Da capicua ao nove

O que é que “luz azul” tem de comum com “o bolo do lobo” ou com “o galo no lago” ou com “o namoro do romano”? Repare-se que “somávamos” goza da mesma característica.

Quando um conjunto de letras, números ou quaisquer outros símbolos colocados por uma ordem determinada podem ser lidos num ou noutro sentido, diz-se que estamos perante um palíndromo.

Quando esta curiosidade ocorre com os números, também damos o nome de capicua. Eu estive 27 anos à espera para comemorar um ano capicua. Entretanto, já comemorei outro. Mas o meu sobrinho Diogo vai fazer cinco anos e, muito provavelmente, não vai conseguir comemorar algum ano capicua. Porque será?

Já dei dados suficientes para se saber a minha idade. No entanto, o que eu pretendo é dar um pouco de atenção aos anos capicuas com 4 algarismos. O último é o ano formado apenas por noves: 9999. Qualquer ano capicua, se for separado ao meio, dá origem a dois números, em que um é o outro invertido. Considerando, por exemplo, o ano 3443, invertendo o 34 obtém-se o 43. A diferença entre estes dois números é 9.

Considerando, por exemplo, o ano 4774 e aplicando o mesmo procedimento obtém-se o número 27 (74-47=27). Mas também o 27 tem algo que se relaciona com o 9 (2+7=9). Repare-se ainda que a diferença entre 7 e 4 é 3 que, aparentemente, nada tem a ver com o 9, não fosse o 27 dividido por 3 dar 9. Não estarei eu a ser perseguido pelo 9? Será que isto é sempre assim?

Não falta a vontade para experimentar com outra capicua, por exemplo, 8338. Separado ao meio e fazendo a diferença: 83-38=45. Da mesma forma, 4+5=9. O mais interessante é que a diferença entre 8 e 3 é 5, e se aproveitarmos o 5 para dividir o 45 obtemos novamente 9.

Não tenho dúvidas em eleger o número nove como sendo o número de minha preferência! Caso o leitor não esteja convencido experimente fazer a seguinte experiência:

1. Escreva o número que representa a data do seu nascimento (ddmmaaaa).
2. Escreva novamente a data, mas noutro formato (aaaammdd).
3. Encontre a diferença entre esses dois números. Um exemplo poderia ser 19711205-05121971=14589234.
4. Adicione os algarismos do número obtido (ex.: 1+4+5+8+9+2+3+4)
5. Proceda da mesma forma em relação ao novo número obtido, as vezes necessárias até obter apenas um algarismo e delicie-se com o resultado.

Sem dúvida que este número tem características fantásticas. Esta paixão pelo número 9 deve-se ao facto de ter um papel muito especial no sistema de numeração decimal. Imagine que o nosso sistema de numeração não se organizava em grupos de dez, mas sim em grupos de cinco. Neste caso, qual seria o número que nos poderia surpreender com estas potencialidades?

Divisão chinesa (?) com números decimais

Ultimamente tenho utilizado e praticado várias divisões com o algoritmo apresentado no artigo anterior. Continuo a achar que se trata de um algoritmo que traz mais vantagens na compreensão da divisão. É por esta razão que insisto novamente nesta técnica para dar resposta ao meu próprio repto - como utilizar esta técnica quando estão envolvidos números decimais.

Imagine-se então querer dividir dois números inteiros cujo quociente é um número decimal. Esta possibilidade nunca fica comprometida desde que o dividendo seja inferior ao divisor, por exemplo, a divisão entre 2 e 80.

(a)

Neste caso, para se poder continuar com a divisão é necessário aumentar um número suficiente de casas decimais ao dividendo até que se possa conseguir a divisão exacta. Assim, as duas unidades podem ser vistas como sendo 20 décimas, 200 centésimas ou 2000 milésimas… Neste exemplo, há a necessidade de considerar, pelo menos, 200 centésimas porque se trata do menor número onde posso formar, no mínimo, um grupo de 80.

Deste modo, há a necessidade de identificar a parte inteira e a decimal do quociente. Sugere-se então, o recurso a um traço vertical.

