Problemas com moedas (resp.)

Relativamente ao artigo publicado a 19 de Outubro de 2008 com o título “Problemas com moedas” sugiro uma experiência para que cada um tire as suas ilações.

Relembro que de acordo com o problema colocado, podemos imaginar uma situação análoga onde nos encontramos de olhos vendados e nos é pedido para separar 40 moedas em dois grupos sendo que, cada um deles deve ter o mesmo número de moedas com a cara voltada para cima. Sabe-se ainda que naquele grupo de 40 moedas existem 18 moedas com a cara voltada para cima.

Talvez não seja fácil reunir 40 moedas, mas a simulação pode recorrer a simples papéis em vez de moedas. Neste caso, será necessário marcar nos 40 papéis o seu verso para que se possa distinguir a “cara” da “coroa”, por exemplo, com uma cruz. Dito isto, falta espalhar os papéis em cima de uma mesa de modo a ser possível contar 18 cruzes. Estamos prontos para fazer a experiência.

Pois bem, agora com a ajuda de uma mica (bolsa plástica para guardar documentos), deve separar quaisquer 18 papéis daquele grupo de 40, e colocá-los um a um na mica, sem que fiquem sobrepostos e com a certeza de que não vira nenhum ao contrário.

Agora, apenas tem de voltar a mica ao contrário e observar muito bem o sucedido. Ficamos com um grupo de 22 papéis em cima da mesa que faziam parte do grupo inicial, e um grupo de 18 papéis no interior da mica. O mais interessante é verificar que tanto num grupo como no outro se podem contar o mesmo número de cruzes.

O prognóstico daquilo que terá feito o condenado à morte, no problema inicial, já não parece ser difícil.

Assim, bastava retirar quaisquer 18 moedas para o lado, uma a uma, com o cuidado de as voltar ao contrário. Seria o suficiente para ter a garantia de que já seria executado…

Trata-se de um problema cuja resolução tem um procedimento fácil, mas de difícil compreensão. É por isso que sugiro que sejam feitas outras experiências com um menor número de moedas.

Boas experiências!

Um sétimo

Os números escondem segredos que, a pouco a pouco, vão-se desvendando e fazendo da matemática também uma ciência sempre em evolução. Com um olhar mais atento, surgem sempre novas relações entre os números, que para muitos não passam de meras curiosidades, mas fundamentais para o desenvolvimento de mecanismos, por exemplo, os tecnológicos que determinam substancialmente a qualidade das nossas vidas. Numa sociedade cada vez mais tecnológica, não nos apercebemos, por vezes, da importância desta ciência - a matemática.

Mas, hoje apenas quero enobrecer a curiosidade, de entre muitos fenómenos numéricos, um que também contribui para a reflexão matemática e sensibilidade para apreciar um pouco mais esta ciência.

Eu, pessoalmente, tenho uma particular paixão pelo número 9, é um número ao qual se associa grandes mistérios. Mas hoje vou colocá-lo de fora. Não quero qualquer vestígio deste número, por isso, elimino também o 3 para não correr o risco de se transformar num quadrado. E, já agora, que se exclua também o 6, não vá ele voltar-se ao contrário. Resta assim, dentro dos números naturais de um dígito, considerar o 1, 2, 4, 5, 7 e 8.

Alinhados desta forma e agrupados a pares corre-se o risco de juntar o 1º com o último, o 2º com o penúltimo e o 3º com o antepenúltimo. Se assim for, obtemos 3 grupos de 9: 1+8; 2+7, 4+5. E voltamos a falar do 9. Então é necessário propor outro alinhamento, por exemplo: 142857.

À primeira vista parece ser um número vulgar, mas na verdade tem uma particularidade muito interessante. O seu dobro é constituído pelos mesmos algarismos: 2 x 142857 = 285714. Também é interessante verificar que todos eles continuam com o seu companheiro – 14; 28 e 57.

