“E vai um …”

É muito vulgar a utilização da expressão “e vai um” quando realizamos uma operação aritmética. No caso da adição é facilmente compreensível a utilização desta expressão matemática. Quando adicionamos os valores de uma determinada ordem temos que transportar para a ordem seguinte o número de dezenas acumuladas na ordem anterior. Este procedimento deve-se ao facto de cada ordem admitir apenas um dígito.

Quer isto dizer que se eventualmente a soma dos valores de uma determinada ordem for, por exemplo, dezasseis (dez mais seis), ficam seis nessa ordem e vai uma dezena para a ordem seguinte - o mesmo que dizer “e vai um”. Quando a adição é constituída por várias parcelas pode acontecer que haja a necessidade de “irem 2, 3” ou o número de dezenas que acumula o somatório daquela ordem.

No caso da subtracção já não é assim tão fácil a interpretação do misterioso “e vai um”. A diferença encontrada é sempre inferior a dez, no entanto, por vezes utiliza-se o artifício do “e vai um”. Este procedimento ocorre quando numa determinada ordem é necessário subtrair um valor maior àquele que existe no aditivo.

Por vezes, costuma-se justificar este procedimento, embora sem fundamento científico, como sendo o método do empréstimo. Pede-se emprestado ao vizinho de cima e dá-se novamente ao vizinho de baixo. Isto é, imaginando que se pretende efectuar a seguinte subtracção 53 – 37, diz-se: sete para treze (pede-se 10 ao vizinho do lado) são seis, e vai um; três mais um (entrega-se no vizinho de baixo) são quatro, quatro para cinco fica um. A diferença é 16.

A bem da verdade, esta justificação não justifica nada. O que acontece, de facto, na subtracção é a verificação da ocorrência da invariância do resto quando se adiciona o mesmo número inteiro quer ao aditivo quer ao subtractivo. Neste exemplo, 53 – 37 = 63 – 47, por conveniência, o 63 é visto como sendo 50 + 13 e o 47 como sendo 40 + 7. Assim temos:

Utilizando a linguagem simbólica é o mesmo que:

53-37=

= (53 + 10) - (37 + 10) =

= (50 + 13) - (40 + 7) =

= 50 + 13 – 40 - 7=

= (50 - 40) + (13 - 7) =

= 10 + 6

Neste caso a técnica matemática utilizada consta de uma compensação. Se adicionamos 10 ao aditivo, então teremos que adicionar 10 ao subtractivo para que a diferença se mantenha. Será correcto dizer-se que se trata do método da compensação em vez do empréstimo.

Embora, a meu ver, seja este o método mais complicado para efectuar a subtracção, no entanto é o mais usual. Mais fácil seria a aplicação do verdadeiro método do empréstimo que consiste em transferir, no aditivo, uma dezena para a ordem de nível imediatamente inferior. A sua representação algorítmica poderia ser assim entendida:

Neste caso, o raciocínio seria traduzido da seguinte forma: sete para treze, seis unidades, e três dezenas para quatro dezenas, uma dezena.

Mas, o que me leva a reflectir sobre este assunto é o facto de num momento de avaliação diagnóstica ter surgido um aluno com um raciocínio completamente inovador no que diz respeito à técnica utilizada para fazer uma subtracção. No entanto, não deixa de ser muito interessante.

Perante a mesma subtracção (53 – 37) o aluno pensou alto: “de três, pretendo tirar sete – não é possível. Mas como posso tirar uma dezena na ordem seguinte, tenho que adicionar três nas unidades.  Então, três mais três são seis,

“e vai um”. Um mais três, quatro. Quatro para cinco, um”.

Não é fácil aceitar este procedimento sem uma reflexão prévia. Por isso, solicitei outro algoritmo (463 – 178) para que o aluno aplicasse o mesmo raciocínio.

Explicou de forma inequívoca:

- Dois mais três são cinco, e vai um;

- Um mais sete são oito, então dois mais seis são oito, e vai um;

- Um mais um são dois, dois para quatro vão dois.

Tratando-se de uma técnica infalível, importa encontrar o fundamento científico que sustenta o raciocínio deste aluno. É o desafio que fica para o leitor.

Conversões… (resp.)

