Uma questão de percentagem…

Com a aproximação da época balnear, aumenta a preocupação dos agentes responsáveis pela saúde pública face ao apetite pelo “trabalho” excessivo, onde a maioria das pessoas se empenha na maior produção do seu “bronze”. Isto talvez se deva ao facto de este “trabalho” ser o único que contraria as leis da Física, uma vez que pode ser realizado sem qualquer movimento.

A desidratação é um dos problemas em questão, daí as recomendações surgirem em todos os meios de comunicação social para que ninguém seja apanhado desprevenido. Mesmo assim, há sempre casos a relatar devido à falta de controlo dos índices aquosos. Não é por acaso que este solvente, imprescindível ao bom funcionamento de qualquer organismo vivo, é o constituinte do nosso organismo em maior percentagem.

À medida que a idade do ser humano vai avançando a percentagem de água no seu corpo vai diminuindo, seguindo quase um processo de desidratação. A partir dos 60 anos de idade, a percentagem de água no seu corpo é praticamente responsável por metade do seu peso. No caso das crianças, nos seus primeiros anos de vida, a percentagem de água no seu corpo é muito elevada, chegando a valores próximos de 80%.

Pelo que digo, nem parece que hoje o assunto seja matemática. No entanto, para que seja possível a compreensão do texto é necessário ter presente um conceito matemático – a percentagem. Nos dias de hoje, a solicitação a esta noção é tão grande que todo o público, mesmo não tendo uma apropriação plena deste conceito, de uma ou outra forma, certamente já incluiu este termo no seu discurso. Quanto mais não seja para saber o valor do seu vencimento após o anúncio de um possível aumento.

É no sentido de poder aferir se o leitor tem um bom domínio deste conceito que proponho o desafio de hoje. Trata-se de uma adaptação de um problema proposto pelo prof. Nuno Crato de um recente livro seu intitulado “A Matemática das Coisas”, onde alvitra de forma muito curiosa, como uma melancia pode reduzir substancialmente o seu peso condicionado por uma suposta perda mínima de água.

Analise-se, então, o que poderia suceder com uma criança de 3 anos, onde supostamente a percentagem de água no seu corpo é de 80%. Fica claro que admitimos, neste caso, que a massa sólida do seu corpo corresponde a 20%.

Vamos imaginar que os pais da Maria, em férias na praia, estão tão empenhados no “trabalho do bronze” que se descuidam e deixam que a percentagem de água no corpo da sua filha passe a ser idêntica à do seu avô. Esta desidratação, na criança, fez com que a percentagem de água no seu corpo passasse a ser na ordem dos 60%. Será que se pode considerar um descuido grave por parte dos pais? Imaginando que a Maria pesava 14kg e que sua perda de peso se deve exclusivamente à perda de água, quanto pesa agora a criança?

Antes de fazer os seus cálculos, sugiro que faça em primeiro lugar uma estimativa de quanto passaria a ser o peso da Maria. Só depois deve confirmar a sua estimativa. Mas se o resultado indicar que a criança passa a ter um peso superior a 11kg é porque cometeu um erro de cálculo ou de interpretação. Se for o caso, tente de novo. Não desista até encontrar o resultado certo. Um valor plausível para a solução do problema é garantidamente inferior a 8Kg.

Génio matemático no cálculo mental

A competência matemática inclui também a capacidade de fazer boas estimativas o que, na maior parte das vezes, é necessário um bom cálculo mental. Mas para o desenvolvimento desta capacidade é fundamental ganhar o hábito de calcular mentalmente, embora seja difícil resistir aos recursos tecnológicos, cada vez mais acessíveis, e que nos facilitam estas tarefas mentais.

Não obstante, nem todos têm o mesmo entendimento sobre este conceito. Aplicar um algoritmo mentalmente poderá ser considerado cálculo mental? Isto é, trabalhar com algarismos é o mesmo que trabalhar com números? O desenvolvimento do cálculo mental necessita do conhecimento das propriedades das operações coadjuvado com muitas experiências matemáticas na procura de relações numéricas. No entanto, o desenvolvimento de estratégias facilitadoras do cálculo mental poderão dar origem a novas sistematizações e por conseguinte, o estabelecimento de algoritmos específicos que poderão estar ao serviço do cálculo sem que, no entanto, seja mental.

