Quadrados mágicos

Os quadrados mágicos, para além do prazer para quem gosta de desafios, poderão ser um bom exercício, em alguns casos, um verdadeiro problema a ser explorado em ambiente de sala de aula. Num nível pouco exigente é vulgar encontrar quadrados mágicos semipreenchidos onde se pretende que nas linhas, colunas e diagonais se obtenha sempre a mesma soma. O maior problema surge quando nos dão apenas o quadrado e o devemos preencher com uma sequência de números em progressão aritmética, não conhecendo sequer a soma mágica.

A história da matemática faz o registo de como o quadrado mágico move interesses matemáticos muito antigos. Veja-se o exemplo em Melancolia, uma das principais obras de Albrecht Dürer onde se pode apreciar um quadrado mágico de ordem 4. A curiosidade do quadrado regista a data da conceção da obra nos dois quadrados centrais e inferiores (1514).

A soma mágica neste quadrado é 34. Mas para além de se esperar esta soma nas linhas, colunas e diagonais, o 34 ainda se esconde em muitas outras situações.

Imagine o leitor que pretende pintar 4 quadrados do quadrado mágico, mas de forma criteriosa, com lógica, onde se vislumbre alguma harmonia, depois adicione os valores de cada quadrado pintado. Com certeza que fica surpreendido, a soma continua a ser 34. A seguir apresentam-se exemplos onde a soma mágica surge. Os quadrados destacados a amarelo são os triviais, os que se encontram pintados a laranja, talvez já os tenha descoberto. Este tipo de exploração em sala de aula pode constituir uma atividade onde promova o gosto e o desenvolvimento da intuição matemática, o cálculo mental, o raciocínio lógico, o pensamento algébrico entre outras conexões matemáticas, onde se incluiu também referências históricas.

Outras atividades de exploração investigatória poderão ser desenvolvidas se nos interrogarmos, por exemplo, sobre a razão do 34 ser o número mágico. Será que não poderá haver outro número mágico para quadrados 4 x 4?

É certo que os números utilizados no preenchimento deste quadrado mágico correspondem a uma sequência de progressão aritmética de razão 1 (do 1 ao 16), onde o somatório desta sequência é 136. Não deixa de ser curioso, este número é o quádruplo de 34 (136 = 4 x 34). E no caso de se considerar apenas os números pares, ou os números ímpares na formação da sequência? Tanto num caso como no outro o somatório da sequência é múltiplo de 4. Será que a soma mágica, nestes casos, continuará a ser a quarta parte do somatório? Claro que sim! Que outra sequência poderá ser formada de modo a que a soma mágica seja 38? Poderá haver somas mágica inferiores a 34? Ora aí está, uma grande oportunidade para envolver os números inteiros não positivos.

Mas até agora falou-se dos quadrados mágicos de 4x4. E no caso de ser 3x3, que regularidades se poderão encontrar?

O seguinte quadrado mágico é formado apenas por uma sequência de números pares.

Estamos a falar de um quadrado de ordem 3. Se relacionarmos a soma mágica (42) com o número central do quadrado (14), damos conta que agora os números simpatizam mais com o número 3 (3 x 14 = 42). Seguindo alguma intuição matemática, à semelhança do que acontece com os quadrados de ordem 4, agora a soma total dos números envolvidos do quadrado deverá ser o tripo da soma mágica. De facto,

6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 = 126 = 3 x 42.

Fica agora o repto para que o leitor produza outros quadrados mágicos a partir dos que são dados, e procurar as relações que aí se possam encontrar.

José Lima (DJEOSEDE), um dos nossos leitores que tem deixado através dos seus comentários um registo de valor acrescentado para este blogue, oferece-nos muitas horas do seu trabalho para nos brindar com quadrados mágicos de outras ordens. Imaginem o trabalho que aqui fica aqui exposto.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Não haverá também uma relação entre todas estas somas mágicas? Posso garantir que a soma mágica do quadrado de ordem 18  é 2925(considerando o mesmo critério na formação da sequência de números que formam o quadrado). Será que o leitor é capaz de predizer a soma mágica do quadrado mágico de ordem 20?

