Áreas e perímetros com abelhas (resp.)

Em relação ao artigo publicado neste blogue com o título Áreas e perímetros com abelhas a 1 de Agosto de 2008, proponho a seguinte análise:

Seguindo o conceito de uma pavimentação regular, o plano é pavimentado apenas com um tipo de ladrilho, cuja forma é um polígono regular. O polígono regular implica ter todos os lados de comprimento igual e ângulos internos com a mesma amplitude. Apenas o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular têm ângulos internos cujas amplitudes são submúltiplas de 360⁰. Quer isto dizer, que são os únicos polígonos regulares que pavimentam.

Facilmente se reconhece que o trabalho desenvolvido por uma comunidade composta por centenas de elementos é mais fácil se todos eles forem formatados para fazer o mesmo. Desta forma, não há a necessidade de discutir alterações ou a criação de novos projectos. Neste caso, o projecto das abelhas é dividir o plano em regiões idênticas, de forma que todas elas estejam sempre envolvidas no mesmo projecto. Assim, é compreensível que se adopte apenas um ladrilho para que seja feita a pavimentação (monoédrica).

Por outro lado, o rendimento do trabalho aumentará se para a conclusão do mesmo projecto recorrer à menor energia possível. É dentro desta lógica que importa saber qual a forma a adoptar para obter a maior área tendo o mesmo perímetro. Através do conhecimento matemático prova-se que o círculo é a forma geométrica ideal, tendo em vista a obtenção da maior área com o menor perímetro. De facto, entre as três figuras enumeradas anteriormente, o hexágono é aquela que se aproxima mais do círculo. Vamos lá perceber como é que as abelhas descobriram isso…

Fazendo o teste que é sugerido para uma mesma área:

Optando por triângulos equiláteros:

-- 135 palitos

-- ±9,5 palitos para acabar de fechar o rectângulo.

Total de 144,5 palitos

Optando por quadrados:

-- 76 palitos

-- ± 8,5 palitos para acabar de fechar o rectângulo.

Total de 84,5 palitos

Optando por hexágonos regulares:

-- 45 palitos

-- ± 19,5 palitos para acabar de fechar o rectângulo.

Total de 64,5 palitos

Comprova-se que para um menor consumo energético na construção dos favos, as abelhas estão certas em optarem pelos hexágonos.

Resto, excesso ou diferença

Quando mentalmente não se consegue efectuar a operação matemática desejada é nessa altura que se costuma recorrer ao algoritmo conhecido. Seguir um processo institucionalizado dá confiança a quem o pratica embora, por vezes, o praticante do algoritmo não atribua significado ao processo utilizado. Mas a aprendizagem matemática deve visar sempre a compreensão dos procedimentos e, por conseguinte, contribuir para se dar significado às rotinas.

Este objectivo não é um a meta fácil, principalmente nos primeiros anos de escolaridade onde é necessário o recurso a algoritmos para efectuar operações que ainda não foram conceptualizadas. A subtracção é o exemplo de uma operação que recorre a um algoritmo que, em caso pontuais, é de difícil compreensão. Refiro-me a situações em que é necessário recorrer a artifícios matemáticos para tornar possível esta operação, como seja nos casos de em que o algarismo do aditivo é inferior ao subtractivo.

A meu ver, a institucionalização do algoritmo só deve ocorrer quando o cálculo mental se revelar incapaz para se realizar a operação, ou quando outras técnicas utilizadas de forma compreensiva forem reconhecidas como sendo menos eficazes na obtenção de resultados mais rápidos. Mas o querer atingir objectivos muito rápidos no currículo do aluno faz com que a mecanização de procedimentos se antecipe à consolidação conceptual de respectiva operação.

No caso da subtracção, penso que seria importante analisar-se em primeiro lugar o significado da operação, pois pode tratar-se de um excesso, noutros casos de uma diferença ou ainda de um resto, dependendo do contexto onde se insere. Mas, à margem de situações concretas e abusando um pouco da abstracção matemática poder-se-á fazer uma breve análise a estes conceitos.

Por exemplo, 43 pode ser decomposto na adição 40 + 3 podendo, o 3, ser visto como sendo o resto que vai para além de 40. Portanto, perante a subtracção 43 – 40, poderemos entendê-la como querendo procurar o número que resta, para além do 40, para chegar ao 43.