(b)

Agora procede-se normalmente ignorando a vírgula. Em 200 há duas vezes 80. Então, temos:

(c)

Havendo a necessidade de ainda dividir 40 centésimas, procura-se saber em 400 milésimas quantos grupos de 80 fazemos. Completa-se assim o algoritmo:

(d)

Portanto, 2:80=0,025

Outra situação que vale a pena referir, é quando surge uma divisão em que o dividendo tem menos casas decimais que o divisor, por exemplo, 452,5:1,25

(i)

Também aqui, a divisão deverá ser interpretada como sendo uma divisão por medição (subtracções sucessivas) onde se pretende saber, neste caso, em 45250 centésimas quantas 125 centésimas lá cabem. Posto isto, é nesta altura que se vai identificar, no quociente, a ordem das unidades. Esta ordem - as unidades, corresponde às centésimas do dividendo uma vez que se trata de dividir centésimas por centésimas.

(ii)

Agora, procede-se normalmente como se de uma divisão inteira se tratasse:

(iii)

Pode-se então escrever que 452,5:1,25=362

Se, eventualmente, a divisão não compreendesse um número inteiro de centésimas, o algoritmo continuaria a ser executado normalmente estando já identificado a parte decimal do quociente.

Por exemplo, o quociente entre 40,5 e 1,25 é um número inteiro de décimas. Fica o desafio para que o leitor, com este algoritmo, encontre esse valor.

Divisão chinesa?

A pluralidade cultural é, sem dúvida, um dos aspectos mais positivos em resultado da migração humana. Há dias, quando visitava a Escola do 1º ciclo de Mação, a professora que dá apoio a uma criança chinesa procurou o meu parecer acerca da interpretação de um algoritmo feito por esta aluna. Tratava-se do algoritmo da divisão.

Será o algoritmo da divisão chinesa? O conhecimento que a criança tinha da língua portuguesa, já que eu não enxergo nada em chinês, não permitiu a comunicação de modo a chegar a essa conclusão. No entanto, sendo a matemática uma linguagem universal, fica-nos o registo desta criança que tentarei relatar.

Trata-se de uma técnica muito parecida com o nosso algoritmo tradicional da divisão, mas que, no meu entender, as suas diferenças potenciam uma melhor compreensão do processo de dividir.

Por exemplo, no caso de querer dividir 2586 por 8, o seu aspecto poderá ser o seguinte:

Ou ainda, no caso da aluna que tinha ainda a necessidade de registar as subtracções ao dividendo dos múltiplos de 8 que ia efectuando:

Pelo algoritmo, damos conta que o quociente é 323 e ainda restam 2, que ficam por dividir por 8 (divisor). Assim, simbolicamente poder-se-á escrever:

Na verdade, o procedimento é muito idêntico ao algoritmo indo-árabe a que estamos habituados. Apenas a disposição do divisor e do quociente mudam. Mas a opção de colocar o quociente por cima do dividendo permite interpretar, em qualquer momento do processo algorítmico, o valor de cada algarismo do quociente, uma vez que respeita sempre o seu valor de posição, tendo como referência o dividendo. Por outro lado, reduz a possibilidade de engano enquanto se fazem cálculos intermédios.

Trata-se de uma vantagem para aqueles mais desenvoltos no cálculo mental, permitindo adaptar o algoritmo às suas capacidades de forma a torná-lo mais rápido ou, eventualmente mais lento, se não tiver tão presente o domínio da tabuada.

Vejamos o seguinte exemplo da divisão de 7132 por 15:

(a)

Para quem se sujeita, com frequência, a experiências de cálculo mental, não é difícil reconhecer imediatamente que 15x4=60 e por conseguinte, se a multiplicação fosse feita por 40, então obter-se-ia 600 em vez de 60. Neste caso, e porque se conseguiu aproximar de 713 dezenas, então dever-se-á ter o cuidado de colocar o número 40 na posição correspondente às dezenas. Basta respeitar o valor de posição, o zero do 40, por cima do algarismo três do 713.

(b)

Subtraindo as 600 dezenas, verifica-se que restam 113 que, afinal, ainda poderão ser divididos por 15. Se eventualmente insistir na ideia que o quádruplo de 15 é 60, então posso continuar com o algoritmo:

(c)

Verifica-se que ainda restam 53 dezenas. Teria agora a opção de proceder de forma idêntica. Ainda é possível formar nesta quantidade 3 grupos de 15. Mas, se juntar as duas unidades que faltam, e se o meu cálculo mental permitir reconhecer que 15x30=450, então poderei avançar desta forma:

(d)

Restam 82 unidades, portanto, ainda se pode formar 5 grupos de 15 (15x5=75). Assim, temos:

(e)

Finalmente, chega-se à conclusão que fazendo a divisão inteira de 7132 por 15 é possível formar 40 dezenas, mais 4 dezenas, mais 30 unidades e ainda mais 5 unidades de grupos de 15, e ainda restam 7 unidades.

