Mais um metro de perímetro

Que significado poderá ter o ente matemático 2πr? É normal que qualquer aluno, a partir do 2º Ciclo do Ensino Básico, diga que se trata do perímetro de um círculo cujo raio é r. Será que nos podemos dar por satisfeitos quando o aluno aplica a fórmula para calcular o comprimento de uma circunferência?

Tenho vários exemplos de alunos que aplicam bem a fórmula para o cálculo do perímetro quando lhes é dado o raio ou até o diâmetro. No entanto, porque razão grande parte destes alunos ficam sem resposta e outros arriscam com grande erro, quando lhes é pedido para fazerem uma estimativa sobre o número de diâmetros que cabem no perímetro de um dado círculo?

Na verdade, nem todos os alunos atribuem o mesmo significado a “pi”, embora saibam que é um valor aproximado de 3. Importa, pois, que o professor interrogue: três, quê?

Será que aqueles que são mais desenvoltos no domínio desta noção, de relacionar o perímetro de um círculo com o seu diâmetro, estão à altura de interpretar, em toda a sua plenitude, estas relações?

Eu estava convencido que não necessitava de reflectir mais sobre esta relação, até ao dia em que, já no ensino superior, o meu ilustre professor, Domingos Rijo, colocou à turma o seguinte desafio:

Imaginem uma esfera do tamanho do nosso planeta e que passamos uma corda em toda a sua volta de modo a obtermos o perímetro do seu maior círculo. A essa corda acrescentamos um metro de corda. Seguramente, vamos obter uma folga como ilustra a figura. Será que essa folga é suficiente de modo a passar por ela um gato?

Foi unânime a intuição matemática da turma em admitir que seria insignificante o aumento de um metro em todo aquele comprimento de milhares de quilómetros de corda. Portanto, a folga criada seria insuficiente para que passasse um gato.

A mesma experiência foi proposta numa bola de futebol. Da mesma forma, acrescenta-se um metro à corda que corresponde ao perímetro do círculo máximo da bola. Nesta segunda experiência, ninguém hesitou em reconhecer que a folga criada com o aumento da corda já seria mais que suficiente para passar um gato.

Mas, de acordo com o conhecimento da relação entre o diâmetro do círculo e o seu perímetro, podemos afirmar que está na razão aproximada de 1 para 3. Quer isto dizer que para um diâmetro com uma unidade de comprimento, obtemos um perímetro aproximado de 3 unidades de comprimento. Assim, na razão inversa, um perímetro de um círculo com uma unidade de comprimento, corresponde a um diâmetro aproximado de uma terça parte. Então, nas experiências anteriores, como o aumento do perímetro era o mesmo, implica um aumento no diâmetro no mesmo valor, isto é, aproximadamente uma terça parte de um metro.

Imaginando que a experiência era feita com uma bola de golf e admitindo que uma folga de 10 cm é o suficiente para um gato passar, de quanto se teria de aumentar a corda para que o gato pudesse passar entre a bola e a corda? E em relação ao mundo, quanto teria de ser esse aumento?

A Escada dos Bombeiros (resp.)

Em relação ao artigo publicado neste blogue com o título A escada dos bombeiros a 17 de Julho de 2008, proponho a seguinte resposta:

A forma como o problema é colocado talvez alvitre uma resposta que nos pareça evidente e, por conseguinte, imediata. Neste caso, a maioria das pessoas, pensa adicionar 12 com metade do seu valor, obtendo assim: 12+6=18.

Assim sendo, o comprimento da escada seria de 18 metros, o que leva a concluir que metade desse comprimento seja 9 metros. No entanto, ao fazer a verificação do resultado obtido, de acordo com o enunciado, a escada tem 12 metros mais metade do seu comprimento total, ou seja, 12 + 9 = 21. O resultado surpreende na medida em que não se confirma o comprimento de 18 metros.