Em relação ao artigo publicado neste blogue com o título Conversões a 21 de Julho de 2008, proponho a seguinte resposta:

Um decímetro cúbico não é mais que um cubo com um decímetro de aresta. Assim, em cada aresta cabem, em fila, 10 cubos com um centímetro de aresta. Aliás como esclarece a própria figura, sendo necessário 10x10x10=1000 centímetros cúbicos para preencher o espaço equivalente ao decímetro cúbico. A décima parte desse espaço pode ser visto como sendo uma placa com 10x10=100 cubinhos (centímetros cúbicos)

Portanto, não é nada de novo neste desafio na medida em que o procedimento mais usual para converter decímetros cúbicos em centímetros cúbicos é colocar 3 zeros à direita do número, o que equivale a aumentá-lo 1000 vezes.

Quer isto dizer que se pretender aumentar 10 vezes a aresta de um cubo, vou obter um volume 1000 vezes maior.

Imagine-se, no entanto, que tenho um pequeno cubo de pedra mármore com a massa de 3kg. Se pretender obter um novo cubo com o triplo da aresta, a previsão da sua massa, pela maior parte das pessoas, fica longe de se aproximar de 729kg. Porque será?

Média geométrica

Diga o que entende por média geométrica de um determinado conjunto de valores. Esta poderia ser uma questão de uma prova de avaliação de conhecimentos que, no âmbito dos conteúdos estudados naquele período, seria previsível que fosse posto à prova no próximo momento de avaliação. É por isso que no meu tempo de estudante, uma das estratégias adoptadas na preparação para as provas de avaliação, era decorar as definições que tínhamos no caderno diário. Neste caso, bastava decorar que a média geométrica de um determinado conjunto de dados é a raiz de índice n do produto desses valores elevados, cada um deles, à respectiva frequência absoluta.

A resposta correcta servia de garantia, para o professor, como o aluno se tinha apropriado daquele conceito. No entanto, o aluno continuava convicto de que aquele conhecimento não teria qualquer utilidade prática no futuro. A evolução do ensino da matemática acaba por valorizar a reflexão que o aluno faz sobre o seu próprio conhecimento ao ponto de retirar das provas de exames perguntas deste tipo. Se o aluno não consegue aplicar o conhecimento em novas situações, então é porque não se apropriou verdadeiramente do conceito matemático, logo, a avaliação feita não é a mais eficaz.

Imagine-se que em vez de ser pedida aquela definição, fosse pedido para determinar o comprimento do lado de um terreno com a forma de um quadrado que tivesse a mesma área de um outro terreno de 20m por 45m. Pretende-se, portanto, determinar a média geométrica destes dois valores. É o mesmo que encontrar um valor que, ao quadrado, seja igual ao produto de 20 por 45. O próprio aluno pode construir este conceito: área do terreno rectangular é 900m² (20x45m²). Para se obter o lado de um quadrado com a mesma área basta determinar a raiz quadrada de 900. O procedimento efectuado traduz-se na seguinte expressão:

Não é mais que a aplicação da definição dada de média geométrica. Assim se chega à conclusão que 30 é a média geométrica de 20 e 45. A partir desta experiência matemática torna-se evidente a importância deste conceito matemático facilitando a sua compreensão e a automatização do algoritmo sem ter de recorrer à “gaveta” onde estava memorizada a definição. Também não se corre o risco da informação se perder no caso de a “gaveta” permanecer muito tempo fechada.

No caso do leitor querer avaliar o seu próprio conceito de média geométrica e a importância que lhe possa dar em outras situações do quotidiano, proponho o seguinte desafio: a partir da figura, crie uma situação problemática sem que utilize a expressão “média geométrica”, mas cuja resposta seja dada pela seguinte expressão:

 

Pitágoras??... (resp.)

Em relação ao artigo publicado neste blog com o título “Pitágoras??...” a 18 de Julho de 2008, proponho a seguinte resposta:

É interessante como a maior parte das pessoas, com algum conhecimento matemático, quando são confrontadas com este exercício pensam sempre em recorrer ao teorema de Pitágoras para o poder resolver.

O desafio propõe-nos determinar o comprimento da diagonal do rectângulo. Sabe-se que as diagonais do rectângulo são de comprimentos iguais. É fácil reconhecer que a outra diagonal, não visível no esquema, é o raio da circunferência.

Sendo dado o raio da circunferência (5), então o comprimento de a=5.

