as suas idades é um número natural.
2. Para que a idade do pai seja o triplo da idade do filho, a diferença entre as suas idades é um número par (múltiplo de 2).
Será então que a regularidade matemática que se evidencia nos leva a conjeturar que para a idade do pai vir a ser o quádruplo da idade do filho, a diferença entre as suas idades deverá ser um múltiplo de 3?
Continuando o raciocínio exposto, sugere-se a elaboração de outra tabela onde se admitem as possíveis idades do pai em função das diferentes idades do filho.
Temos então as condições: p – f ≥15 Λ p = 4f
Deste modo, a tabela irá começar por contemplar a idade do filho com 5 anos e a do pai 20.
Confirma-se assim a conjetura de que para a idade do pai ser o quádruplo da idade do filho, a diferença entre as suas idades tem de ser um número múltiplo de 3.
Dando atenção à idade máxima para poder ser pai, a cada um dos casos, revela-se outra regularidade também merecedora de análise.
Querendo adaptar o problema já referido anteriormente - O Afonso tem 19 anos e o seu pai 44. Quando é que o pai tem o dobro da idade do filho? - que idades devem ser atribuídas ao pai e ao filho para podermos perguntar quando é o que pai vai ter o quíntuplo da idade do filho?
O “43” que aparece na etiqueta de umas calças não tem o mesmo significado daquele que aparece na senha que retiro à entrada dos serviços das finanças, nem o significado daquele que está sobre a porta de entrada da casa do meu amigo que vestiu a camisola 43 na sua última prova de atletismo. Também este “43” que ostenta a camisola do meu amigo não significa o número de ovelhas que o vizinho do meu avô tinha na aldeia, embora sejam estes os símbolos utilizados para representar a quantidade daqueles animais que habitualmente comiam no prado do senhor Augusto.
Na verdade, o número, para além do seu sentido como cardinal, indicando a quantidade de elementos de um determinado conjunto, pode ter outros significados como sendo a medida de uma calças, a localização de uma casa, a posição numa ordem de atendimento ou a identificação de um atleta.
Mas é no sentido de quantidade que, de um modo geral, todos atribuem significado ao número. Mesmo assim, esse significado não tem o mesmo sentido para cada um de nós. Hoje, 100 euros assumem um sentido muito mais convergente para cada um de nós que há uma década atrás, quando começámos a utilizar esta nova unidade monetária. O sentido de número vai-se desenvolvendo ao longo do tempo, dependendo também das experiências que cada um tem com números. Para uma criança que acaba o seu primeiro ano de escolaridade, não atribui o mesmo significado a 43 cêntimos como um adulto. No entanto, o sentido de número entre duas pessoas com a mesma escolaridade, com certeza, que também não é o mesmo.
Recordo-me de uma expressão que ficou célebre entre nós, de alguém que perdeu o valor de grandeza do número, talvez pela ausência de um referente matemático. Afinal, pretendia saber quanto seria 6% de três mil milhões de euros. “seis vezes três são dezoito, portanto… é fazer as contas”. É claro que com números desta ordem de grandeza, o sentido de número já não é o mesmo para todos. A própria lentidão na resposta revela que o seu sentido de número começa a estar próximo dos seus limites. Havendo espaço para raciocinar, podemos concluir que 6% de 3 mil é uma centésima de 18 mil, ou seja 180. Uma vez que se falava na ordem dos milhões, então estamos a falar de 180 milhões como sendo 6% de 3 mil milhões em euros.
Também a estimativa, ou o processo de estimar, intimamente relacionado com o sentido de número, também se vai desenvolvendo com as experiências matemáticas que cada um de nós vai tendo ao longo da vida, geralmente, associadas a referentes físicos. Mas uma boa estimativa pode implicar também a realização de cálculos intermédios necessitando um bom conhecimento do efeito das operações sobre os números.
Atente-se um pouco sobre o fenómeno que tem ocorrido na informática. Dei conta que ao comprar a minha pen drive com a capacidade de 8 gigabytes ficou sensivelmente ao mesmo preço de uma caixa com dez unidades das antigas e miraculosas disquetes de 3,5 polegadas. Produto que há 20 anos era muitíssimo apreciado, afinal passou a ser uma forma de guardar um livro com mais de 100 páginas num simples bolso de camisa. Mas então quanto deveria custar a minha pen ao preço que era pago naquela altura a capacidade de armazenamento? Parece muito, uma simples pen de 8 Gb custar 2000€? Considerando o que se pagava por aquelas disquetes, este seria um óptimo negócio. No entanto, alguns anos depois, 10€ é o suficiente para comprar uma pen com a capacidade aproximada de 6000 disquetes. Imagina agora a quantidade de livros que posso trazer pendurados no meu porta-chaves?
A regularidade com que estabelecemos relações entre os números e entre as grandezas a eles associados é um ótimo contributo para o desenvolvimento do nosso sentido de número. É neste pressuposto, que proponho um pequeno exercício que provoca a sua intuição matemática e se der ao trabalho do efetuar, com certeza que ganhará um pouco mais de sentido de número.
Então é assim: imagine uma folha de papel com 1 milímetro de espessura e de tamanho indeterminado, podendo fazer dela o número de dobras sucessivas (dobra sobre dobra) que quiser. É claro que 
com esta espessura é mais um cartão que uma folha de papel, mas assim os cálculos ficam mais simplificados.
Será capaz de fazer uma estimativa de quantas dobras sucessivas, necessita de fazer no mínimo, para que obter uma altura superior à da maior torre do nosso planeta, que foi inaugurada em 2010 no Dubai com 828m de altura? Depois de fazer a sua estimativa comprove-a com os cálculos, e conclua sobre o seu sentido de número.