Esta é uma situação que exige, do ponto de vista matemático, o simples conceito de metade. É certo que a unidade, neste caso, a escada dos bombeiros tem duas metades (necessariamente iguais).

Se a escada tem 12 metros, mais metade, quer dizer que a outra metade são os 12 metros. Tratando-se de juntar duas metades só poderemos adicionar 12 com 12.

Deste modo, sabe-se que a escada não tem 18 nem 21, mas sim 24 metros.

Uma questão de percentagem…

Com a aproximação da época balnear, aumenta a preocupação dos agentes responsáveis pela saúde pública face ao apetite pelo “trabalho” excessivo, onde a maioria das pessoas se empenha na maior produção do seu “bronze”. Isto talvez se deva ao facto de este “trabalho” ser o único que contraria as leis da Física, uma vez que pode ser realizado sem qualquer movimento.

A desidratação é um dos problemas em questão, daí as recomendações surgirem em todos os meios de comunicação social para que ninguém seja apanhado desprevenido. Mesmo assim, há sempre casos a relatar devido à falta de controlo dos índices aquosos. Não é por acaso que este solvente, imprescindível ao bom funcionamento de qualquer organismo vivo, é o constituinte do nosso organismo em maior percentagem.

À medida que a idade do ser humano vai avançando a percentagem de água no seu corpo vai diminuindo, seguindo quase um processo de desidratação. A partir dos 60 anos de idade, a percentagem de água no seu corpo é praticamente responsável por metade do seu peso. No caso das crianças, nos seus primeiros anos de vida, a percentagem de água no seu corpo é muito elevada, chegando a valores próximos de 80%.

Pelo que digo, nem parece que hoje o assunto seja matemática. No entanto, para que seja possível a compreensão do texto é necessário ter presente um conceito matemático – a percentagem. Nos dias de hoje, a solicitação a esta noção é tão grande que todo o público, mesmo não tendo uma apropriação plena deste conceito, de uma ou outra forma, certamente já incluiu este termo no seu discurso. Quanto mais não seja para saber o valor do seu vencimento após o anúncio de um possível aumento.

É no sentido de poder aferir se o leitor tem um bom domínio deste conceito que proponho o desafio de hoje. Trata-se de uma adaptação de um problema proposto pelo prof. Nuno Crato de um recente livro seu intitulado “A Matemática das Coisas”, onde alvitra de forma muito curiosa, como uma melancia pode reduzir substancialmente o seu peso condicionado por uma suposta perda mínima de água.

Analise-se, então, o que poderia suceder com uma criança de 3 anos, onde supostamente a percentagem de água no seu corpo é de 80%. Fica claro que admitimos, neste caso, que a massa sólida do seu corpo corresponde a 20%.

Vamos imaginar que os pais da Maria, em férias na praia, estão tão empenhados no “trabalho do bronze” que se descuidam e deixam que a percentagem de água no corpo da sua filha passe a ser idêntica à do seu avô. Esta desidratação, na criança, fez com que a percentagem de água no seu corpo passasse a ser na ordem dos 60%. Será que se pode considerar um descuido grave por parte dos pais? Imaginando que a Maria pesava 14kg e que sua perda de peso se deve exclusivamente à perda de água, quanto pesa agora a criança?

Antes de fazer os seus cálculos, sugiro que faça em primeiro lugar uma estimativa de quanto passaria a ser o peso da Maria. Só depois deve confirmar a sua estimativa. Mas se o resultado indicar que a criança passa a ter um peso superior a 11kg é porque cometeu um erro de cálculo ou de interpretação. Se for o caso, tente de novo. Não desista até encontrar o resultado certo. Um valor plausível para a solução do problema é garantidamente inferior a 8Kg.

Génio matemático no cálculo mental

A competência matemática inclui também a capacidade de fazer boas estimativas o que, na maior parte das vezes, é necessário um bom cálculo mental. Mas para o desenvolvimento desta capacidade é fundamental ganhar o hábito de calcular mentalmente, embora seja difícil resistir aos recursos tecnológicos, cada vez mais acessíveis, e que nos facilitam estas tarefas mentais.