O vídeo do génio matemático dá-nos conta disso. Na primeira parte do vídeo é explicada uma estratégia muito interessante que pode facilitar a aprendizagem da tabuada de multiplicar de uma forma diferente. Todavia, é necessário saber a tabuada até ao "cinco." Esta curiosidade matemática também pode ser consultada num artigo aqui publicado ou, através do ppsx também aqui disponibilizado.

Na segunda parte do vídeo, o jovem matemático consegue impressionar a plateia ao fazer a divisão de um número por cinco a partir de um algoritmo que todos deveriam interpretar: multiplicar por 2 e dividir por 10 é o mesmo que dividir por 5. Trata-se de uma estratégia muito útil, na medida em que é mais fácil encontrar, mentalmente, duas décimas de um número do que a sua quinta parte.

Já na terceira parte do vídeo, a apresentadora deixa revelar a sua cumplicidade com o jovem, uma vez que propõe os números que podem fazer brilhar o desempenho do petiz. Esta terceira situação já não resulta com todos os números.

O produto da percentagem por um número que termina em dois zeros faz com que o problema se resuma ao produto entre dois números com dois algarismos. Importa agora saber que propriedades têm estes números ou que relação existe entre eles para que a estratégia adoptada no seu produto resulte em pleno.

Repare-se que a estratégia utilizada para a multiplicação destes dois números é a mesma que pode ser aplicada quando se pretende determinar o quadrado de um número de dois dígitos cujo algarismo das unidades é cinco.

Por exemplo, 75x75; multiplica-se o “sete” pelo seu consecutivo (7x8=56) e junta-se 25. Temos assim, 75 x 75 = 5625. Repare-se que 25 é o quadrado do número das unidades.

Então, fica o desafio que consiste em descobrir a característica comum aos produtos 23x27, 44x46, 65x65 de modo a se poder aplicar a seguinte regra para o seu cálculo:

(a) determinar o produto do algarismo da dezena pelo seu consecutivo e juntar à direita, o produto das unidades.

23 x 27 = 621

44 x 46 = 2024

65 x 65 = 4225

Resposta: Rodas dentadas

Em relação ao artigo publicado neste blog com o título Rodas dentadas a 16 de Julho de 2008, proponho a seguinte resposta:

Trata-se de uma experiência muito interessante que pode ser facilmente concretizada com duas moedas.

Ao fazer percorrer em toda a volta de uma moeda uma outra de igual perímetro verifica-se que ao fim de dar uma volta completa, esta segunda moeda, dá duas voltas em torno de si própria. É compreensível, na medida em que o comprimento do seu perímetro corresponde a uma volta, e o comprimento do perímetro da outra moeda corresponde a outra volta.

Yakov Perelman explica que, quando um objecto roda descrevendo uma circunferência, ele dá sempre mais uma volta que aquelas que poderemos contar directamente. É por isso que se estivéssemos fora do nosso sistema solar a contar o número de voltas que o globo terrestre dá em torno de si próprio, ao longo de um ano, iríamos contar 366 voltas e ¼ ao contrário das 365 voltas e ¼ que seriam esperadas.

É interessante reflectir então sobre o movimento da Lua em torno da terra. É sabido que a lua mostra sempre a mesma face à terra. Este fenómeno deve-se ao facto de ter movimento de rotação ou, pelo contrário, de não rodar em torno de si própria?

Para ajudar a reflexão deixo aqui um caminho para um artigo de Luiz Vaz do Carmo.

Se não é par, é impar

A descoberta de relações numéricas pode ser vista como uma metodologia que, para além do desenvolvimento da capacidade de abstracção também favorece o raciocínio algébrico. É neste sentido que, numa visão matemática de natureza recreativa, proponho o desafio que poderá ser, também, uma ideia a aproveitar para ser levada à sala de aula na exploração de relações entre números pares e ímpares.

Considere-se então, os seguintes quadrados de papel com números inscritos em duas cores diferentes:

São necessárias duas caixas com as mesmas duas cores. O recurso ao origami poderá ser uma ajuda preciosa para a sua construção.