E no caso de considerarmos o triplo, o número continua teimoso: 3 x 142857 = 428571. Em relação ao dobro, o 4 deixa a sua posição mais à direita e toma posição mais à esquerda ficando o resto invariante. Insistem em ser uma família unida.

Nesta altura começamos a pensar que não é possível haver um número mais teimoso que nós. Por isso, é inevitável a multiplicação por 4; 4 x 142857 = 571428. É incrível o que sucede! Para além de continuar com os mesmos números, agora estão novamente emparelhados como no início: 14; 28 e 57

Ninguém resiste à próxima experiência; 5 x 142857 = 714285. Agora foi a vez do 5 abandonar a esquerda e tomar a direita.

E também não é a multiplicação por seis que separa aquela família; 6 x 142857 = 857142, embora estivesse à espera que neste produto os pares tornar-se-iam a reconciliar. Mas neste caso, o dois está separado do oito.

Na verdade, não deixa de ser apenas uma ilusão. Imagine-se esta sequência a originar a seguinte sucessão: 142857142857142857… todos os produtos até agora determinados podem aí ser identificados. E nenhum número abandona o seu companheiro.

142857142857…

142857142857…

142857142857…

142857142857…

142857142857…

Acredito que nesta altura o leitor já tenha feito o produto por 7. Se é o caso, deve ter ficado de boca aberta.

E no caso de ter feito o produto por 8 não pense que esta família tenha desistido…. Repare-se no resultado: 1142856. Desapareceu o 7, mas fê-lo representar pela vinda do 1 e do 6 (1+6). É incrível! O mesmo sucedendo com a última experiência que nos falta: 9 x 142857 = 1285713. O 4 foi descansar, no entanto, foi substituído por 1 e por 3 (1+3).

Mas os poderes deste número não se ficam por aqui. Com certeza que vai admirar a harmonia numérica se aos produtos que resultaram destas experiências forem novamente multiplicados por 7.

142857	x	2	x	7	=	1999998
142857	x	3	x	7	=	2999997
142857	x	4	x	7	=	3999996
142857	x	5	x	7	=	4999995
142857	x	6	x	7	=	5999994
142857	x	7	x	7	=	6999993
142857	x	8	x	7	=	7999992
142858	x	9	x	7	=	9000054

Logo vi se o “nove” não estaria também envolvido neste mistério... Será que agora o leitor consegue encontrar uma razão para que o título desde artigo seja ”um sétimo”?

Números primos (resp.)

Já vai sendo altura de dar resposta ao desafio proposto neste blogue a 10 de Outubro de 2008 com o título “Números Primos”.

Assim, analisando a imagem e procurando descobrir o critério da formação numérica de cada um dos eixos do esquema, damos conta que todos os eixos têm como origem o mesmo número – o 1.

O primeiro eixo é encabeçado pelo número dois, e os números que se seguem são todos os seus múltiplos. Poder-se-ia identificar este eixo como sendo o eixo dos números pares.

Sendo assim, o próximo número natural que não entra neste eixo – o número 3, vai encabeçar o segundo eixo. Todos os números do segundo eixo, ou seja, do eixo 3, são os seus múltiplos excepto os números pares porque ficaram “presos” no eixo do 2.

Percebe-se então, que o próximo eixo vai ser o eixo do 5, uma vez que é o primeiro número natural que não entra no eixo do 2 nem no eixo do 3. Da mesma forma, os números que se seguem neste eixo vão ser os múltiplos de 5 que ainda não entraram nos eixos anteriores.

Este critério aplicado a todos os números naturais dá origem à formação de tantos eixos, tantos os números primos existentes, dado que são estes que lideram cada um dos eixos.

É interessante verificar que todos os números que fazem parte de um determinado eixo não são múltiplos de nenhum número que esteja nos eixos anteriores. Então podemos concluir que os segundos números de cada eixo têm apenas mais um divisor que o número que os antecede. Esse divisor é o próprio número que o antecede, o que faz com que estes números sejam quadrados.