Não obstante, nem todos têm o mesmo entendimento sobre este conceito. Aplicar um algoritmo mentalmente poderá ser considerado cálculo mental? Isto é, trabalhar com algarismos é o mesmo que trabalhar com números? O desenvolvimento do cálculo mental necessita do conhecimento das propriedades das operações coadjuvado com muitas experiências matemáticas na procura de relações numéricas. No entanto, o desenvolvimento de estratégias facilitadoras do cálculo mental poderão dar origem a novas sistematizações e por conseguinte, o estabelecimento de algoritmos específicos que poderão estar ao serviço do cálculo sem que, no entanto, seja mental.

O vídeo do génio matemático dá-nos conta disso. Na primeira parte do vídeo é explicada uma estratégia muito interessante que pode facilitar a aprendizagem da tabuada de multiplicar de uma forma diferente. Todavia, é necessário saber a tabuada até ao "cinco." Esta curiosidade matemática também pode ser consultada num artigo aqui publicado ou, através do ppsx também aqui disponibilizado.

Na segunda parte do vídeo, o jovem matemático consegue impressionar a plateia ao fazer a divisão de um número por cinco a partir de um algoritmo que todos deveriam interpretar: multiplicar por 2 e dividir por 10 é o mesmo que dividir por 5. Trata-se de uma estratégia muito útil, na medida em que é mais fácil encontrar, mentalmente, duas décimas de um número do que a sua quinta parte.

Já na terceira parte do vídeo, a apresentadora deixa revelar a sua cumplicidade com o jovem, uma vez que propõe os números que podem fazer brilhar o desempenho do petiz. Esta terceira situação já não resulta com todos os números.

O produto da percentagem por um número que termina em dois zeros faz com que o problema se resuma ao produto entre dois números com dois algarismos. Importa agora saber que propriedades têm estes números ou que relação existe entre eles para que a estratégia adoptada no seu produto resulte em pleno.

Repare-se que a estratégia utilizada para a multiplicação destes dois números é a mesma que pode ser aplicada quando se pretende determinar o quadrado de um número de dois dígitos cujo algarismo das unidades é cinco.

Por exemplo, 75x75; multiplica-se o “sete” pelo seu consecutivo (7x8=56) e junta-se 25. Temos assim, 75 x 75 = 5625. Repare-se que 25 é o quadrado do número das unidades.

Então, fica o desafio que consiste em descobrir a característica comum aos produtos 23x27, 44x46, 65x65 de modo a se poder aplicar a seguinte regra para o seu cálculo:

(a) determinar o produto do algarismo da dezena pelo seu consecutivo e juntar à direita, o produto das unidades.

23 x 27 = 621

44 x 46 = 2024

65 x 65 = 4225

Resposta: Rodas dentadas

Em relação ao artigo publicado neste blog com o título Rodas dentadas a 16 de Julho de 2008, proponho a seguinte resposta:

Trata-se de uma experiência muito interessante que pode ser facilmente concretizada com duas moedas.

Ao fazer percorrer em toda a volta de uma moeda uma outra de igual perímetro verifica-se que ao fim de dar uma volta completa, esta segunda moeda, dá duas voltas em torno de si própria. É compreensível, na medida em que o comprimento do seu perímetro corresponde a uma volta, e o comprimento do perímetro da outra moeda corresponde a outra volta.

Yakov Perelman explica que, quando um objecto roda descrevendo uma circunferência, ele dá sempre mais uma volta que aquelas que poderemos contar directamente. É por isso que se estivéssemos fora do nosso sistema solar a contar o número de voltas que o globo terrestre dá em torno de si próprio, ao longo de um ano, iríamos contar 366 voltas e ¼ ao contrário das 365 voltas e ¼ que seriam esperadas.