Assim, sugere-se a finalização do algoritmo determinando a soma das partes do divisor:

(f)

Outra vantagem que vejo neste algoritmo, é no caso de se pretender determinar a divisão exacta, bastar acrescentar a vírgula ao dividendo e, para a direita dela, o número de ordens que se desejam envolver no cálculo. O mesmo já não acontece com o “nosso” algoritmo, dado que o registo do divisor limita esse procedimento o que poderá, nalguns casos, ter de se reiniciar a divisão com o cuidado de criar espaço para esse fim.

Havendo agora a necessidade de assimilar um pouco esta técnica para dividir, fica também lançado o repto aos leitores para a apresentação de sugestões de como dividir, com este algoritmo, números decimais.

Base dez

O nosso sistema de numeração é decimal porque a organização e a representação do número recorre a agrupamentos de 10. Para facilitar as contagens, o homem começou por fazer grupos de 10, quem sabe, talvez, por influência do número de dedos que tinha nas mãos. Quando temos 10 grupos de 10 forma-se novo conjunto. Da mesma forma, quando se obtém 10 destes novos conjuntos de 10 grupos, tendo cada grupo 10 elementos, obtém-se um grande conjunto de 10x10x10 elementos, e assim sucessivamente.

Este padrão repetido infinitamente pode ser adaptado a um padrão geométrico que tomando qualquer um daqueles conjuntos como unidade, pode ser dividido de tal forma que cada uma das partes é semelhante à unidade inicial. Esta noção representada geometricamente leva-nos a um novo conceito geométrico mais abstracto que, à escala da história da matemática, poder-se-ia considerar ainda em fase de gestação – os fractais.

Mas a ideia dos agrupamentos de dez quero aproveitá-la para noções matemáticas mais concretas. Para ser mais claro, sugeria o exemplo de uma fábrica que produz caramelos. Nessa fábrica decide-se fazer conjuntos de 10 caramelos, em tubos, para poderem ser vendidos ao público. Imaginando que o sr. Rodrigo tem consigo 34 caramelos, logo, deve ter 4 tubos, 3 cheios e ainda outro com 4 caramelos. Também é fácil de perceber que pretendendo comprar 80 caramelos, vai ter que levar 8 tubos para casa. Fácil, não é?

No entanto, no armazém que vende a retalho, os lojistas não podem comprar tubos, mas sim caixas de caramelos. Cada caixa traz 10 tubos de caramelos. Compreende-se assim, que o sr, António precise de ter na sua loja 5 caixas para poder alojar 46 tubos de caramelos, 4 caixas cheias e mais uma com 6 tubos. Portanto, com 5 caixas poderá ter no máximo 50 tubos de caramelos.

O mesmo sucede com o retalhista. A unidade mais pequena que a fábrica vende é a embalagem com 10 caixas de caramelos. Assim, por exemplo, se houver 85 caixas de caramelos em armazém, são necessárias 9 embalagens, 8 cheias, e ainda mais outra com 5 caixas. Essas 9 embalagens serviram de transporte a 90 caixas de caramelos.

O leitor, com toda a razão, já deve estar a interrogar-se o que se pretende com toda esta explicação tão trivial. Na verdade, a forma como se conhece a organização dos números de acordo com o nosso sistema de numeração parece ser muito evidente. No entanto, como se poderá justificar a inquietação gerada entre educadores com ideias diferentes em relação a este problema em concreto? Trata-se do mesmo problema que levou toda a comunidade a comemorar dois anos consecutivos a passagem de milénio, precisamente por não haver consenso numa questão que afinal é tão evidente.

A dúvida surge numa questão muito concreta, num manual escolar do 1º ciclo. Pretende-se saber a que década pertence o ano 1978.

Eu próprio fiz a pergunta a várias pessoas de diferentes estratos sociais. É surpreendente o facto de se obterem várias respostas: (a) não sei, (b) é um ano que pertence aos anos setenta, logo é a sétima década, (c) oitava década, (d) 197ª década, (e) 198ª década. Afinal, em que ficamos?