Uma vez que estes números, os que se encontram em segundo lugar em cada eixo, têm apenas três divisores, poderíamos propor que fossem os “números segundos-primos”. Não seria interessante?

Então, sabendo agora que o segundo número de cada eixo resulta do quadrado do primeiro, será fácil concluir que o número B = 13 x 13 = 169, C = 11 x 11 = 121 e D = 5x5 = 25.

O número que ocupa a posição A é o primeiro número natural que não é múltiplo de qualquer um dos que já ficaram nos eixos anteriores. É portanto, o número primo 19.

Em síntese e de forma conclusiva podemos verificar que os primeiros números de cada eixo correspondem ao conjunto dos números primos. Os segundos números de cada eixo resultam do quadrado do número primo que dá nome ao eixo – os segundos-primos (não é par levar a sério).

Para finalizar, também é merecida a referência ao terceiro número de cada eixo. Pois ele resulta do produto do número primo desse eixo pelo primo que lhe sucede. E já agora, o 4º número de cada eixo terá alguma relação semelhante?

Percentagens

A percentagem é um termo muito usual, nomeadamente quando as notícias nos informam do estado da nação relativamente às suas contas. As primeiras chuvas de Outono também nos encharcam com percentagens quando se começa a discutir o orçamento de estado. Tudo se resume a percentagens sem que saibamos ao certo o que elas representam. Não nos ofende que o orçamento contemple mais 1% com as despesas dos festejos do ano anterior, sabendo que a inflação até é superior. Talvez fiquemos mais perplexos quando damos conta do valor em absoluto. Só assim nos inteiramos do possível exagero nos gastos do ano anterior. O que parecia ser aceitável, poderá agora ser visto como um agravamento daquilo que já era um desacerto.

A percentagem é um valor relativo porque depende de outro com que opera. No entanto, a informação que as agências noticiosas dão, são basicamente estes valores relativos, onde as pessoas acabam por não dar grande importância, porque se por um lado não é possível atribuir significado ao número, por outro lado, o conceito de percentagem ainda não é suficiente para lhe dar a devida importância.

É por isso que a literacia matemática é determinante na vida social. Por vezes, interrogo-me sobre a possibilidade de haver concordância entre duas entidades quando os números que se discutem são, com toda a evidência, desvantajosos para uma das partes. Talvez porque os números sejam relativos, não tendo o mesmo significado para ambas as partes.

Recordo que há muito pouco tempo os portugueses não deram grande importância ao facto de passarem a pagar 6% de IVA em vez de 5%. De facto, o que foi anunciado é que se tratava de um aumento de 1% - coisa irrelevante.

Trabalhemos com números pequenos para que também não se perca o seu sentido e vamos interpretar este aumento de 1%. Imaginando que o estado arrecadava 500€ em IVA sobre os produtos transaccionados àquela taxa, com a nova taxa passa a apurar 600€. Neste caso, deixou de ganhar 500€ para ganhar 600€, ou seja, um aumento de 100€. Aumentar 100 em 500 é o mesmo que aumentar 20 por cada 100, isto é, houve um aumento de 20%. Mas afinal, a notícia do aumento tinha sido apenas de 1%. A forma como a notícia é dada, todos a aceitam de ânimo leve: é um pequeno esforço que o consumidor passa a fazer. Afinal, é apenas mais 1%. Do outro lado, todos contentes, conseguiram aumentar a sua receita em 20% com apenas um esforço de 1% por parte dos contribuintes - malabarismos numéricos.