É interessante reflectir então sobre o movimento da Lua em torno da terra. É sabido que a lua mostra sempre a mesma face à terra. Este fenómeno deve-se ao facto de ter movimento de rotação ou, pelo contrário, de não rodar em torno de si própria?

Para ajudar a reflexão deixo aqui um caminho para um artigo de Luiz Vaz do Carmo.

Se não é par, é impar

A descoberta de relações numéricas pode ser vista como uma metodologia que, para além do desenvolvimento da capacidade de abstracção também favorece o raciocínio algébrico. É neste sentido que, numa visão matemática de natureza recreativa, proponho o desafio que poderá ser, também, uma ideia a aproveitar para ser levada à sala de aula na exploração de relações entre números pares e ímpares.

Considere-se então, os seguintes quadrados de papel com números inscritos em duas cores diferentes:

São necessárias duas caixas com as mesmas duas cores. O recurso ao origami poderá ser uma ajuda preciosa para a sua construção.

É pedido a uma pessoa que escolha dois papéis de cores diferentes e que os coloque, sem que ninguém veja, nas caixas. O objectivo é descobrir se os papéis colocados nas caixas respeitam, ou não, a correspondência das cores. Para isso é necessário recolher alguma informação matemática:

É necessário saber a soma do dobro do número que foi colocado na caixa branca com o triplo do número que foi colocado na caixa negra. Se a informação for verdadeira é o suficiente para saber se os papéis colocados nas caixas estão, ou não, com as cores trocadas.

Por exemplo, imagine-se que o valor da expressão é 46. Fico a saber que os papéis foram colocados com as cores trocadas nas caixas. Porquê?

Neste caso, o 5 (papel negro), foi colocado na caixa branca, o seu dobro é 10. O papel branco com o número 12 foi colado na caixa negra, cujo triplo é 36. A soma destes números é 46 (10+36).

De que forma poderá ser explicado este procedimento para ter a certeza que os papéis colocados nas caixas estão ou não de acordo com as suas cores?

Da capicua ao nove

O que é que “luz azul” tem de comum com “o bolo do lobo” ou com “o galo no lago” ou com “o namoro do romano”? Repare-se que “somávamos” goza da mesma característica.

Quando um conjunto de letras, números ou quaisquer outros símbolos colocados por uma ordem determinada podem ser lidos num ou noutro sentido, diz-se que estamos perante um palíndromo.

Quando esta curiosidade ocorre com os números, também damos o nome de capicua. Eu estive 27 anos à espera para comemorar um ano capicua. Entretanto, já comemorei outro. Mas o meu sobrinho Diogo vai fazer cinco anos e, muito provavelmente, não vai conseguir comemorar algum ano capicua. Porque será?

Já dei dados suficientes para se saber a minha idade. No entanto, o que eu pretendo é dar um pouco de atenção aos anos capicuas com 4 algarismos. O último é o ano formado apenas por noves: 9999. Qualquer ano capicua, se for separado ao meio, dá origem a dois números, em que um é o outro invertido. Considerando, por exemplo, o ano 3443, invertendo o 34 obtém-se o 43. A diferença entre estes dois números é 9.

Considerando, por exemplo, o ano 4774 e aplicando o mesmo procedimento obtém-se o número 27 (74-47=27). Mas também o 27 tem algo que se relaciona com o 9 (2+7=9). Repare-se ainda que a diferença entre 7 e 4 é 3 que, aparentemente, nada tem a ver com o 9, não fosse o 27 dividido por 3 dar 9. Não estarei eu a ser perseguido pelo 9? Será que isto é sempre assim?

Não falta a vontade para experimentar com outra capicua, por exemplo, 8338. Separado ao meio e fazendo a diferença: 83-38=45. Da mesma forma, 4+5=9. O mais interessante é que a diferença entre 8 e 3 é 5, e se aproveitarmos o 5 para dividir o 45 obtemos novamente 9.