Para quem pretende investir um pouco mais nesta área, nem que seja deitado numa espreguiçadeira à beira mar, pode apreciar aqui, alguns algoritmos para a construção de quadrados mágicos. E já agora, o desafio obrigatório é o preenchimento do seguinte quadrado mágico de ordem 5 e soma mágica zero.

Acerca da divisão (resp)

Já passou algum tempo, chega a hora de dar um pouco de atenção ao desafio publicado a 28 de fevereiro de 2009 intitulado “Acerca da divisão”. Parece-me ser uma boa alternativa para uma grande parte dos alunos que não se dão muito bem com o tradicional algoritmo da divisão.

Este algoritmo propõe a possibilidade de efetuar a divisão percorrendo várias fases, tudo dependendo da capacidade de cálculo mental do respetivo operador. Parecendo ser um algoritmo complexo, devido ao seu aspeto, é no entanto um modelo de fácil compreensão e resolução dado que o processo para encontrar o quociente é feito por partes.

Tomando a divisão proposta (8275,26:7,23) poderemos interpretar a divisão como medida, onde se pretende saber em 8275,26 quantos grupos de 7,23 lá cabem.

Numa primeira fase poderemos admitir que é possível admitir 1000 grupos de 7,23 dado que é fácil reconhecer que estaríamos a considerar 7230 (7,23 x 1000) o que é manifestamente inferior a 8275,26. Segundo este raciocínio, podemos fazer o seguinte registo:

O valor considerado na coluna da direita é o quociente parcial, tendo em conta que ainda restam 1045,80 (coluna da esquerda) onde ainda é possível criar mais grupos de 7,23.

Num processo idêntico e repetitivo poderemos anotar os vários quocientes parcelares até encontrar um resto inferior ao divisor (7,23), isto é, quando não seja mais possível formar um grupo de 7,23 com o resto que sobra.

Assim sendo, apresenta-se uma possível proposta de resolução.

Obtém-se assim o quociente 1144 (soma dos quocientes parciais) e sendo o resto 4,68. Temos então a seguinte igualdade:

8275,80 : 7,23 = 1144 + 4,68 : 7,23

Ou seja,

8275,80 = 1144 x 7,23 + 4,68 (identidade fundamental da divisão)

Operações vs algoritmos (resp.)

 

A 4 de Novembro de 2008 ficou aqui lançado o desafio para interpretar o algoritmo da divisão que o Télen tinha levado como trabalho de casa. Chega então a hora de dar resposta ao desafio publicado com o título “Operações vs algoritmos”.

Nada de muito diferente do que habitualmente fazemos. O aspeto do algoritmo não é muito familiar, mas o raciocínio subjacente implica aquele procedimento.

Vejamos! Numa 1ª fase dividiu-se duas centenas em meias centenas, sabendo que ainda sobram 74 unidades para dividir posteriormente. Assim, 2 centenas podem ser divididas por 4 meias centenas.

É de notar que o 4, no quociente, toma a posição das centenas – poderiam ser colocados dois zeros à sua direita.

Continuando com a divisão, damos conta que ainda há, pelo menos, 7 dezenas para dividir em meias dezenas. Assim, às 4 centenas no quociente devem juntar-se as 14 dezenas (14 meias dezenas = 7 dezenas). Nesta segunda fase o algoritmo assume a seguinte figura:

Neste momento já foram divididos 27 dezenas, havendo ainda 4 unidades para dividir em metades, o que nos leva a juntar esses 8 meias unidades ao quociente.

O desenvolvimento deste algoritmo por parte do Télen, dá-nos a perceber o grande sentido de número que tem este aluno tendo em conta que, a sua compreensão do algoritmo, leva a respeitar o valor de posição dos números. Assim, o 8 toma a posição das unidades. Afinal estava a dividir 4 unidades.

Compreende-se então que 274 unidades podem ser divididas em 4 centenas e ainda mais 148 meias unidades. Então resta adicionar o que figura no quociente, sendo que no resto já não há nada mais para dividir.