Pelo que vi há dias na televisão pública, precisamente no dia 15 de Outubro, no Telejornal da RTP, verifico que a mesma estratégia volta à carga, só que desta vez trata-se de uma carga dupla, ou seja, dois truques num só. Não sei se trata de uma encomenda previamente ensaiada, ou se a falta de incompetência matemática da jornalista que informa o que se vai passar com o novo aumento do IVA foi o critério para que fosse ela fazer a seguinte explicação:

Segundo a jornalista, no que diz respeito aos produtos taxados a 13% “…é fácil! É só somar 10% e fica tudo à taxa máxima”. A simulação para ser mais esclarecedora recorreu ao que acontece também com os produtos agora taxados a 6%. Neste caso foi mesmo necessário a calculadora, o valor de uma coca-cola e um pudim é de 1,75€, “ se lhe dermos mais 17%, a partir de Janeiro custam dois e cinco”. Embora não tenha sido visível o modo como o cálculo foi operado na calculadora, eu deduzo que possa ter sido: 1,75€ x 1,17 = 2,0475€, arredondado à centésima do euro corresponde ao valor anunciado: 2,05€. Bom, mas se assim é, e se todos seguirem aquele exemplo, não é só o IVA que é agravado, o preço do produto também aumenta.

Será que é assim que os nossos governantes também fazem as contas? Talvez seja uma justificação para a vulgarização das derrapagens nas contas públicas.

Analisando este caso e partindo do pressuposto que estes dois produtos passarão a custar 2,05€, o estado arrecada aproximadamente 0,38€ o que equivale a dizer que o valor dos produtos, sem IVA, são aprox. 1,67€ (1,67€ x 1,23 ≈ 2,05€). Hoje, nos mesmos produtos, o estado arrecada aprox. 0,10€, dado que os mesmo produtos, sem IVA, têm o valor de 1,65€ (1,65€ x 1,06 = 1,75€).

Assim, podemos concluir que o produto deixou de custar 1,65€ para passar a ter um valor de 1,67€, o que representa em termos percentuais um aumento de 0,02€ em 1,65€, ou seja, aproximadamente 1,2%.

Se todos os comerciantes aprenderam a lição da sra jornalista, o consumidor para além de um agravamento do IVA na ordem dos 283%, ainda fica sujeito a um aumento do produto em 1,2%. É verdade! O aumento do IVA neste caso é de aproximadamente de 283% e não de 17% como a notícia dada no telejornal nos quer “vender”. O aumento é de 17 em 6 o que representa aquela elevada percentagem, e faz com que o estado passe a arrecadar aproximadamente 38 cêntimos naqueles dois produtos em vez dos 10 cêntimos que cobrava anteriormente.

Fica assim o alerta para haver mais cuidado com as contas, principalmente quando as fazem por nós. Estando mais confiante nas contas feitas pelo leitor, lanço o repto para que determine, ao certo, o novo valor da coca-cola e do pudim quando sujeitos à nova taxa de IVA de 23%.

Pitágoras, não só para quadrados (resp.)

Relativamente ao artigo publicado neste blogue a 1 de Outubro de 2008 com o título “Pitágoras, não só para quadrados” fica-se a saber, relativamente à figura ao lado, que o semi-círculo sobre a hipotenusa é, portanto, equivalente à soma dos semi-círculos assentes nos catetos do triângulo Y.

É o mesmo que ter:

(X+A)+(B+Z)=A+Y+B

Donde vem:

X+Z=Y

Concluiu-se então que a soma da área das lúnulas é igual à área do triângulo.

Recordando o problema clássico da impossibilidade da quadratura do círculo, surge a pertinência em reflectir na curiosidade de haver figuras limitadas por arcos de circunferência cuja área é um valor racional.

É de menos …

A resolução de problemas pode ser visto como sendo uma capacidade que se vai adquirindo a partir de outras capacidades e conhecimentos, e que é fundamental na formação matemática de qualquer cidadão. A competência matemática afere-se, sobretudo, pela capacidade de resolver problemas.

O raciocínio e a forma como se organiza são atributos indispensáveis para conceber e executar uma estratégia que visa a resolução de um problema. Resolver problemas implica muita experiência matemática tal como um bom jogador precisa de treinar para poder marcar golos. É fundamental que desde muito cedo tenhamos oportunidade para fazer as mais variadas experiências matemáticas para que se ganhe gosto por esta ciência e a maturidade suficiente para ganhar competência matemática. E a melhor forma de envolvimento nessas experiências é através do desafio - um bom problema.