Antes de o leitor também formalizar a sua opinião, talvez seja conveniente reflectir um pouco na organização dos caramelos. Poder-se-á estabelecer a relação entre os anos e os caramelos. Então quantos tubos (décadas) serão necessários para alojar 1978 caramelos (anos)? É fácil, não é?

Actividade matemática com engrenagens

Para além do envolvimento do aluno em actividades significativas, o professor de matemática também tem como objectivo elevar o grau de abstracção dos seus alunos.

As engrenagens com rodas dentadas são o exemplo de situações pouco exploradas, mas que têm um grande potencial em relação a várias áreas no domínio cognitivo. Para além da abstracção, promove o sentido espacial, o raciocínio lógico e poderão ainda ser usadas na exploração e apropriação de conceitos matemáticos que fazem parte do programa nacional do ensino da matemática.

Refiro-me concretamente ao desenvolvimento do pensamento algébrico onde a noção de proporcionalidade e o estabelecimento de relações numéricas têm um papel relevante. A exploração deste tipo de tarefas propicia a formulação de generalizações tendo por base a sistematização e a organização do próprio pensamento.

Por exemplo, numa engrenagem constituída por rodas dentadas, algo se pode concluir em relação ao número de eixos envolvidos na engrenagem e o movimento relativo da última roda em relação à primeira.

Outro estudo, de maior interesse, é encontrar a relação entre o número de voltas da última roda dentada por cada volta da roda que desencadeia o movimento da engrenagem.

No caso específico, que se segue, é fácil reconhecer que para obtermos o número de voltas da roda B enquanto A dá uma volta, é necessário encontrar o quociente entre o número de dentes da roda A e o número de dentes da roda B (A:B). Conclui-se que a roda B dá meia volta enquanto a roda A dá uma volta completa.

Analisando uma engrenagem com 4 rodas dentadas, como no exemplo da figura seguinte, poder-se-á recorrer a uma tabela cujo preenchimento recorre à noção de proporcionalidade.

Fazendo a leitura da última linha da tabela fica-se a saber que o eixo D dá 1,6 voltas por cada volta completa de C. Pode-se ainda constatar, pela análise da figura, que se estabelecem 3 relações entre os quatro eixos: 1º-2º eixo, 2º-3º eixo e 3º-4º eixo. Assim, uma outra forma de sistematizar estas relações pode ser da seguinte forma:

Com um pouco de dedicação e capacidade de análise, o leitor com certeza que vai aceitar o seguinte desafio apenas com uma ligeira diferença em relação aos anteriores. Imagine, por exemplo, uma engrenagem composta por 5 eixos de rotação, havendo duas rodas dentadas sobre o mesmo eixo.

Qual o sentido de rotação do eixo F? Enquanto E dá uma volta, F dá mais ou menos que uma volta? Ou será que também dá uma volta?

Se eventualmente for professor, ainda sugeria outro tipo de abordagem como orientação metodológica numa fase mais avançada. Dispondo de 3 rodas dentadas de 9, 12 e 36 dentes, proponha a construção de uma engrenagem de modo que, uma volta completa de um eixo origine, em um outro eixo, quatro voltas completas, mas rodando no mesmo sentido.

A minha idade e a do meu avô - relações numéricas

Ortiga é uma povoação bem no centro de Portugal, próxima de uma barragem muito visitada, especialmente, pelos amigos da lampreia. Trata-se da Barragem de Belver. Foi na escola desta aldeia que há dias tive a oportunidade de assistir a uma aula muito interessante.

O professor estava consciente que seria uma grande surpresa se algum dos seus alunos conseguisse dar resposta à situação problemática proposta. No entanto, quando planeou aquela aula, o seu objectivo não era tanto a solução do problema, mas a possibilidade de os alunos poderem produzir matemática com interesse e motivação.

Em primeiro lugar esteve a interpretação do que foi apresentado e a análise da informação dada, criou-se espaço para a descoberta de regularidades e quase que se chegou a fazer generalizações. Foi mais um passo na capacidade de abstracção daqueles alunos.

Os alunos foram confrontados com algo de extraordinário que tinha sucedido em 1932. Nesse ano, o neto dizia para o avô que o número formado pelos dois últimos algarismos do ano em que nasceu era precisamente a sua idade. Nada de mais nesta constatação. O mais interessante é que o fenómeno que acontecia com o neto, também ocorria com o avô. O neto nem queria acreditar, mas rapidamente se rendeu à evidência demonstrada nos simples cálculos do seu avô. Afinal, que idades teriam eles?