É certo que este ou outro algoritmo poderia ser dispensado na medida em que o cálculo poderia ser feito mentalmente: 274 dividido em metades obtém-se o dobro desta novas unidades – 400 (dobro de 200) e ainda mais 148 (dobro de 74) o que perfaz 548.

Técnicas de cálculo (mental)

Um bom cálculo mental, em certa medida, pode determinar a melhor tomada de decisão em momentos que não é possível o uso de máquina de calcular ou o próprio algoritmo dado que o papel, lápis e calculadora nem sempre estão disponíveis.

O cálculo mental visto como aprendizagem, também não tem uma receita própria para se desenvolver, mas deve resultar de descobertas pessoais no sentido de construir procedimentos mentais de modo a facilitarem o cálculo. Todavia, há dois denominadores comuns que são fundamentais para o desenvolvimento do cálculo mental, o exercício sistemático, gozando da particularidade de não haver necessidade de agendar essa actividade dado que são muitas as oportunidades pelas solicitações da vida do dia-a-dia e, por outro lado, o domínio da tabuada. É mesmo necessário saber a tabuada para além da sua compreensão.

Aliás, ocorrem situações que a aplicação do conhecimento da tabuada é suficiente desde que coadjuvado com técnicas de cálculo que se suportam por um conhecimento matemático mais avançado sobre os números e as relações entre eles.

O quadrado de um número em que o algarismo das unidades seja cinco, pode servir de exemplo ao que é dito: 75 x 75 = 5625, em que 25 resulta do produto de 5 por 5, e 56 é o produto de 7 pelo seu sucessor natural.

Importa saber se esta técnica de cálculo resulta com outros números. De facto, a mesma regra também poderia ser aplicada, por exemplo, a 83 x 87. O resultado desta operação pode ser obtido pelo produto de 3 por 7 (21), ao qual, se junta à esquerda 72, que é o produto de 8 pelo número inteiro que o sucede (8 x 9 = 72). Assim se obtém de forma rápida 83x87=7221, bastando para isso conhecer a tabuada e a técnica matemática a usar.

Mas o que é estes números terão de especial para que esta regra, não sendo geral, funcione também com os produtos: 22x28; 34x36; 48x42…?

Verifica-se que os produtos envolvidos são formados por factores com o mesmo número de dezenas. Assim, os dois factores podem ser representados:

factor 1: (a10 + b), em que a, representa o algarismo das dezenas e b o algarismo das unidades.

factor 2: (a10 + c), em que a, representa o algarismo das dezenas e c o algarismo das unidades.

O produto destes números pode ser representado:

(a10 + b) (a10 + c)=

= a²10² + ac10 + ab10+ bc =

= a²10² + a(c+b)10 + bc

Repare-se que, em vez de termos a(c+b)10 na expressão anterior, se tivéssemos a10² estaríamos perante a mesma situação dos produtos anteriores, o que corresponde a multiplicar o algarismo das dezenas pelo seu sucessor, obtendo-se assim o valor das centenas e adicionando/juntando o produto dos “algarismos” das unidades. Ou seja:

a²10² + a10² + bc = a(a+1)10²+ bc

Insistindo então nesta igualdade a(c + b)10 = a10², verifica-se que b+c=10.

Isto leva-nos a concluir que esta técnica de cálculo só é permitida quando os dois factores têm o mesmo número de dezenas e os algarismos das unidades são complementares aritméticos, isto é, quando a sua soma é 10.

No caso de obtermos um quadrado de um número, por exemplo, 64 x 64 poderemos utilizar outra técnica igualmente interessante:

É capaz de explicar a razão deste algoritmo?

Resto, excesso ou diferença

Quando mentalmente não se consegue efectuar a operação matemática desejada é nessa altura que se costuma recorrer ao algoritmo conhecido. Seguir um processo institucionalizado dá confiança a quem o pratica embora, por vezes, o praticante do algoritmo não atribua significado ao processo utilizado. Mas a aprendizagem matemática deve visar sempre a compreensão dos procedimentos e, por conseguinte, contribuir para se dar significado às rotinas.