Segundo este raciocínio e, tomando como outro exemplo a subtracção 54 – 26, pretendo determinar o que resta para além do 26 até ao 54. Assim, poderei decompor o 54 numa soma de duas parcelas de modo a obter 26. Este processo poderá ser feito de forma gradual de acordo com as capacidades de cálculo mental de cada utilizador, transferindo valores de uma parcela para a outra, criando adições equivalentes:

Uma outra interpretação seria por exemplo entender 54 – 26 como procurar a diferença que vai de 26 para 54. Neste caso, posso partir do 54 e ir retirando valor até atingir o 26. Depois basta adicionar os valores retirados;

Por outro lado, 54 – 26 pode ser interpretado como sendo o excesso que vai além de 26 até 54. Neste caso poderia seguir outro procedimento que consta no apuramento do valor em excesso. A sua representação poderia ser a seguinte:

Estes são três exemplos de sugestões algorítmicas que podem ajudar a superar a dificuldade na subtracção quando o algarismo do aditivo é inferior ao subtractivo. Para além destas sugestões algorítmicas da subtracção, deixo a representação de uma outra que era muito usual antigamente. Por exemplo, a seguinte subtracção: 2546 - 1794.

Embora se trate de um algoritmo moroso, que vantagem lhe pode ser reconhecida em relação ao nosso algoritmo tradicional?

O papel que usamos… (resp.)

Ao artigo publicado neste blogue com o título “O papel que usamos…” a 30 de Julho de 2008, proponho as seguintes respostas aos desafios lançados.

Seguindo a regularidade da tabela obtém-se as dimensões das folhas A₈, A₉ e A₁₀.

1. 2¹⁰=1024; A folha A₀ dá origem a 1024 folhas A₁₀

2. São necessárias 1024 folhas.

3. Para uma resma de papel A₄ são necessárias 500/16=31,25 folhas A₀. Então o peso da resma é 31,25 x 80 = 2500g

4. Uma folha A₀ dá origem a 2⁷ folhas A₇. Assim, o prisma é formado por 5 x 2⁷= 640 folhas. Logo, cada folha tem de espessura 64mm/640=0,1mm. Recorrendo à folha de cálculo Excel é fácil verificar que 0,1mm x 2³³=429496,7mm o que corresponde aproximadamente a 429m, portanto basta fazer 33 dobras sucessivas.

Quadratura do rectângulo

Faz parte do currículo académico da escolaridade básica, conhecer e saber determinar os pontos notáveis de um triângulo. Não é difícil memorizar os procedimentos para determinar, por exemplo, o circuncentro tendo em vista a realização de uma prova de exame. No entanto, a aplicação desse conhecimento matemático na vida real, de um modo geral, escapa à maioria dos estudantes. Isto faz-nos reflectir, afinal para que aprendemos matemática se não sabemos aplicar o conhecimento? Talvez uma das razões dos índices de sucesso nesta disciplina serem tão baixos se deva ao facto da escola não conseguir tornar relevante a importância do estudo da matemática.

Repare-se no exemplo de três amigos que pretendem encontrar-se todos à mesma distância de suas casas. Afinal, mais importante do que determinar o circuncentro de um triângulo, que parece não servir para nada, seria resolver um problema concreto onde é necessário aplicar o mesmo conhecimento matemático. Se aqueles amigos tivessem a oportunidade de desenvolver o seu raciocínio geométrico, poderiam não se lembrar do nome, mas provavelmente o problema estaria resolvido.

Há muitas descobertas matemáticas que sendo uma paixão para os mais aficionados por esta ciência, para outros são entendidas como meras futilidades. Um exemplo será saber a relação que existe entre a altura de um triângulo rectângulo, tendo por base a hipotenusa, e os segmentos que a formam separados pelo pé da sua altura.

Isto é: se [AD]=h; [BD]=a e [DC]=b que relação existe entre h, a e b?

O recurso à trigonometria pode ser uma das formas de encontrar essa resposta:

· O triângulo é rectângulo, logo α e β são ângulos complementares: cosβ= senα assim como senβ=cosα

· a+b é a hipotenusa do triângulo

por outro lado,

Assim, se compreende a existência da proporcionalidade:

ou seja,

Da interpretação desta relação, pode fazer-se a seguinte leitura: se considerarmos a base de um triângulo rectângulo a sua hipotenusa, então a sua altura é a média geométrica dos segmentos formados pelo pé da altura e os extremos da hipotenusa.

Este conhecimento, sem interesse aparente, pode servir de base a novos conhecimentos e a novas descobertas matemáticas. É este o sentido deste artigo. Com base neste conhecimento e com um pouco de pensamento geométrico, como se poderá interpretar os seguintes procedimentos?

Reconhecendo maior valor matemático àquele que produz o problema do que aquele que o resolve, deixo o desafio para que o leitor proponha um problema cuja solução exija este conjunto de procedimentos.

Estátua (resp.)

Em relação ao artigo aqui publicado com o título Estátua a 22 de Julho de 2008, sugere-me a seguinte resposta:

Um ensino conduzido pela sistematização de conhecimentos com especial incidência na resolução de exercícios em detrimento da resolução de problemas, em nada subsidia o desenvolvimento de novos conceitos e que capacite o aluno na aplicação dos seus conhecimentos, quer em situações de contexto matemático ou até mesmo não matemático.