É pedido a uma pessoa que escolha dois papéis de cores diferentes e que os coloque, sem que ninguém veja, nas caixas. O objectivo é descobrir se os papéis colocados nas caixas respeitam, ou não, a correspondência das cores. Para isso é necessário recolher alguma informação matemática:

É necessário saber a soma do dobro do número que foi colocado na caixa branca com o triplo do número que foi colocado na caixa negra. Se a informação for verdadeira é o suficiente para saber se os papéis colocados nas caixas estão, ou não, com as cores trocadas.

Por exemplo, imagine-se que o valor da expressão é 46. Fico a saber que os papéis foram colocados com as cores trocadas nas caixas. Porquê?

Neste caso, o 5 (papel negro), foi colocado na caixa branca, o seu dobro é 10. O papel branco com o número 12 foi colado na caixa negra, cujo triplo é 36. A soma destes números é 46 (10+36).

De que forma poderá ser explicado este procedimento para ter a certeza que os papéis colocados nas caixas estão ou não de acordo com as suas cores?

Da capicua ao nove

O que é que “luz azul” tem de comum com “o bolo do lobo” ou com “o galo no lago” ou com “o namoro do romano”? Repare-se que “somávamos” goza da mesma característica.

Quando um conjunto de letras, números ou quaisquer outros símbolos colocados por uma ordem determinada podem ser lidos num ou noutro sentido, diz-se que estamos perante um palíndromo.

Quando esta curiosidade ocorre com os números, também damos o nome de capicua. Eu estive 27 anos à espera para comemorar um ano capicua. Entretanto, já comemorei outro. Mas o meu sobrinho Diogo vai fazer cinco anos e, muito provavelmente, não vai conseguir comemorar algum ano capicua. Porque será?

Já dei dados suficientes para se saber a minha idade. No entanto, o que eu pretendo é dar um pouco de atenção aos anos capicuas com 4 algarismos. O último é o ano formado apenas por noves: 9999. Qualquer ano capicua, se for separado ao meio, dá origem a dois números, em que um é o outro invertido. Considerando, por exemplo, o ano 3443, invertendo o 34 obtém-se o 43. A diferença entre estes dois números é 9.

Considerando, por exemplo, o ano 4774 e aplicando o mesmo procedimento obtém-se o número 27 (74-47=27). Mas também o 27 tem algo que se relaciona com o 9 (2+7=9). Repare-se ainda que a diferença entre 7 e 4 é 3 que, aparentemente, nada tem a ver com o 9, não fosse o 27 dividido por 3 dar 9. Não estarei eu a ser perseguido pelo 9? Será que isto é sempre assim?

Não falta a vontade para experimentar com outra capicua, por exemplo, 8338. Separado ao meio e fazendo a diferença: 83-38=45. Da mesma forma, 4+5=9. O mais interessante é que a diferença entre 8 e 3 é 5, e se aproveitarmos o 5 para dividir o 45 obtemos novamente 9.

Não tenho dúvidas em eleger o número nove como sendo o número de minha preferência! Caso o leitor não esteja convencido experimente fazer a seguinte experiência:

1. Escreva o número que representa a data do seu nascimento (ddmmaaaa).
2. Escreva novamente a data, mas noutro formato (aaaammdd).
3. Encontre a diferença entre esses dois números. Um exemplo poderia ser 19711205-05121971=14589234.
4. Adicione os algarismos do número obtido (ex.: 1+4+5+8+9+2+3+4)
5. Proceda da mesma forma em relação ao novo número obtido, as vezes necessárias até obter apenas um algarismo e delicie-se com o resultado.

Sem dúvida que este número tem características fantásticas. Esta paixão pelo número 9 deve-se ao facto de ter um papel muito especial no sistema de numeração decimal. Imagine que o nosso sistema de numeração não se organizava em grupos de dez, mas sim em grupos de cinco. Neste caso, qual seria o número que nos poderia surpreender com estas potencialidades?

Divisão chinesa (?) com números decimais

Ultimamente tenho utilizado e praticado várias divisões com o algoritmo apresentado no artigo anterior. Continuo a achar que se trata de um algoritmo que traz mais vantagens na compreensão da divisão. É por esta razão que insisto novamente nesta técnica para dar resposta ao meu próprio repto - como utilizar esta técnica quando estão envolvidos números decimais.

Imagine-se então querer dividir dois números inteiros cujo quociente é um número decimal. Esta possibilidade nunca fica comprometida desde que o dividendo seja inferior ao divisor, por exemplo, a divisão entre 2 e 80.

