ABCABC

Cada vez são mais as pessoas que praticam exercício físico. Alguns é pelo reconhecimento de como ele é fundamental para a manutenção da vida, mas outros será por razões de ordem inferior - a elegância. No entanto, no que diz respeito à manutenção ou à higiene mental, parece haver cada vez menos pessoas preocupadas com este assunto. Talvez por não ser visível na passerelle.

Mesmo assim, ainda vai havendo umas minorias que gostam de praticar exercício mental. Para quem quiser fazê-lo recomendo uma visita ao “ginásio” RECREAMAT. Foi aí que descobri um desafio deixado por uma frequentadora daquele local que dizia: “gostaria de saber porque é que qualquer número de 3 algarismos repetidos, exemplo 123123, a dividir por 91 é sempre possível?”

De facto é verdade, um número do tipo ABCABC é sempre múltiplo de 91. Há uma outra particularidade muito interessante num número com este formato. O leitor pode fazer a experiência, digite numa calculadora um qualquer número de três dígitos. Por mais desinteressante que seja o número escolhido, repita-o para que passe a obter um número muito especial (com o formato ABCABC).

Se quiser saber porque razão será assim tão especial, divida esse número por 7 e vai ver que vai obter um número inteiro. Se tornar a dividir por 11 vai constatar que continua com um número inteiro, e se o dividir novamente por 13, então vai-me dar razão. A magia do número faz com que apareça na calculadora o número inicial. Não é espantoso?

Dá vontade de fazer uma nova experiência. Por exemplo, vamos escolher o número 379.

Repetimo-lo e obtemos 379379

i) 379379 : 7 = 54197

ii) 54197 : 11 = 4927

iii) 4927 : 13 = 379

E voltamos novamente ao 379.

Importa estabelecer uma relação entre o número inicial (3 dígitos) e o número de 6 dígitos. Quantas vezes é maior o número com o formato ABCABC em relação ao número com o formato ABC?

Os três dígitos iniciais formados pelo número (ABC) passam a formar a classe dos milhares porque tomam um valor de posição mil vez superior em relação à situação anterior (ABC000). Isto é ABC x 1000 = ABC000.

Se a ABC000 adicionarmos novamente ABC obtemos ABCABC, de onde se conclui que ABCABC é 1001 vezes maior que ABC.

Portanto, temos que ABCABC = 1001 x ABC. Então qualquer número com este formato é sempre múltiplo de 1001. Assim se percebe que dividindo qualquer número composto por 3 algarismos repetidos, no formato de ABCABC, por 1001 obtemos sempre ABC.

Foi isso que foi feito anteriormente. O número foi dividido por 7 depois por 11 e finalmente por 13. Esta é uma particularidade muito interessante do número 1001, decomposto em fatores primos: 1001=7x11x13.

Assim sendo, qualquer número ABCABC é múltiplo de 1001, mas também é múltiplo de 7, de 11, de 13 e de que quantos mais números?

ABCABC = 7 x 11 x 13 x ABC

ABCABC = 7 x 143 x ABC

ABCABC = 77 x 13 x ABC

ABCABC = 11 x 91 x ABC

ABCABC = 1001 x ABC

Parece que agora fica claro em como aquele número é sempre múltiplo de 91 como também é de 77 ou de 143…

E se o número tivesse o formato ABCDABCD, será que num procedimento idêntico conseguimos obter ABCD?

O problema dos quatro quatros

 

Malba Tahan (2001) propõe no seu livro " O homem que calculava" (título original) um problema curioso que tem feito perder muitas horas aos amigos da matemática mais perseverantes, como sendo possível escrever os números inteiros  até 100 apenas com quatro quatros.
O problema apresenta-se: "Escrever com quatro quatros e sinais matemáticos, uma expressão que seja igual a um número inteiro dado. Na expressão não pode figurar (além dos quatro quatros) nenhum algarismo ou letra ou símbolo algébrico que envolva letra, tais como: log., lim., etc."

A imagem exemplifica uma das representações dos números inteiros até 10, onde se incluem as notações e operações possíveis. Não é permitida qualquer outra notação a não ser os parêntesis retos.

A ideia é descobrir os outros 90 números. Vamos ver quem dá maiores
contributos.

Tendo em conta que escrever matemática em texto corrido são necessárias algumas adaptações, registam-se os exemplos dados na figura:

0= 44-44
1= 4:4x4:4
2= 4/4+4/4
3= (4+4+4):4
4= 4?-Rq(4)-Rq(4)-Rq(4)
5= 4+4^(4-4)
6= 4!x4:4:4
7= Rq(4)+4+4:4
8= 4+4+4:4
9= 4/4+4+4
10= (44-4):4
 
Aqui pode consultar a lista com os números que já foram descobertos.
Nota: 
- não se admite outra raiz senão a quadrada
- o fatorial está representado por "!"   - n! é o produto de todos os números naturais menores ou iguais a n. (ex: 4!=24)
- o termial está representado por "?"   - n? é a soma de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. (ex: 4?=10)

Dimensões A4 (resp)

Ao artigo publicado neste blogue com o título “Dimensões A4” a 28 de Janeiro de 2009, é proposta a seguinte resposta:

A figura representa uma folha A4 que, dividida ao meio dá origem a duas folhas de formato A5.