O exemplo deste desafio é uma evidência em como grande parte das pessoas não consegue responder, pelo menos numa primeira abordagem, acertadamente.

Depois de muitos anos se terem passado após a escolarização básica, é muito provável que se tenha presente a regra a aplicar quando se pretende converter uma medida de volume, associada às medidas de comprimento no submúltiplo ou no múltiplo imediato. Com certeza que todos ainda se lembram de ter que se deslocar a virgula três “casas” de cada vez sem que, no entanto, fosse importante a compreensão deste procedimento. Talvez seja esta a razão porque a resposta a este desafio crie tanto embaraço.

É certo que, quando se trata de reduzir ou ampliar um objecto as suas medidas alteram nas suas três dimensões. Neste caso específico, a redução na sua altura é 10 vezes menor, o que implica uma redução no seu volume de 10x10x10. Assim, a quantidade de cobre necessária para a construção desta réplica será de apenas um milésimo da massa da estátua original. Logo 225 000kg:1 000 = 225kg

“E vai um …”

É muito vulgar a utilização da expressão “e vai um” quando realizamos uma operação aritmética. No caso da adição é facilmente compreensível a utilização desta expressão matemática. Quando adicionamos os valores de uma determinada ordem temos que transportar para a ordem seguinte o número de dezenas acumuladas na ordem anterior. Este procedimento deve-se ao facto de cada ordem admitir apenas um dígito.

Quer isto dizer que se eventualmente a soma dos valores de uma determinada ordem for, por exemplo, dezasseis (dez mais seis), ficam seis nessa ordem e vai uma dezena para a ordem seguinte - o mesmo que dizer “e vai um”. Quando a adição é constituída por várias parcelas pode acontecer que haja a necessidade de “irem 2, 3” ou o número de dezenas que acumula o somatório daquela ordem.

No caso da subtracção já não é assim tão fácil a interpretação do misterioso “e vai um”. A diferença encontrada é sempre inferior a dez, no entanto, por vezes utiliza-se o artifício do “e vai um”. Este procedimento ocorre quando numa determinada ordem é necessário subtrair um valor maior àquele que existe no aditivo.

Por vezes, costuma-se justificar este procedimento, embora sem fundamento científico, como sendo o método do empréstimo. Pede-se emprestado ao vizinho de cima e dá-se novamente ao vizinho de baixo. Isto é, imaginando que se pretende efectuar a seguinte subtracção 53 – 37, diz-se: sete para treze (pede-se 10 ao vizinho do lado) são seis, e vai um; três mais um (entrega-se no vizinho de baixo) são quatro, quatro para cinco fica um. A diferença é 16.

A bem da verdade, esta justificação não justifica nada. O que acontece, de facto, na subtracção é a verificação da ocorrência da invariância do resto quando se adiciona o mesmo número inteiro quer ao aditivo quer ao subtractivo. Neste exemplo, 53 – 37 = 63 – 47, por conveniência, o 63 é visto como sendo 50 + 13 e o 47 como sendo 40 + 7. Assim temos:

Utilizando a linguagem simbólica é o mesmo que:

53-37=

= (53 + 10) - (37 + 10) =

= (50 + 13) - (40 + 7) =

= 50 + 13 – 40 - 7=

= (50 - 40) + (13 - 7) =

= 10 + 6

Neste caso a técnica matemática utilizada consta de uma compensação. Se adicionamos 10 ao aditivo, então teremos que adicionar 10 ao subtractivo para que a diferença se mantenha. Será correcto dizer-se que se trata do método da compensação em vez do empréstimo.

Embora, a meu ver, seja este o método mais complicado para efectuar a subtracção, no entanto é o mais usual. Mais fácil seria a aplicação do verdadeiro método do empréstimo que consiste em transferir, no aditivo, uma dezena para a ordem de nível imediatamente inferior. A sua representação algorítmica poderia ser assim entendida:

Neste caso, o raciocínio seria traduzido da seguinte forma: sete para treze, seis unidades, e três dezenas para quatro dezenas, uma dezena.

Mas, o que me leva a reflectir sobre este assunto é o facto de num momento de avaliação diagnóstica ter surgido um aluno com um raciocínio completamente inovador no que diz respeito à técnica utilizada para fazer uma subtracção. No entanto, não deixa de ser muito interessante.

Perante a mesma subtracção (53 – 37) o aluno pensou alto: “de três, pretendo tirar sete – não é possível. Mas como posso tirar uma dezena na ordem seguinte, tenho que adicionar três nas unidades.  Então, três mais três são seis,

“e vai um”. Um mais três, quatro. Quatro para cinco, um”.

Não é fácil aceitar este procedimento sem uma reflexão prévia. Por isso, solicitei outro algoritmo (463 – 178) para que o aluno aplicasse o mesmo raciocínio.