Um momento de "matemática recreativa"

Hoje em dia, é reconhecido mundialmente a necessidade de qualquer país fazer fortes investimentos no sentido de elevar os índices de literacia matemática dos seus povos. Com um pouco de atenção, damos conta que qualquer comunicação, directa ou indirectamente, recorre a conceitos ou ideias matemáticas, sobretudo quando a mensagem é de conteúdo persuasivo. Valores estatísticos, ou o próprio número em si, acaba por ser um recurso fundamental na comunicação. É por isso que a comunicação matemática é hoje vista como sendo uma capacidade fundamental no currículo escolar de qualquer aluno.

Mas a comunicação matemática envolve conceitos matemáticos que, na maioria das vezes, não têm o mesmo entendimento entre receptores e emissores. Um exemplo muito vulgar é o recurso ao conceito de média para tornar o discurso mais convincente. No entanto, em grande parte dos casos não é pertinente a sua referência isolada, na medida em que a sua leitura não implica necessariamente alguma conclusão. Imagine-se o caso de um responsável de uma determinada empresa que, no seu discurso, para provar que os seus trabalhadores até são os mais bem pagos da região, recorre ao termo “média”. Na verdade, se o conceito de média for interpretado de forma correcta por todo o receptor, o argumento não seria suficientemente convincente dado que os vencimentos dos senhores gestores e administradores iludem os resultados apresentados.

Considere-se um exemplo mais simples. Quando se faz referência ao triplo de qualquer coisa, será que todos retêm a mesma ideia matemática? Não tenho dúvidas que a maior parte das pessoas responderia que se trata dessa coisa, três vezes. Outros, com um pensamento matemático igualmente válido, poderão pensar que se trata dessa coisa e ainda mais o seu dobro. No entanto, há quem pense que se trata de situações diferentes pelo simples facto de aparecer o conceito de dobro e o de triplo para explicar o mesmo fenómeno. Importa, pois, seleccionar o raciocínio que nos parece mais pertinente e adequado à mensagem que pretendemos transmitir de forma convincente, mas também inteligível.

Não serve de exemplo o que acontece no vídeo que se segue. Trata-se do Primeiro-Ministro de um país, a sua Ministra da Educação e um dos seus Secretários de Estado que divulgam um considerável aumento no rendimento subsidiário das famílias. A forma empolgada de o querer dizer, a iliteracia matemática que os limita, ou talvez não saberem ao certo o que querem comunicar, transformam uma comunicação simples em algo meramente difuso, onde eles próprios não se entendem…

Proponho assim o desafio ao leitor, depois de visionar o vídeo, poder interpretar a comunicação para tomar a decisão; o aumento do rendimento anunciado é de 100%, 200%, 300% ou 400%?

Mais um metro de perímetro

Que significado poderá ter o ente matemático 2πr? É normal que qualquer aluno, a partir do 2º Ciclo do Ensino Básico, diga que se trata do perímetro de um círculo cujo raio é r. Será que nos podemos dar por satisfeitos quando o aluno aplica a fórmula para calcular o comprimento de uma circunferência?

Tenho vários exemplos de alunos que aplicam bem a fórmula para o cálculo do perímetro quando lhes é dado o raio ou até o diâmetro. No entanto, porque razão grande parte destes alunos ficam sem resposta e outros arriscam com grande erro, quando lhes é pedido para fazerem uma estimativa sobre o número de diâmetros que cabem no perímetro de um dado círculo?

Na verdade, nem todos os alunos atribuem o mesmo significado a “pi”, embora saibam que é um valor aproximado de 3. Importa, pois, que o professor interrogue: três, quê?

Será que aqueles que são mais desenvoltos no domínio desta noção, de relacionar o perímetro de um círculo com o seu diâmetro, estão à altura de interpretar, em toda a sua plenitude, estas relações?

Eu estava convencido que não necessitava de reflectir mais sobre esta relação, até ao dia em que, já no ensino superior, o meu ilustre professor, Domingos Rijo, colocou à turma o seguinte desafio:

Imaginem uma esfera do tamanho do nosso planeta e que passamos uma corda em toda a sua volta de modo a obtermos o perímetro do seu maior círculo. A essa corda acrescentamos um metro de corda. Seguramente, vamos obter uma folga como ilustra a figura. Será que essa folga é suficiente de modo a passar por ela um gato?

Foi unânime a intuição matemática da turma em admitir que seria insignificante o aumento de um metro em todo aquele comprimento de milhares de quilómetros de corda. Portanto, a folga criada seria insuficiente para que passasse um gato.