O sincronismo das mentes daqueles alunos foi alcançado quando, depois de alguns palpites e de algum papel rasurado, juntamente com uma ou outra dica do professor surgiu uma tabela para organizar o pensamento.

A partir do ano 1932 foi feito o estudo sobre o que poderia acontecer se o nascimento do neto tivesse ocorrido nos anos imediatamente anteriores. Caso o nascimento fosse em 1931, então teria um ano, se fosse em 1930, teria 2 anos…

O aluno mais perspicaz foi ávido na constatação de que a soma dos números da coluna da direita (idade) e o número formado pelos dois últimos algarismos da data de nascimento era sempre 32. Então, os dois números (iguais) que se procuram resultam da divisão de 32 por 2, ou seja, 16. Fica descoberta a idade do neto.

Agora, todos estavam despertos para a descoberta do ano em que poderiam dizer que a sua idade seria igual aos dois últimos algarismos que formavam o ano do seu nascimento, bastava multiplicar por 2, esses algarismos. Um caso especial é um aluno que nasceu em 1998, 98x2=196

Também aqui se dá conta que o ano vai ser o de 96, mas do século seguinte. É a indicação dada pelo dobro de um número maior que 50. Neste caso, este aluno terá de esperar até ao ano 2096 para poder “casar a sua idade com ano do seu nascimento”. Mas este exemplo pode aclarar o nosso raciocínio para a descoberta da idade do avô. Seria um trabalho penoso continuar com a tabela até encontrar os números desejados. Aproveitando a regularidade descoberta, a idade do avô, no século anterior, vai ser o resultado da divisão de 132 por 2. Fazendo a verificação não ficam dúvidas que o avô em 1932 tinha 66 anos, sendo a sua data de nascimento em 1866.

Imagine-se agora que para tornar este problema num caso completamente excêntrico, o trisavô, caso fosse vivo, faria a mesma observação. Também neste caso, como é lógico, os dois últimos algarismos do ano em que nasceu eram os mesmos dois últimos algarismos da sua idade. Qual teria sido a data de nascimento do trisavô? E já agora, neste ano que decorre (2009), que idade poderá ser “casada” com o seu ano de nascimento?

Acerca da divisão

Tenho dado conta que alguns professores do 1º ciclo se têm deparado com algumas críticas em desfavor da sua prática relativamente a alguns procedimentos que não são os mais esperados por parte dos pais. São muitos os pais que, neste nível de ensino, ainda conseguem acompanhar os seus filhos nas tarefas escolares e, quando surgem procedimentos que divergem daquilo que é esperado, normalmente, ocorre alguma incompreensão na comunidade envolvente que coloca em causa o trabalho pedagógico-didáctico do professor.

De uma forma concreta serve de exemplo o algoritmo da divisão mais conhecido pela “conta de dividir”. No acompanhamento do percurso escolar dos seus educandos, muitos pais manifestam preocupação porque os seus filhos ainda não sabem fazer as “contas de dividir” tal como eram “receitadas” antigamente.

Será que importa mecanizar procedimentos sem que, no entanto, sejam compreendidos pela criança? Que importa o cumprimento das regras para fazer uma ”conta de dividir” se no final não existe capacidade de criticar o resultado? Será mais importante saber fazer o algoritmo com todo o rigor das regras impostas para a sua execução tradicional, ou conseguir prever se a divisão, por exemplo, de 0,25 por 0,125 é menor ou maior que um?

Tem-se o exemplo do aluno que recorre ao seguinte modelo para efectuar a divisão de 3476 por 23:

Um outro aluno utiliza o seguinte modelo:

Não será mais compreensivo o recurso ao primeiro modelo para aquele aluno que se inicia na técnica de fazer divisões? Haverá algum mal nisso? No primeiro modelo, o aluno sente-se, com certeza, mais seguro e mais confiante no resultado obtido. Julgo, portanto, não haver qualquer interesse em fazer pressão sobre o aluno para abandonar a representação das diferentes subtracções. Não deverá ser o próprio aluno a tomar essa decisão quando ganhar confiança para isso?

O importante é que a divisão seja realizada, independentemente da técnica utilizada para o efeito. Aliás, o ideal seria o aluno descobrir a sua própria técnica para efectuar uma divisão. Neste caso, sem dúvida, teríamos de estar satisfeitos, pois seria um sinal de que se tenha apropriado do conceito de divisão.