Explicou de forma inequívoca:

- Dois mais três são cinco, e vai um;

- Um mais sete são oito, então dois mais seis são oito, e vai um;

- Um mais um são dois, dois para quatro vão dois.

Tratando-se de uma técnica infalível, importa encontrar o fundamento científico que sustenta o raciocínio deste aluno. É o desafio que fica para o leitor.

Conversões… (resp.)

Em relação ao artigo publicado neste blogue com o título Conversões a 21 de Julho de 2008, proponho a seguinte resposta:

Um decímetro cúbico não é mais que um cubo com um decímetro de aresta. Assim, em cada aresta cabem, em fila, 10 cubos com um centímetro de aresta. Aliás como esclarece a própria figura, sendo necessário 10x10x10=1000 centímetros cúbicos para preencher o espaço equivalente ao decímetro cúbico. A décima parte desse espaço pode ser visto como sendo uma placa com 10x10=100 cubinhos (centímetros cúbicos)

Portanto, não é nada de novo neste desafio na medida em que o procedimento mais usual para converter decímetros cúbicos em centímetros cúbicos é colocar 3 zeros à direita do número, o que equivale a aumentá-lo 1000 vezes.

Quer isto dizer que se pretender aumentar 10 vezes a aresta de um cubo, vou obter um volume 1000 vezes maior.

Imagine-se, no entanto, que tenho um pequeno cubo de pedra mármore com a massa de 3kg. Se pretender obter um novo cubo com o triplo da aresta, a previsão da sua massa, pela maior parte das pessoas, fica longe de se aproximar de 729kg. Porque será?

Média geométrica

Diga o que entende por média geométrica de um determinado conjunto de valores. Esta poderia ser uma questão de uma prova de avaliação de conhecimentos que, no âmbito dos conteúdos estudados naquele período, seria previsível que fosse posto à prova no próximo momento de avaliação. É por isso que no meu tempo de estudante, uma das estratégias adoptadas na preparação para as provas de avaliação, era decorar as definições que tínhamos no caderno diário. Neste caso, bastava decorar que a média geométrica de um determinado conjunto de dados é a raiz de índice n do produto desses valores elevados, cada um deles, à respectiva frequência absoluta.

A resposta correcta servia de garantia, para o professor, como o aluno se tinha apropriado daquele conceito. No entanto, o aluno continuava convicto de que aquele conhecimento não teria qualquer utilidade prática no futuro. A evolução do ensino da matemática acaba por valorizar a reflexão que o aluno faz sobre o seu próprio conhecimento ao ponto de retirar das provas de exames perguntas deste tipo. Se o aluno não consegue aplicar o conhecimento em novas situações, então é porque não se apropriou verdadeiramente do conceito matemático, logo, a avaliação feita não é a mais eficaz.

Imagine-se que em vez de ser pedida aquela definição, fosse pedido para determinar o comprimento do lado de um terreno com a forma de um quadrado que tivesse a mesma área de um outro terreno de 20m por 45m. Pretende-se, portanto, determinar a média geométrica destes dois valores. É o mesmo que encontrar um valor que, ao quadrado, seja igual ao produto de 20 por 45. O próprio aluno pode construir este conceito: área do terreno rectangular é 900m² (20x45m²). Para se obter o lado de um quadrado com a mesma área basta determinar a raiz quadrada de 900. O procedimento efectuado traduz-se na seguinte expressão:

Não é mais que a aplicação da definição dada de média geométrica. Assim se chega à conclusão que 30 é a média geométrica de 20 e 45. A partir desta experiência matemática torna-se evidente a importância deste conceito matemático facilitando a sua compreensão e a automatização do algoritmo sem ter de recorrer à “gaveta” onde estava memorizada a definição. Também não se corre o risco da informação se perder no caso de a “gaveta” permanecer muito tempo fechada.

No caso do leitor querer avaliar o seu próprio conceito de média geométrica e a importância que lhe possa dar em outras situações do quotidiano, proponho o seguinte desafio: a partir da figura, crie uma situação problemática sem que utilize a expressão “média geométrica”, mas cuja resposta seja dada pela seguinte expressão:

 

Pitágoras??... (resp.)

Em relação ao artigo publicado neste blog com o título “Pitágoras??...” a 18 de Julho de 2008, proponho a seguinte resposta:

É interessante como a maior parte das pessoas, com algum conhecimento matemático, quando são confrontadas com este exercício pensam sempre em recorrer ao teorema de Pitágoras para o poder resolver.

O desafio propõe-nos determinar o comprimento da diagonal do rectângulo. Sabe-se que as diagonais do rectângulo são de comprimentos iguais. É fácil reconhecer que a outra diagonal, não visível no esquema, é o raio da circunferência.

Sendo dado o raio da circunferência (5), então o comprimento de a=5.