A matemática ainda é vista como sendo uma ciência onde se aprende receitas para aplicar mais tarde. O seu ensino não se pode esgotar apenas na aprendizagem dos algoritmos e procedimentos, é preciso em primeiro lugar a apropriação conceptual das noções e ideias matemáticas.

Ainda hoje é vulgar constatar que muitos alunos ficam felizes porque conseguiram acertar na “conta” do problema. Na maior parte das vezes, sem qualquer tipo de reflexão prévia, depois da leitura atabalhoada do problema surgem as reacções: é de mais…, é de menos…, é de dividir,… É claro que ainda acabam por acertar como se o problema fosse uma adivinha.

Identificar os dados do problema, o seu objectivo, o contexto onde se insere, são pequenas etapas que nos conduzem à compreensão do problema que é um item fundamental na sua resolução.

A elaboração de um plano que passa pela organização do raciocínio e na escolha de uma estratégia a aplicar é também uma componente importante na resolução de qualquer problema. Na maior parte das vezes, uma estratégia muito válida é simulação do mesmo problema, mas reduzido a uma situação mais simples. Vulgarmente, é mais fácil descobrir, compreender e estabelecer relações que nos permitem a generalização e portanto, a chave do problema.

Estes procedimentos podem parecer supérfluos, mas não nos deixam escapar ou precipitar em respostas que nos parecem evidentes mas erradas. Por exemplo, querendo saber a capacidade de um tanque sabendo que leva 500 litros mais metade da sua capacidade total, as duas respostas mais vulgares são 750 litros ou 1500 litros, sendo que, nem uma nem outra está correcta. Com certeza que o que falha é a compreensão do problema para além da verificação da adequação dos resultados.

É neste sentido que apelando à calma, ao prazer de descobrir, e tentando executar uma estratégia de resolução, proponho que encontre o número de troncos que foram cortados por um lenhador, ao fim de 7 dias de trabalho, sabendo que fez 38 cortes e obteve 53 pedaços de tronco.

Não se esqueça de explorar a situação de modo encontrar uma relação entre o número de troncos, cortes e pedaços de tronco. Só nessa altura é que o problema ficará resolvido na medida em que, futuramente, estará apenas perante um exercício ao aplicar o algoritmo com outros quaisquer valores. Por exemplo, já não será difícil saber o número de troncos que foram cortados considerando que o número de pedaços duplicou para o mesmo número de cortes feitos pelo lenhador.

Descubra o seu algarismo da sorte ( resp. )

Relativamente ao artigo publicado neste blogue com o título “Descubra o seu algarismo da sorte a 19 de Setembro de 2008, proponho a seguinte resposta:

Este problema assenta na curiosidade de que partindo de um número formado por 3 algarismos, encontrando a diferença com o mesmo número invertido, e adicionando à diferença o número da diferença também invertido, obtemos sempre uma mesmo número: o 1089.

É certo que, o número de partida deve ser formado por três algarismos desde que não sejam todos iguais. Repare que um número desta natureza, quando invertido fica igual a si próprio. Logo, a diferença entre eles vai ser zero, o que não é conveniente. É por isso que se diz no desafio que ”…o seu algarismo da sorte, para este ano, nunca poderá ser igual aos algarismos da sua idade”. Assim fica garantido que o número de partida tem, pelo menos, um algarismo diferente e, com a certeza de que o mesmo número é formado por três algarismos, uma vez que “…se trata de uma experiência que só resulta com adultos”.

Sabendo então que o número obtido é sempre 1089, fica garantido que a soma dos seus algarismos vai dar indicação da 18ª palavra do texto. É claro que qualquer outro algarismo escolhido preenche sempre o requisito para seja o seu número da sorte.

Muito concretamente, nesta situação apresentada, bastaria apenas encontrar a diferença entre os números invertidos para desencadear a descoberta da 18ª palavra, como sugere a ilustração ao lado.