Este objectivo não é um a meta fácil, principalmente nos primeiros anos de escolaridade onde é necessário o recurso a algoritmos para efectuar operações que ainda não foram conceptualizadas. A subtracção é o exemplo de uma operação que recorre a um algoritmo que, em caso pontuais, é de difícil compreensão. Refiro-me a situações em que é necessário recorrer a artifícios matemáticos para tornar possível esta operação, como seja nos casos de em que o algarismo do aditivo é inferior ao subtractivo.

A meu ver, a institucionalização do algoritmo só deve ocorrer quando o cálculo mental se revelar incapaz para se realizar a operação, ou quando outras técnicas utilizadas de forma compreensiva forem reconhecidas como sendo menos eficazes na obtenção de resultados mais rápidos. Mas o querer atingir objectivos muito rápidos no currículo do aluno faz com que a mecanização de procedimentos se antecipe à consolidação conceptual de respectiva operação.

No caso da subtracção, penso que seria importante analisar-se em primeiro lugar o significado da operação, pois pode tratar-se de um excesso, noutros casos de uma diferença ou ainda de um resto, dependendo do contexto onde se insere. Mas, à margem de situações concretas e abusando um pouco da abstracção matemática poder-se-á fazer uma breve análise a estes conceitos.

Por exemplo, 43 pode ser decomposto na adição 40 + 3 podendo, o 3, ser visto como sendo o resto que vai para além de 40. Portanto, perante a subtracção 43 – 40, poderemos entendê-la como querendo procurar o número que resta, para além do 40, para chegar ao 43.

Segundo este raciocínio e, tomando como outro exemplo a subtracção 54 – 26, pretendo determinar o que resta para além do 26 até ao 54. Assim, poderei decompor o 54 numa soma de duas parcelas de modo a obter 26. Este processo poderá ser feito de forma gradual de acordo com as capacidades de cálculo mental de cada utilizador, transferindo valores de uma parcela para a outra, criando adições equivalentes:

Uma outra interpretação seria por exemplo entender 54 – 26 como procurar a diferença que vai de 26 para 54. Neste caso, posso partir do 54 e ir retirando valor até atingir o 26. Depois basta adicionar os valores retirados;

Por outro lado, 54 – 26 pode ser interpretado como sendo o excesso que vai além de 26 até 54. Neste caso poderia seguir outro procedimento que consta no apuramento do valor em excesso. A sua representação poderia ser a seguinte:

Estes são três exemplos de sugestões algorítmicas que podem ajudar a superar a dificuldade na subtracção quando o algarismo do aditivo é inferior ao subtractivo. Para além destas sugestões algorítmicas da subtracção, deixo a representação de uma outra que era muito usual antigamente. Por exemplo, a seguinte subtracção: 2546 - 1794.

Embora se trate de um algoritmo moroso, que vantagem lhe pode ser reconhecida em relação ao nosso algoritmo tradicional?

“E vai um …”

É muito vulgar a utilização da expressão “e vai um” quando realizamos uma operação aritmética. No caso da adição é facilmente compreensível a utilização desta expressão matemática. Quando adicionamos os valores de uma determinada ordem temos que transportar para a ordem seguinte o número de dezenas acumuladas na ordem anterior. Este procedimento deve-se ao facto de cada ordem admitir apenas um dígito.

Quer isto dizer que se eventualmente a soma dos valores de uma determinada ordem for, por exemplo, dezasseis (dez mais seis), ficam seis nessa ordem e vai uma dezena para a ordem seguinte - o mesmo que dizer “e vai um”. Quando a adição é constituída por várias parcelas pode acontecer que haja a necessidade de “irem 2, 3” ou o número de dezenas que acumula o somatório daquela ordem.

No caso da subtracção já não é assim tão fácil a interpretação do misterioso “e vai um”. A diferença encontrada é sempre inferior a dez, no entanto, por vezes utiliza-se o artifício do “e vai um”. Este procedimento ocorre quando numa determinada ordem é necessário subtrair um valor maior àquele que existe no aditivo.