O apoio dos pais é sempre uma mais-valia no desenvolvimento da criança mas, se não estiver sincronizado com a escola, deixa de ser apoio e passa a ser uma menos-valia. Portanto, é necessário que estejamos mais sensíveis às orientações da escola, para poder estar com ela e não contra ela.

Imagine que o seu educando lhe apresenta o seguinte algoritmo para efectuar a divisão anterior:

Esta poderá ser uma outra técnica para aqueles menos desenvoltos no domínio da tabuada. Assim, o aluno pode ir construindo o quociente de acordo com a sua capacidade de cálculo mental, alongando ou reduzindo o algoritmo de acordo com as suas capacidades.

De que forma interpretaria o algoritmo para poder ajudar o seu educando a fazer a seguinte divisão: 8275,26:7,23?

Proposta de resolução

Paradoxos

Por vezes somos envolvidos em raciocínios de dedução lógica e acabamos por chegar a uma conclusão contraditória. Estas questões, na matemática, suscitam interesse em muitas pessoas dado a curiosidade e a unicidade que elas representam. Poderemos tomar como exemplo a seguinte frase: ”Eu nunca digo a verdade”. Admitindo a possibilidade da frase ser verdadeira, então estamos perante um mentiroso. Se é mentiroso, então a frase tem que ser falsa. Afinal, a frase é verdadeira ou falsa? Esta situação, parecendo uma frase bastante clara, induz-nos num raciocínio circular sem se poder opinar sobre a sua veracidade ou falsidade.

Há também um paradoxo muito conhecido de Russell que aproveito para destacar, o paradoxo do barbeiro:

Há em Sevilha um barbeiro que reúne as duas condições seguintes:
1- Faz a barba a todas as pessoas de Sevilha que não fazem a barba a si próprias.

2- Só faz a barba a quem não faz a barba a si próprio.

Duas condições que parecem ser tão evidentes que não colocam em causa a sua veracidade. Quando se pretende saber se o barbeiro faz ou não a barba a si próprio já não é bem assim. Não querendo ir contra a condição 2, o barbeiro não pode fazer a barba a si próprio. Mas se não faz a barba a si próprio, atendendo à condição 1, vai ter de fazer a barba a si próprio.

Mas, se a auto-alusão propicia o paradoxo, outras situações em que não se fala de si próprio pode originar igualmente situações paradoxais. Imagine um debate entre os dois representantes dos maiores partidos portugueses. A senhora Manuela F. Leite querendo ilustrar o carácter do seu adversário diz:

- O que você vai dizer de seguida não é verdade. A resposta do seu adversário, Sócrates, não tarda:

- É verdade o que a senhora acaba de dizer.

E neste caso? Querendo apurar quem diz a verdade, devemos tomar partido por quem? Pensando bem, a política não será também um paradoxo?

Os paradoxos, à semelhança das ilusões de óptica, deveriam ter um maior peso na educação matemática. A partir deles geram-se raciocínios de elevados níveis na tentativa de procurar os porquês dessas ilusões. Outro exemplo de uma ilusão, traduzido por palavras será iludir ou convencer o leitor que o contrário de uma afirmação falsa é uma afirmação falsa. Sei que não é fácil convencê-lo do que acabo de referir, faço votos também para que o meu professor de lógica não leia este artigo. Sabendo que não está de acordo comigo reflicta então num exemplo de Martin Gardner: ”esta frase tem seis palavras!”. Não há dúvidas sobre a sua falsidade desta afirmação. Mas, a sua frase contrária não me parece que seja verdadeira. Experimente contar as palavras na frase contrária: ”esta frase não tem seis palavras”.

Admitindo que já aqui fica matéria para reflectir, deixo ainda uma outra, com o objectivo de gerar discussão, controvérsia, argumentação, raciocínio mas que se chegue a bons entendimentos.

O gerente de uma loja de CD’s deu ordem à Cátia, funcionária da loja, para fazer uma promoção com os CD’s que não se vendiam. Assim foram criadas duas colecções de 30 CD’s cada uma. Numa das colecções, cada 3 CD’s são vendidos a 3€, na outra colecção o mesmo preço dava direito a dois CD’s. De acordo com as contas do gerente iria facturar na primeira colecção 10 x 3€ e na segunda 15 x 3€ esperando um total de 75€.