No entanto, a contextualização criada pretendia promover esta curiosidade que pode ser adaptada a outras situações ainda mais interessantes. Por exemplo, numa plateia em que todos fazem os mesmos cálculos a partir de números diferentes, chegar a um mesmo número, ninguém fica indiferente, a não ser que já conheça o fenómeno matemático.

Importa então analisar esta curiosidade para que se perceba como funciona do ponto de vista matemático.

Considere-se então o número:

Invertendo o número, temos:

Obtendo a diferença entre eles:

10²a + 10b + c - (10²c + 10b + a) =

= 10²(a - c) + c - a

Dado que a > c, o algarismo das unidades (c - a) não é possível determinar, em N.

Assim, vamos ter de utilizar uma técnica idêntica àquela quando pretendemos subtrair um número em que o aditivo é inferior ao subtractivo. Uma técnica vulgar é o recurso ao método do empréstimo - a ordem seguinte cede uma dezena à ordem anterior para que o cálculo seja possível. No nosso caso, 10²(a - c) + c - a, a ordem das dezenas encontra-se vazia, o que obriga a recorrer à ordem das centenas para “emprestar” uma dezena de centenas.

Assim, temos:

10²(a - c) + c - a =

= 10²(a - c) - 10² + 10² - 10 + 10 + c - a =

= 10²(a - c - 1) + 10² - 10 + (10 + c - a)=

= 10²(a - c - 1) + 10 x (10 - 1) + (10 + c - a)=

Daqui se percebe que:

(1) O algarismo das centenas = a - c - 1

(2) O algarismo das dezenas = 9

(3) O algarismo das unidades = 10 + c - a

O procedimento seguinte consistia em adicionar este número com o mesmo número invertido.

Invertendo este número obtém-se:

10² (10 + c - a) + 10 x 9 + (a - c - 1)

Adicionando este dois números:

10²(a - c - 1) + 90 + (10 + c - a) + 10²(10 + c - a) + 90 + (a - c - 1)=

= 10² (a - c - 1 + 10 + c - a) + 90 +10 + c - a + 90 + a - c - 1 =

10² x 9 + 189 = 1089.

Regularidades no plano

Por volta de 1750, Leonhard Euler fez uma descoberta que, não sendo aquela que lhe deu mais notoriedade, representa uma ponte que estabelece os primeiros contactos dos alunos com a história da matemática. É uma das primeiras “receitas matemáticas” no currículo académico que denota nesta ciência regularidades, padrões e relações que poucos conseguem apreciar.

Euler delicia-nos com uma relação entre os elementos que constituem os sólidos geométricos limitados por superfícies planas - arestas, vértices e faces. Quando o professor leva os alunos a conjecturar que, num poliedro, a soma do número de faces com o número de vértices é sempre igual ao número de arestas mais dois (F+V=A+2), também tomam conhecimento de que essa descoberta já foi feita por alguém há cerca de 300 anos. Os estudantes, ao dar os primeiros passos nesta ciência, começam a perceber que a Matemática também tem a sua história, sendo tão importante o conhecimento matemático como o conhecimento daqueles que contribuíram para o seu desenvolvimento.

Mas todos sabemos que não há regra sem excepção, e a desilusão daqueles que entusiasticamente constroem matemática surge na descoberta de um elemento que não se encaixa na regra. O zero é um exemplo disso mesmo. Há quem o considere uma aberração da matemática porque faz perder as boas qualidades de grandes generalizações. A determinação do comprimento da diagonal do quadrado tendo de lado uma unidade de comprimento, tirou muitas noites de sono ao próprio Pitágoras. Também na relação de Euler aparece um “monstro” que refuta a teoria que parecia ser infalível.

Houve então a necessidade de definir os sólidos que se caracterizam por verificar esta relação – os sólidos eulerianos. Os outros, na época, seriam os “monstros”, como o da figura.