(a)

Neste caso, para se poder continuar com a divisão é necessário aumentar um número suficiente de casas decimais ao dividendo até que se possa conseguir a divisão exacta. Assim, as duas unidades podem ser vistas como sendo 20 décimas, 200 centésimas ou 2000 milésimas… Neste exemplo, há a necessidade de considerar, pelo menos, 200 centésimas porque se trata do menor número onde posso formar, no mínimo, um grupo de 80.

Deste modo, há a necessidade de identificar a parte inteira e a decimal do quociente. Sugere-se então, o recurso a um traço vertical.

(b)

Agora procede-se normalmente ignorando a vírgula. Em 200 há duas vezes 80. Então, temos:

(c)

Havendo a necessidade de ainda dividir 40 centésimas, procura-se saber em 400 milésimas quantos grupos de 80 fazemos. Completa-se assim o algoritmo:

(d)

Portanto, 2:80=0,025

Outra situação que vale a pena referir, é quando surge uma divisão em que o dividendo tem menos casas decimais que o divisor, por exemplo, 452,5:1,25

(i)

Também aqui, a divisão deverá ser interpretada como sendo uma divisão por medição (subtracções sucessivas) onde se pretende saber, neste caso, em 45250 centésimas quantas 125 centésimas lá cabem. Posto isto, é nesta altura que se vai identificar, no quociente, a ordem das unidades. Esta ordem - as unidades, corresponde às centésimas do dividendo uma vez que se trata de dividir centésimas por centésimas.

(ii)

Agora, procede-se normalmente como se de uma divisão inteira se tratasse:

(iii)

Pode-se então escrever que 452,5:1,25=362

Se, eventualmente, a divisão não compreendesse um número inteiro de centésimas, o algoritmo continuaria a ser executado normalmente estando já identificado a parte decimal do quociente.

Por exemplo, o quociente entre 40,5 e 1,25 é um número inteiro de décimas. Fica o desafio para que o leitor, com este algoritmo, encontre esse valor.

Divisão chinesa?

A pluralidade cultural é, sem dúvida, um dos aspectos mais positivos em resultado da migração humana. Há dias, quando visitava a Escola do 1º ciclo de Mação, a professora que dá apoio a uma criança chinesa procurou o meu parecer acerca da interpretação de um algoritmo feito por esta aluna. Tratava-se do algoritmo da divisão.

Será o algoritmo da divisão chinesa? O conhecimento que a criança tinha da língua portuguesa, já que eu não enxergo nada em chinês, não permitiu a comunicação de modo a chegar a essa conclusão. No entanto, sendo a matemática uma linguagem universal, fica-nos o registo desta criança que tentarei relatar.

Trata-se de uma técnica muito parecida com o nosso algoritmo tradicional da divisão, mas que, no meu entender, as suas diferenças potenciam uma melhor compreensão do processo de dividir.

Por exemplo, no caso de querer dividir 2586 por 8, o seu aspecto poderá ser o seguinte:

Ou ainda, no caso da aluna que tinha ainda a necessidade de registar as subtracções ao dividendo dos múltiplos de 8 que ia efectuando:

Pelo algoritmo, damos conta que o quociente é 323 e ainda restam 2, que ficam por dividir por 8 (divisor). Assim, simbolicamente poder-se-á escrever:

Na verdade, o procedimento é muito idêntico ao algoritmo indo-árabe a que estamos habituados. Apenas a disposição do divisor e do quociente mudam. Mas a opção de colocar o quociente por cima do dividendo permite interpretar, em qualquer momento do processo algorítmico, o valor de cada algarismo do quociente, uma vez que respeita sempre o seu valor de posição, tendo como referência o dividendo. Por outro lado, reduz a possibilidade de engano enquanto se fazem cálculos intermédios.

Trata-se de uma vantagem para aqueles mais desenvoltos no cálculo mental, permitindo adaptar o algoritmo às suas capacidades de forma a torná-lo mais rápido ou, eventualmente mais lento, se não tiver tão presente o domínio da tabuada.