Não tenho dúvidas em eleger o número nove como sendo o número de minha preferência! Caso o leitor não esteja convencido experimente fazer a seguinte experiência:

1. Escreva o número que representa a data do seu nascimento (ddmmaaaa).
2. Escreva novamente a data, mas noutro formato (aaaammdd).
3. Encontre a diferença entre esses dois números. Um exemplo poderia ser 19711205-05121971=14589234.
4. Adicione os algarismos do número obtido (ex.: 1+4+5+8+9+2+3+4)
5. Proceda da mesma forma em relação ao novo número obtido, as vezes necessárias até obter apenas um algarismo e delicie-se com o resultado.

Sem dúvida que este número tem características fantásticas. Esta paixão pelo número 9 deve-se ao facto de ter um papel muito especial no sistema de numeração decimal. Imagine que o nosso sistema de numeração não se organizava em grupos de dez, mas sim em grupos de cinco. Neste caso, qual seria o número que nos poderia surpreender com estas potencialidades?

Divisão chinesa (?) com números decimais

Ultimamente tenho utilizado e praticado várias divisões com o algoritmo apresentado no artigo anterior. Continuo a achar que se trata de um algoritmo que traz mais vantagens na compreensão da divisão. É por esta razão que insisto novamente nesta técnica para dar resposta ao meu próprio repto - como utilizar esta técnica quando estão envolvidos números decimais.

Imagine-se então querer dividir dois números inteiros cujo quociente é um número decimal. Esta possibilidade nunca fica comprometida desde que o dividendo seja inferior ao divisor, por exemplo, a divisão entre 2 e 80.

(a)

Neste caso, para se poder continuar com a divisão é necessário aumentar um número suficiente de casas decimais ao dividendo até que se possa conseguir a divisão exacta. Assim, as duas unidades podem ser vistas como sendo 20 décimas, 200 centésimas ou 2000 milésimas… Neste exemplo, há a necessidade de considerar, pelo menos, 200 centésimas porque se trata do menor número onde posso formar, no mínimo, um grupo de 80.

Deste modo, há a necessidade de identificar a parte inteira e a decimal do quociente. Sugere-se então, o recurso a um traço vertical.

(b)

Agora procede-se normalmente ignorando a vírgula. Em 200 há duas vezes 80. Então, temos:

(c)

Havendo a necessidade de ainda dividir 40 centésimas, procura-se saber em 400 milésimas quantos grupos de 80 fazemos. Completa-se assim o algoritmo:

(d)

Portanto, 2:80=0,025

Outra situação que vale a pena referir, é quando surge uma divisão em que o dividendo tem menos casas decimais que o divisor, por exemplo, 452,5:1,25

(i)

Também aqui, a divisão deverá ser interpretada como sendo uma divisão por medição (subtracções sucessivas) onde se pretende saber, neste caso, em 45250 centésimas quantas 125 centésimas lá cabem. Posto isto, é nesta altura que se vai identificar, no quociente, a ordem das unidades. Esta ordem - as unidades, corresponde às centésimas do dividendo uma vez que se trata de dividir centésimas por centésimas.

(ii)

Agora, procede-se normalmente como se de uma divisão inteira se tratasse:

(iii)

Pode-se então escrever que 452,5:1,25=362

Se, eventualmente, a divisão não compreendesse um número inteiro de centésimas, o algoritmo continuaria a ser executado normalmente estando já identificado a parte decimal do quociente.

Por exemplo, o quociente entre 40,5 e 1,25 é um número inteiro de décimas. Fica o desafio para que o leitor, com este algoritmo, encontre esse valor.

Divisão chinesa?

A pluralidade cultural é, sem dúvida, um dos aspectos mais positivos em resultado da migração humana. Há dias, quando visitava a Escola do 1º ciclo de Mação, a professora que dá apoio a uma criança chinesa procurou o meu parecer acerca da interpretação de um algoritmo feito por esta aluna. Tratava-se do algoritmo da divisão.