Mas esta curiosidade nas 3 dimensões leva-nos a interrogar sobre o que se passa no plano. Será que existe uma regularidade semelhante ou, simplesmente, não haverá qualquer regularidade?!...

Imagine-se então um plano, cuja construção mental pode ser a ideia de um pavimento. Vamos considerar neste pavimento arestas (a), nós (n) e mosaicos (m). Consideremos as arestas como sendo as linhas que terminam em nós, e a porção de pavimento limitada pelas arestas serão os mosaicos. A figura seguinte é um exemplo de uma figura com 6 nós, 7 arestas e 2 mosaicos.

 

Fica então o desafio de estabelecer uma relação, caso exista, entre nós (n), arestas (a) e mosaicos (m).

Depois de ter chegado a uma conclusão, analise cuidadosamente se não haverá um “monstro” que refute a sua conjectura.

Uma questão de tempo (Resp.)

Recordando o artigo “Uma questão de tempo”, publicado neste blogue a 7 de Setembro de 2008, era pedido um exemplo onde a influência da cultura Babilónica ainda se fizesse sentir nos dias de hoje.

A medida da amplitude de um ângulo é um exemplo disso mesmo. Quando se fazem medições de amplitudes de ângulos, recorre-se habitualmente ao sistema de numeração de base sessenta (sistema sexagesimal). Um grau é o mesmo que 60 minutos, e um minuto são 60 segundos. As experiências que temos com um sistema diferente do decimal, como no caso da medição de ângulos ou na medição do tempo, poderá servir para compreender melhor quando se pretende converter a representação de um número numa base para outra base diferente.

É certo que este sistema (sexagesimal), tal como o conhecemos, não é suficientemente puro uma vez que não dispõe de 60 símbolos, de modo a que a ordem dos segundos, dos minutos ou dos graus fosse representada apenas por um símbolo. Na verdade, cada uma destas ordens, ainda que seja de forma parcial, organizam-se com recurso ao sistema decimal.

Mesmo assim, compreende-se que o número 20^o15’36’’ corresponde a 20x60²+15x60+36 unidades no sistema decimal, isto é, 72936 segundos que, na sua decomposição polinomial de base dez pode ser representado por 7x10⁴+2x10³+9x10²+3x10+6 .

Na eventualidade de querer representar um número noutra base a partir da decimal deveremos proceder em sentido inverso. Partindo do mesmo exemplo, 72936 segundos, é o mesmo que 72936:60 minutos (72936=1215x60+36). Assim, na ordem dos minutos temos 1215 e na ordem do segundos, o que resta: 36 segundos.

No entanto, torna-se obrigatória a operação 1215:60 (horas), uma vez que em qualquer ordem só se admitem valores inferiores a 60. Dado que 1215:60=20x60+15, concluiu-se que temos 20 na ordem das horas, 15 na ordem dos minutos e 36 na ordem dos segundos: 20^o15’36’.

De forma análoga, querendo representar o mesmo número 72936 na base cinco, o procedimento é o mesmo, com a diferença de que as divisões a efectuar são sempre com divisor cinco.

72936:5=14587x5+1 –> 14587 grupos de 5 de ordem um, e ainda resta 1 na ordem zero –> 1

14587:5=2917x5+2 –> 2917 grupos de 5 de ordem dois, e ainda restam 2 na ordem um –> 21

2917:5=583x5+2 –> 583 grupos de 5 de ordem três, e ainda restam 2na ordem dois –> 221

583:5=116x5+3 –> 116 grupos de 5 de ordem 4, e ainda restam 3 na ordem três –> 221

116:5=23x5+1 –> 23 grupos de 5 de ordem 5, e ainda resta um na ordem quatro –> 13221

23:5=4x5+3 –> 4 grupos de 5 de ordem 6, e ainda restam 3 na ordem cinco –> 313221, isto é: 4313221_(cinco)

Confirmando a sua representação em número decimal, temos: 4x5⁶+3x5⁵+1x5⁴+3x5³+2x5²+2x5+1=72936.