Por vezes, costuma-se justificar este procedimento, embora sem fundamento científico, como sendo o método do empréstimo. Pede-se emprestado ao vizinho de cima e dá-se novamente ao vizinho de baixo. Isto é, imaginando que se pretende efectuar a seguinte subtracção 53 – 37, diz-se: sete para treze (pede-se 10 ao vizinho do lado) são seis, e vai um; três mais um (entrega-se no vizinho de baixo) são quatro, quatro para cinco fica um. A diferença é 16.

A bem da verdade, esta justificação não justifica nada. O que acontece, de facto, na subtracção é a verificação da ocorrência da invariância do resto quando se adiciona o mesmo número inteiro quer ao aditivo quer ao subtractivo. Neste exemplo, 53 – 37 = 63 – 47, por conveniência, o 63 é visto como sendo 50 + 13 e o 47 como sendo 40 + 7. Assim temos:

Utilizando a linguagem simbólica é o mesmo que:

53-37=

= (53 + 10) - (37 + 10) =

= (50 + 13) - (40 + 7) =

= 50 + 13 – 40 - 7=

= (50 - 40) + (13 - 7) =

= 10 + 6

Neste caso a técnica matemática utilizada consta de uma compensação. Se adicionamos 10 ao aditivo, então teremos que adicionar 10 ao subtractivo para que a diferença se mantenha. Será correcto dizer-se que se trata do método da compensação em vez do empréstimo.

Embora, a meu ver, seja este o método mais complicado para efectuar a subtracção, no entanto é o mais usual. Mais fácil seria a aplicação do verdadeiro método do empréstimo que consiste em transferir, no aditivo, uma dezena para a ordem de nível imediatamente inferior. A sua representação algorítmica poderia ser assim entendida:

Neste caso, o raciocínio seria traduzido da seguinte forma: sete para treze, seis unidades, e três dezenas para quatro dezenas, uma dezena.

Mas, o que me leva a reflectir sobre este assunto é o facto de num momento de avaliação diagnóstica ter surgido um aluno com um raciocínio completamente inovador no que diz respeito à técnica utilizada para fazer uma subtracção. No entanto, não deixa de ser muito interessante.

Perante a mesma subtracção (53 – 37) o aluno pensou alto: “de três, pretendo tirar sete – não é possível. Mas como posso tirar uma dezena na ordem seguinte, tenho que adicionar três nas unidades.  Então, três mais três são seis,

“e vai um”. Um mais três, quatro. Quatro para cinco, um”.

Não é fácil aceitar este procedimento sem uma reflexão prévia. Por isso, solicitei outro algoritmo (463 – 178) para que o aluno aplicasse o mesmo raciocínio.

Explicou de forma inequívoca:

- Dois mais três são cinco, e vai um;

- Um mais sete são oito, então dois mais seis são oito, e vai um;

- Um mais um são dois, dois para quatro vão dois.

Tratando-se de uma técnica infalível, importa encontrar o fundamento científico que sustenta o raciocínio deste aluno. É o desafio que fica para o leitor.

Média geométrica

Diga o que entende por média geométrica de um determinado conjunto de valores. Esta poderia ser uma questão de uma prova de avaliação de conhecimentos que, no âmbito dos conteúdos estudados naquele período, seria previsível que fosse posto à prova no próximo momento de avaliação. É por isso que no meu tempo de estudante, uma das estratégias adoptadas na preparação para as provas de avaliação, era decorar as definições que tínhamos no caderno diário. Neste caso, bastava decorar que a média geométrica de um determinado conjunto de dados é a raiz de índice n do produto desses valores elevados, cada um deles, à respectiva frequência absoluta.

A resposta correcta servia de garantia, para o professor, como o aluno se tinha apropriado daquele conceito. No entanto, o aluno continuava convicto de que aquele conhecimento não teria qualquer utilidade prática no futuro. A evolução do ensino da matemática acaba por valorizar a reflexão que o aluno faz sobre o seu próprio conhecimento ao ponto de retirar das provas de exames perguntas deste tipo. Se o aluno não consegue aplicar o conhecimento em novas situações, então é porque não se apropriou verdadeiramente do conceito matemático, logo, a avaliação feita não é a mais eficaz.