Então a razão entre os comprimentos e as larguras da A4 e da folha A5 mantém-se, isto é:

(1)  

Por outro lado, sabe-se que são necessárias 16 folhas A4 para obter 1 m², isto é:

(2)

A partir de (1):

 

Determinando a partir de (2):

Substituindo em (3):

A partir de (4 ) obtém-se a :

Assim, de (5) temos que, o comprimento da folha é

E de (6), a largura é

 

Regularidades numéricas nas idades

 

A elaboração de uma tabela é em muitos casos a estratégia mais apropriada para a resolução de um problema. A tabela dá a possibilidade de visualizar com mais facilidade a forma como os números se relacionam e por conseguinte, uma forma rápida de estabelecermos relações entre os números que seguindo um raciocínio indutivo, nos leva a fazer as nossas próprias generalizações.

Esta é apenas uma sugestão a levar em conta quando se pretende perceber com mais facilidade as regularidades que os números escondem entre si. O problema que levanto poderá servir de exemplo para a sua aplicação: a idade de um pai, alguma vez poderá ser o dobro da idade do seu filho?

Parece ser uma questão sem conteúdo, mas se fizermos extensões a este problema eleva-se o seu interesse do ponto de vista matemático. Considere-se então, no caso da idade do pai ser o triplo da idade do filho? E se fosse o quádruplo? E o quíntuplo? Todas estas situações poderão ocorrer durante a vida de um homem?

Estas são algumas questões que poderão ser motivo para despoletar uma atividade de investigação em ambiente de sala de aula.

Se nos cingirmos apenas ao universo dos números naturais até 100 - poucos já são os que ultrapassam esta idade - e admitindo a possibilidade matemática de ser pai a partir dos quinze anos, damos conta que com 30 anos de idade já pode ter o dobro da idade do filho, se bem que a data limite para se pai seria os 50 anos. Só assim ficaria garantido atingir a dobro da idade do filho aos 100 anos de idade.

Portanto, a diferença entre as idades de pai e filho pode variar entre 15 e 50 anos. Há portanto 36 = 50 – 15 + 1 possibilidades do pai ter o dobro da idade do filho. Esta conclusão já nos leva a considerar que o seguinte problema tem solução – “O Afonso tem 19 anos e o seu pai 44. Quando é que o pai tem o dobro da idade do filho?”

O mesmo já não acontece quando falamos no triplo da idade. Sendo pai aos 15 anos, embora o número pareça ser simpático (é múltiplo de 3), nunca vai haver a possibilidade do pai ter o triplo da idade do filho. A tabela ao lado ilustra isso mesmo. Para uma diferença de 15 anos de idade, quando o pai tem 22, é mais que o triplo da idade do filho, mas no ano seguinte, a mesma relação entre as idades já não chega a ser o triplo.

Seria interessante saber então quando será possível essa relação. Assim, é importante que nos fixemos na ideia de que a diferença de idades entre pai e filho (p-f) representa a idade do pai quando o filho nasce. Portanto, a tabela deverá começar por relacionar as idades cuja diferença seja a mais próxima e nunca inferior a 15 (p – f ≥15). Por outro lado, a idade do pai é o triplo da idade do filho (p = 3 x f). Perante estas condições, a idade do filho vai ter que se reportar a 8 anos e a do pai 24. Temos assim a tabela que nos dá a ideia dos momentos possíveis em que a idade do pai é o triplo da idade do filho.

Na tabela, verifica-se que a linha amarela contempla apenas números pares, de onde se concluiu que, a verificar-se a relação desejada, é condição necessária que o nascimento do filho ocorra apenas quando o pai tem um número par de anos.

Confirma-se assim a impossibilidade do pai ter o triplo da idade do filho no caso da diferença entre as suas idades ser de 15 anos, ou seja, ser pai aos 15 anos.

Então, somos levados a concluir que:

1. Para que a idade do pai seja o dobro da idade do filho, a diferença entre as suas idades é um número natural.

2. Para que a idade do pai seja o triplo da idade do filho, a diferença entre as suas idades é um número par (múltiplo de 2).

Será então que a regularidade matemática que se evidencia nos leva a conjeturar que para a idade do pai vir a ser o quádruplo da idade do filho, a diferença entre as suas idades deverá ser um múltiplo de 3?

Continuando o raciocínio exposto, sugere-se a elaboração de outra tabela onde se admitem as possíveis idades do pai em função das diferentes idades do filho.

Temos então as condições: p – f ≥15 Λ p = 4f

Deste modo, a tabela irá começar por contemplar a idade do filho com 5 anos e a do pai 20.

Confirma-se assim a conjetura de que para a idade do pai ser o quádruplo da idade do filho, a diferença entre as suas idades tem de ser um número múltiplo de 3.

Dando atenção à idade máxima para poder ser pai, a cada um dos casos, revela-se outra regularidade também merecedora de análise.

Querendo adaptar o problema já referido anteriormente - O Afonso tem 19 anos e o seu pai 44. Quando é que o pai tem o dobro da idade do filho? - que idades devem ser atribuídas ao pai e ao filho para podermos perguntar quando é o que pai vai ter o quíntuplo da idade do filho?