Vejamos o seguinte exemplo da divisão de 7132 por 15:

(a)

Para quem se sujeita, com frequência, a experiências de cálculo mental, não é difícil reconhecer imediatamente que 15x4=60 e por conseguinte, se a multiplicação fosse feita por 40, então obter-se-ia 600 em vez de 60. Neste caso, e porque se conseguiu aproximar de 713 dezenas, então dever-se-á ter o cuidado de colocar o número 40 na posição correspondente às dezenas. Basta respeitar o valor de posição, o zero do 40, por cima do algarismo três do 713.

(b)

Subtraindo as 600 dezenas, verifica-se que restam 113 que, afinal, ainda poderão ser divididos por 15. Se eventualmente insistir na ideia que o quádruplo de 15 é 60, então posso continuar com o algoritmo:

(c)

Verifica-se que ainda restam 53 dezenas. Teria agora a opção de proceder de forma idêntica. Ainda é possível formar nesta quantidade 3 grupos de 15. Mas, se juntar as duas unidades que faltam, e se o meu cálculo mental permitir reconhecer que 15x30=450, então poderei avançar desta forma:

(d)

Restam 82 unidades, portanto, ainda se pode formar 5 grupos de 15 (15x5=75). Assim, temos:

(e)

Finalmente, chega-se à conclusão que fazendo a divisão inteira de 7132 por 15 é possível formar 40 dezenas, mais 4 dezenas, mais 30 unidades e ainda mais 5 unidades de grupos de 15, e ainda restam 7 unidades.

Assim, sugere-se a finalização do algoritmo determinando a soma das partes do divisor:

(f)

Outra vantagem que vejo neste algoritmo, é no caso de se pretender determinar a divisão exacta, bastar acrescentar a vírgula ao dividendo e, para a direita dela, o número de ordens que se desejam envolver no cálculo. O mesmo já não acontece com o “nosso” algoritmo, dado que o registo do divisor limita esse procedimento o que poderá, nalguns casos, ter de se reiniciar a divisão com o cuidado de criar espaço para esse fim.

Havendo agora a necessidade de assimilar um pouco esta técnica para dividir, fica também lançado o repto aos leitores para a apresentação de sugestões de como dividir, com este algoritmo, números decimais.

Base dez

O nosso sistema de numeração é decimal porque a organização e a representação do número recorre a agrupamentos de 10. Para facilitar as contagens, o homem começou por fazer grupos de 10, quem sabe, talvez, por influência do número de dedos que tinha nas mãos. Quando temos 10 grupos de 10 forma-se novo conjunto. Da mesma forma, quando se obtém 10 destes novos conjuntos de 10 grupos, tendo cada grupo 10 elementos, obtém-se um grande conjunto de 10x10x10 elementos, e assim sucessivamente.

Este padrão repetido infinitamente pode ser adaptado a um padrão geométrico que tomando qualquer um daqueles conjuntos como unidade, pode ser dividido de tal forma que cada uma das partes é semelhante à unidade inicial. Esta noção representada geometricamente leva-nos a um novo conceito geométrico mais abstracto que, à escala da história da matemática, poder-se-ia considerar ainda em fase de gestação – os fractais.

Mas a ideia dos agrupamentos de dez quero aproveitá-la para noções matemáticas mais concretas. Para ser mais claro, sugeria o exemplo de uma fábrica que produz caramelos. Nessa fábrica decide-se fazer conjuntos de 10 caramelos, em tubos, para poderem ser vendidos ao público. Imaginando que o sr. Rodrigo tem consigo 34 caramelos, logo, deve ter 4 tubos, 3 cheios e ainda outro com 4 caramelos. Também é fácil de perceber que pretendendo comprar 80 caramelos, vai ter que levar 8 tubos para casa. Fácil, não é?

No entanto, no armazém que vende a retalho, os lojistas não podem comprar tubos, mas sim caixas de caramelos. Cada caixa traz 10 tubos de caramelos. Compreende-se assim, que o sr, António precise de ter na sua loja 5 caixas para poder alojar 46 tubos de caramelos, 4 caixas cheias e mais uma com 6 tubos. Portanto, com 5 caixas poderá ter no máximo 50 tubos de caramelos.

O mesmo sucede com o retalhista. A unidade mais pequena que a fábrica vende é a embalagem com 10 caixas de caramelos. Assim, por exemplo, se houver 85 caixas de caramelos em armazém, são necessárias 9 embalagens, 8 cheias, e ainda mais outra com 5 caixas. Essas 9 embalagens serviram de transporte a 90 caixas de caramelos.