A mesma experiência foi proposta numa bola de futebol. Da mesma forma, acrescenta-se um metro à corda que corresponde ao perímetro do círculo máximo da bola. Nesta segunda experiência, ninguém hesitou em reconhecer que a folga criada com o aumento da corda já seria mais que suficiente para passar um gato.

Mas, de acordo com o conhecimento da relação entre o diâmetro do círculo e o seu perímetro, podemos afirmar que está na razão aproximada de 1 para 3. Quer isto dizer que para um diâmetro com uma unidade de comprimento, obtemos um perímetro aproximado de 3 unidades de comprimento. Assim, na razão inversa, um perímetro de um círculo com uma unidade de comprimento, corresponde a um diâmetro aproximado de uma terça parte. Então, nas experiências anteriores, como o aumento do perímetro era o mesmo, implica um aumento no diâmetro no mesmo valor, isto é, aproximadamente uma terça parte de um metro.

Imaginando que a experiência era feita com uma bola de golf e admitindo que uma folga de 10 cm é o suficiente para um gato passar, de quanto se teria de aumentar a corda para que o gato pudesse passar entre a bola e a corda? E em relação ao mundo, quanto teria de ser esse aumento?

A Escada dos Bombeiros (resp.)

Em relação ao artigo publicado neste blogue com o título A escada dos bombeiros a 17 de Julho de 2008, proponho a seguinte resposta:

A forma como o problema é colocado talvez alvitre uma resposta que nos pareça evidente e, por conseguinte, imediata. Neste caso, a maioria das pessoas, pensa adicionar 12 com metade do seu valor, obtendo assim: 12+6=18.

Assim sendo, o comprimento da escada seria de 18 metros, o que leva a concluir que metade desse comprimento seja 9 metros. No entanto, ao fazer a verificação do resultado obtido, de acordo com o enunciado, a escada tem 12 metros mais metade do seu comprimento total, ou seja, 12 + 9 = 21. O resultado surpreende na medida em que não se confirma o comprimento de 18 metros.

Esta é uma situação que exige, do ponto de vista matemático, o simples conceito de metade. É certo que a unidade, neste caso, a escada dos bombeiros tem duas metades (necessariamente iguais).

Se a escada tem 12 metros, mais metade, quer dizer que a outra metade são os 12 metros. Tratando-se de juntar duas metades só poderemos adicionar 12 com 12.

Deste modo, sabe-se que a escada não tem 18 nem 21, mas sim 24 metros.

Uma questão de percentagem…

Com a aproximação da época balnear, aumenta a preocupação dos agentes responsáveis pela saúde pública face ao apetite pelo “trabalho” excessivo, onde a maioria das pessoas se empenha na maior produção do seu “bronze”. Isto talvez se deva ao facto de este “trabalho” ser o único que contraria as leis da Física, uma vez que pode ser realizado sem qualquer movimento.

A desidratação é um dos problemas em questão, daí as recomendações surgirem em todos os meios de comunicação social para que ninguém seja apanhado desprevenido. Mesmo assim, há sempre casos a relatar devido à falta de controlo dos índices aquosos. Não é por acaso que este solvente, imprescindível ao bom funcionamento de qualquer organismo vivo, é o constituinte do nosso organismo em maior percentagem.

À medida que a idade do ser humano vai avançando a percentagem de água no seu corpo vai diminuindo, seguindo quase um processo de desidratação. A partir dos 60 anos de idade, a percentagem de água no seu corpo é praticamente responsável por metade do seu peso. No caso das crianças, nos seus primeiros anos de vida, a percentagem de água no seu corpo é muito elevada, chegando a valores próximos de 80%.

Pelo que digo, nem parece que hoje o assunto seja matemática. No entanto, para que seja possível a compreensão do texto é necessário ter presente um conceito matemático – a percentagem. Nos dias de hoje, a solicitação a esta noção é tão grande que todo o público, mesmo não tendo uma apropriação plena deste conceito, de uma ou outra forma, certamente já incluiu este termo no seu discurso. Quanto mais não seja para saber o valor do seu vencimento após o anúncio de um possível aumento.

É no sentido de poder aferir se o leitor tem um bom domínio deste conceito que proponho o desafio de hoje. Trata-se de uma adaptação de um problema proposto pelo prof. Nuno Crato de um recente livro seu intitulado “A Matemática das Coisas”, onde alvitra de forma muito curiosa, como uma melancia pode reduzir substancialmente o seu peso condicionado por uma suposta perda mínima de água.