A Cátia, entusiasmada com a ideia, pensou que seria mais fácil e mais rápido a venda dos CD´s se fizesse grupos de 5 por 6€. E assim foi. Rapidamente apresentou as contas e explicou ao gerente a sua brilhante estratégia que resultou na venda rápida de todos os CD’s. Assim, 12 grupos de 5 CD’s a 6€ cada grupo, apurou 72€.

A Cátia nem queria acreditar como o gerente ficou irritado. Afinal, faltavam 3€. Cabe agora ao leitor, desvendar este mistério.

Noves fora, nada.

O título deste artigo é, com certeza, muito familiar aos leitores da minha geração. Uma das competências matemáticas que a nossa escola se propunha a desenvolver nos alunos, naquela altura, era saber aplicar a prova dos noves. No entanto, julgo que a maioria dos alunos não atribuía significado a esse procedimento. Na verdade, qual será o significado do “nada”? Numa pequena retrospectiva à nossa instrução primária, antes da revolução de Abril, é fácil recordar que os números 18, 27, 36, 45, 54, 63,… gozam desta particularidade – adicionando os seus algarismos dá nove, então: “noves fora, nada”.

Hoje, uma criança do 1º ciclo identifica estes números como sendo os da “tabuada do 9”. De facto são os múltiplos de nove. Isto quer dizer que se fizermos grupos de 9, no final, o resto é zero. É este o critério de divisibilidade por 9. Qualquer número cuja soma dos seus algarismos seja nove ou um múltiplo de nove, possibilita obter, com esse número, um número inteiro de grupos de 9. É o caso do número 4185 (4+1+8+5 são 18, e 1+8 são 9). Assim, outros números compostos com os mesmos algarismos gozam da mesma propriedade: 1485, 8415, 8541,… pois, divididos por 9, dão resto zero.

Estude-se agora o caso do número 19; 1+9=10, noves fora, 1. Repare-se que, com o número 19 fazemos dois grupos de 9 e ainda sobra 1. Então o significado deste 1 é o resto da divisão de 19 por 9. Assim, sabe-se imediatamente que o resto da divisão de 25567, por nove, é 7 (noves fora, “sete”).

Não querendo ser maçudo com esta questão dos noves, aproveito ainda para tentar perceber o que acontece quando subtraímos dois números da mesma classe de resto, módulo 9, isto é, números que divididos por 9 dão o mesmo resto. O número 57 e o número 30 servem de exemplo, divididos por 9, dão resto 3 (experimente tirar os noves). No caso de serem subtraídos, os seus restos anulam-se, sendo a diferença um número que é sempre múltiplo de 9. Fazendo a verificação, temos: 57–30=27; (2+7=9). Esta é uma propriedade dos números que, frequentemente, é usada em muitas curiosidades matemáticas aproveitando-se para dar um cariz mágico a esta ciência.

Como exemplo, pode pensar num número qualquer e subtraí-lo a outro número, desde que seja formado com os mesmos algarismos do anterior. A diferença obtida é sempre um múltiplo de 9. Imagine que peço para esconder um desses algarismos, desde que não seja o zero, e que me revele os restantes. Deve compreender que está a revelar o número escondido, ou não?

Mas todo este discurso não foi apenas para recordar procedimentos antigos. O meu objectivo é dar uma pista para facilitar a descoberta das idades de dois pais e dois filhos na figura de três pessoas – o neto, o pai e o avô.

O problema que proponho pode ser visto na sua versão original no livro Uma Paródia Matemática. A necessidade que tive em adaptar este problema, perdoe-me Brian Bolt, por o ter empobrecido, foi no sentido de lhe dar apenas a possibilidade de uma única solução.

Vamos então ao desafio: o ajudante de cozinha, Augusto, numa tentativa de prever o tempo que faltava para o seu chefe Artur se reformar, perguntou-lhe a idade. O Artur respondeu-lhe da seguinte forma:
- Invertendo os algarismos da minha idade obtém-se a do meu filho Bruno. A diferença das nossas idades é o triplo da idade do meu neto, que, por sua vez, tem um sétimo da minha idade.
O Augusto perguntou ainda: Terá sido pai adolescente?
- Muito longe disso, nem eu nem o meu filho fomos pais adolescentes, respondeu o velho Artur.

Afinal, quais são as idades do neto, do pai e do avô?