O leitor, com toda a razão, já deve estar a interrogar-se o que se pretende com toda esta explicação tão trivial. Na verdade, a forma como se conhece a organização dos números de acordo com o nosso sistema de numeração parece ser muito evidente. No entanto, como se poderá justificar a inquietação gerada entre educadores com ideias diferentes em relação a este problema em concreto? Trata-se do mesmo problema que levou toda a comunidade a comemorar dois anos consecutivos a passagem de milénio, precisamente por não haver consenso numa questão que afinal é tão evidente.

A dúvida surge numa questão muito concreta, num manual escolar do 1º ciclo. Pretende-se saber a que década pertence o ano 1978.

Eu próprio fiz a pergunta a várias pessoas de diferentes estratos sociais. É surpreendente o facto de se obterem várias respostas: (a) não sei, (b) é um ano que pertence aos anos setenta, logo é a sétima década, (c) oitava década, (d) 197ª década, (e) 198ª década. Afinal, em que ficamos?

Antes de o leitor também formalizar a sua opinião, talvez seja conveniente reflectir um pouco na organização dos caramelos. Poder-se-á estabelecer a relação entre os anos e os caramelos. Então quantos tubos (décadas) serão necessários para alojar 1978 caramelos (anos)? É fácil, não é?

Actividade matemática com engrenagens

Para além do envolvimento do aluno em actividades significativas, o professor de matemática também tem como objectivo elevar o grau de abstracção dos seus alunos.

As engrenagens com rodas dentadas são o exemplo de situações pouco exploradas, mas que têm um grande potencial em relação a várias áreas no domínio cognitivo. Para além da abstracção, promove o sentido espacial, o raciocínio lógico e poderão ainda ser usadas na exploração e apropriação de conceitos matemáticos que fazem parte do programa nacional do ensino da matemática.

Refiro-me concretamente ao desenvolvimento do pensamento algébrico onde a noção de proporcionalidade e o estabelecimento de relações numéricas têm um papel relevante. A exploração deste tipo de tarefas propicia a formulação de generalizações tendo por base a sistematização e a organização do próprio pensamento.

Por exemplo, numa engrenagem constituída por rodas dentadas, algo se pode concluir em relação ao número de eixos envolvidos na engrenagem e o movimento relativo da última roda em relação à primeira.

Outro estudo, de maior interesse, é encontrar a relação entre o número de voltas da última roda dentada por cada volta da roda que desencadeia o movimento da engrenagem.

No caso específico, que se segue, é fácil reconhecer que para obtermos o número de voltas da roda B enquanto A dá uma volta, é necessário encontrar o quociente entre o número de dentes da roda A e o número de dentes da roda B (A:B). Conclui-se que a roda B dá meia volta enquanto a roda A dá uma volta completa.

Analisando uma engrenagem com 4 rodas dentadas, como no exemplo da figura seguinte, poder-se-á recorrer a uma tabela cujo preenchimento recorre à noção de proporcionalidade.

Fazendo a leitura da última linha da tabela fica-se a saber que o eixo D dá 1,6 voltas por cada volta completa de C. Pode-se ainda constatar, pela análise da figura, que se estabelecem 3 relações entre os quatro eixos: 1º-2º eixo, 2º-3º eixo e 3º-4º eixo. Assim, uma outra forma de sistematizar estas relações pode ser da seguinte forma:

Com um pouco de dedicação e capacidade de análise, o leitor com certeza que vai aceitar o seguinte desafio apenas com uma ligeira diferença em relação aos anteriores. Imagine, por exemplo, uma engrenagem composta por 5 eixos de rotação, havendo duas rodas dentadas sobre o mesmo eixo.

Qual o sentido de rotação do eixo F? Enquanto E dá uma volta, F dá mais ou menos que uma volta? Ou será que também dá uma volta?

Se eventualmente for professor, ainda sugeria outro tipo de abordagem como orientação metodológica numa fase mais avançada. Dispondo de 3 rodas dentadas de 9, 12 e 36 dentes, proponha a construção de uma engrenagem de modo que, uma volta completa de um eixo origine, em um outro eixo, quatro voltas completas, mas rodando no mesmo sentido.