Analise-se, então, o que poderia suceder com uma criança de 3 anos, onde supostamente a percentagem de água no seu corpo é de 80%. Fica claro que admitimos, neste caso, que a massa sólida do seu corpo corresponde a 20%.

Vamos imaginar que os pais da Maria, em férias na praia, estão tão empenhados no “trabalho do bronze” que se descuidam e deixam que a percentagem de água no corpo da sua filha passe a ser idêntica à do seu avô. Esta desidratação, na criança, fez com que a percentagem de água no seu corpo passasse a ser na ordem dos 60%. Será que se pode considerar um descuido grave por parte dos pais? Imaginando que a Maria pesava 14kg e que sua perda de peso se deve exclusivamente à perda de água, quanto pesa agora a criança?

Antes de fazer os seus cálculos, sugiro que faça em primeiro lugar uma estimativa de quanto passaria a ser o peso da Maria. Só depois deve confirmar a sua estimativa. Mas se o resultado indicar que a criança passa a ter um peso superior a 11kg é porque cometeu um erro de cálculo ou de interpretação. Se for o caso, tente de novo. Não desista até encontrar o resultado certo. Um valor plausível para a solução do problema é garantidamente inferior a 8Kg.

Génio matemático no cálculo mental

A competência matemática inclui também a capacidade de fazer boas estimativas o que, na maior parte das vezes, é necessário um bom cálculo mental. Mas para o desenvolvimento desta capacidade é fundamental ganhar o hábito de calcular mentalmente, embora seja difícil resistir aos recursos tecnológicos, cada vez mais acessíveis, e que nos facilitam estas tarefas mentais.

Não obstante, nem todos têm o mesmo entendimento sobre este conceito. Aplicar um algoritmo mentalmente poderá ser considerado cálculo mental? Isto é, trabalhar com algarismos é o mesmo que trabalhar com números? O desenvolvimento do cálculo mental necessita do conhecimento das propriedades das operações coadjuvado com muitas experiências matemáticas na procura de relações numéricas. No entanto, o desenvolvimento de estratégias facilitadoras do cálculo mental poderão dar origem a novas sistematizações e por conseguinte, o estabelecimento de algoritmos específicos que poderão estar ao serviço do cálculo sem que, no entanto, seja mental.

O vídeo do génio matemático dá-nos conta disso. Na primeira parte do vídeo é explicada uma estratégia muito interessante que pode facilitar a aprendizagem da tabuada de multiplicar de uma forma diferente. Todavia, é necessário saber a tabuada até ao "cinco." Esta curiosidade matemática também pode ser consultada num artigo aqui publicado ou, através do ppsx também aqui disponibilizado.

Na segunda parte do vídeo, o jovem matemático consegue impressionar a plateia ao fazer a divisão de um número por cinco a partir de um algoritmo que todos deveriam interpretar: multiplicar por 2 e dividir por 10 é o mesmo que dividir por 5. Trata-se de uma estratégia muito útil, na medida em que é mais fácil encontrar, mentalmente, duas décimas de um número do que a sua quinta parte.

Já na terceira parte do vídeo, a apresentadora deixa revelar a sua cumplicidade com o jovem, uma vez que propõe os números que podem fazer brilhar o desempenho do petiz. Esta terceira situação já não resulta com todos os números.

O produto da percentagem por um número que termina em dois zeros faz com que o problema se resuma ao produto entre dois números com dois algarismos. Importa agora saber que propriedades têm estes números ou que relação existe entre eles para que a estratégia adoptada no seu produto resulte em pleno.

Repare-se que a estratégia utilizada para a multiplicação destes dois números é a mesma que pode ser aplicada quando se pretende determinar o quadrado de um número de dois dígitos cujo algarismo das unidades é cinco.

Por exemplo, 75x75; multiplica-se o “sete” pelo seu consecutivo (7x8=56) e junta-se 25. Temos assim, 75 x 75 = 5625. Repare-se que 25 é o quadrado do número das unidades.

Então, fica o desafio que consiste em descobrir a característica comum aos produtos 23x27, 44x46, 65x65 de modo a se poder aplicar a seguinte regra para o seu cálculo:

(a) determinar o produto do algarismo da dezena pelo seu consecutivo e juntar à direita, o produto das unidades.

23 x 27 = 621

44 x 46 = 2024

65 x 65 = 4225