Imagine-se que em vez de ser pedida aquela definição, fosse pedido para determinar o comprimento do lado de um terreno com a forma de um quadrado que tivesse a mesma área de um outro terreno de 20m por 45m. Pretende-se, portanto, determinar a média geométrica destes dois valores. É o mesmo que encontrar um valor que, ao quadrado, seja igual ao produto de 20 por 45. O próprio aluno pode construir este conceito: área do terreno rectangular é 900m² (20x45m²). Para se obter o lado de um quadrado com a mesma área basta determinar a raiz quadrada de 900. O procedimento efectuado traduz-se na seguinte expressão:

Não é mais que a aplicação da definição dada de média geométrica. Assim se chega à conclusão que 30 é a média geométrica de 20 e 45. A partir desta experiência matemática torna-se evidente a importância deste conceito matemático facilitando a sua compreensão e a automatização do algoritmo sem ter de recorrer à “gaveta” onde estava memorizada a definição. Também não se corre o risco da informação se perder no caso de a “gaveta” permanecer muito tempo fechada.

No caso do leitor querer avaliar o seu próprio conceito de média geométrica e a importância que lhe possa dar em outras situações do quotidiano, proponho o seguinte desafio: a partir da figura, crie uma situação problemática sem que utilize a expressão “média geométrica”, mas cuja resposta seja dada pela seguinte expressão:

 

Divisão chinesa (?) com números decimais

Ultimamente tenho utilizado e praticado várias divisões com o algoritmo apresentado no artigo anterior. Continuo a achar que se trata de um algoritmo que traz mais vantagens na compreensão da divisão. É por esta razão que insisto novamente nesta técnica para dar resposta ao meu próprio repto - como utilizar esta técnica quando estão envolvidos números decimais.

Imagine-se então querer dividir dois números inteiros cujo quociente é um número decimal. Esta possibilidade nunca fica comprometida desde que o dividendo seja inferior ao divisor, por exemplo, a divisão entre 2 e 80.

(a)

Neste caso, para se poder continuar com a divisão é necessário aumentar um número suficiente de casas decimais ao dividendo até que se possa conseguir a divisão exacta. Assim, as duas unidades podem ser vistas como sendo 20 décimas, 200 centésimas ou 2000 milésimas… Neste exemplo, há a necessidade de considerar, pelo menos, 200 centésimas porque se trata do menor número onde posso formar, no mínimo, um grupo de 80.

Deste modo, há a necessidade de identificar a parte inteira e a decimal do quociente. Sugere-se então, o recurso a um traço vertical.

(b)

Agora procede-se normalmente ignorando a vírgula. Em 200 há duas vezes 80. Então, temos:

(c)

Havendo a necessidade de ainda dividir 40 centésimas, procura-se saber em 400 milésimas quantos grupos de 80 fazemos. Completa-se assim o algoritmo:

(d)

Portanto, 2:80=0,025

Outra situação que vale a pena referir, é quando surge uma divisão em que o dividendo tem menos casas decimais que o divisor, por exemplo, 452,5:1,25

(i)

Também aqui, a divisão deverá ser interpretada como sendo uma divisão por medição (subtracções sucessivas) onde se pretende saber, neste caso, em 45250 centésimas quantas 125 centésimas lá cabem. Posto isto, é nesta altura que se vai identificar, no quociente, a ordem das unidades. Esta ordem - as unidades, corresponde às centésimas do dividendo uma vez que se trata de dividir centésimas por centésimas.

(ii)

Agora, procede-se normalmente como se de uma divisão inteira se tratasse:

(iii)

Pode-se então escrever que 452,5:1,25=362

Se, eventualmente, a divisão não compreendesse um número inteiro de centésimas, o algoritmo continuaria a ser executado normalmente estando já identificado a parte decimal do quociente.

Por exemplo, o quociente entre 40,5 e 1,25 é um número inteiro de décimas. Fica o desafio para que o leitor, com este algoritmo, encontre esse valor.