Será o algoritmo da divisão chinesa? O conhecimento que a criança tinha da língua portuguesa, já que eu não enxergo nada em chinês, não permitiu a comunicação de modo a chegar a essa conclusão. No entanto, sendo a matemática uma linguagem universal, fica-nos o registo desta criança que tentarei relatar.

Trata-se de uma técnica muito parecida com o nosso algoritmo tradicional da divisão, mas que, no meu entender, as suas diferenças potenciam uma melhor compreensão do processo de dividir.

Por exemplo, no caso de querer dividir 2586 por 8, o seu aspecto poderá ser o seguinte:

Ou ainda, no caso da aluna que tinha ainda a necessidade de registar as subtracções ao dividendo dos múltiplos de 8 que ia efectuando:

Pelo algoritmo, damos conta que o quociente é 323 e ainda restam 2, que ficam por dividir por 8 (divisor). Assim, simbolicamente poder-se-á escrever:

Na verdade, o procedimento é muito idêntico ao algoritmo indo-árabe a que estamos habituados. Apenas a disposição do divisor e do quociente mudam. Mas a opção de colocar o quociente por cima do dividendo permite interpretar, em qualquer momento do processo algorítmico, o valor de cada algarismo do quociente, uma vez que respeita sempre o seu valor de posição, tendo como referência o dividendo. Por outro lado, reduz a possibilidade de engano enquanto se fazem cálculos intermédios.

Trata-se de uma vantagem para aqueles mais desenvoltos no cálculo mental, permitindo adaptar o algoritmo às suas capacidades de forma a torná-lo mais rápido ou, eventualmente mais lento, se não tiver tão presente o domínio da tabuada.

Vejamos o seguinte exemplo da divisão de 7132 por 15:

(a)

Para quem se sujeita, com frequência, a experiências de cálculo mental, não é difícil reconhecer imediatamente que 15x4=60 e por conseguinte, se a multiplicação fosse feita por 40, então obter-se-ia 600 em vez de 60. Neste caso, e porque se conseguiu aproximar de 713 dezenas, então dever-se-á ter o cuidado de colocar o número 40 na posição correspondente às dezenas. Basta respeitar o valor de posição, o zero do 40, por cima do algarismo três do 713.

(b)

Subtraindo as 600 dezenas, verifica-se que restam 113 que, afinal, ainda poderão ser divididos por 15. Se eventualmente insistir na ideia que o quádruplo de 15 é 60, então posso continuar com o algoritmo:

(c)

Verifica-se que ainda restam 53 dezenas. Teria agora a opção de proceder de forma idêntica. Ainda é possível formar nesta quantidade 3 grupos de 15. Mas, se juntar as duas unidades que faltam, e se o meu cálculo mental permitir reconhecer que 15x30=450, então poderei avançar desta forma:

(d)

Restam 82 unidades, portanto, ainda se pode formar 5 grupos de 15 (15x5=75). Assim, temos:

(e)

Finalmente, chega-se à conclusão que fazendo a divisão inteira de 7132 por 15 é possível formar 40 dezenas, mais 4 dezenas, mais 30 unidades e ainda mais 5 unidades de grupos de 15, e ainda restam 7 unidades.

Assim, sugere-se a finalização do algoritmo determinando a soma das partes do divisor:

(f)

Outra vantagem que vejo neste algoritmo, é no caso de se pretender determinar a divisão exacta, bastar acrescentar a vírgula ao dividendo e, para a direita dela, o número de ordens que se desejam envolver no cálculo. O mesmo já não acontece com o “nosso” algoritmo, dado que o registo do divisor limita esse procedimento o que poderá, nalguns casos, ter de se reiniciar a divisão com o cuidado de criar espaço para esse fim.

Havendo agora a necessidade de assimilar um pouco esta técnica para dividir, fica também lançado o repto aos leitores para a apresentação de sugestões de como dividir, com este algoritmo, números decimais.