Acerca da divisão

Tenho dado conta que alguns professores do 1º ciclo se têm deparado com algumas críticas em desfavor da sua prática relativamente a alguns procedimentos que não são os mais esperados por parte dos pais. São muitos os pais que, neste nível de ensino, ainda conseguem acompanhar os seus filhos nas tarefas escolares e, quando surgem procedimentos que divergem daquilo que é esperado, normalmente, ocorre alguma incompreensão na comunidade envolvente que coloca em causa o trabalho pedagógico-didáctico do professor.

De uma forma concreta serve de exemplo o algoritmo da divisão mais conhecido pela “conta de dividir”. No acompanhamento do percurso escolar dos seus educandos, muitos pais manifestam preocupação porque os seus filhos ainda não sabem fazer as “contas de dividir” tal como eram “receitadas” antigamente.

Será que importa mecanizar procedimentos sem que, no entanto, sejam compreendidos pela criança? Que importa o cumprimento das regras para fazer uma ”conta de dividir” se no final não existe capacidade de criticar o resultado? Será mais importante saber fazer o algoritmo com todo o rigor das regras impostas para a sua execução tradicional, ou conseguir prever se a divisão, por exemplo, de 0,25 por 0,125 é menor ou maior que um?

Tem-se o exemplo do aluno que recorre ao seguinte modelo para efectuar a divisão de 3476 por 23:

Um outro aluno utiliza o seguinte modelo:

Não será mais compreensivo o recurso ao primeiro modelo para aquele aluno que se inicia na técnica de fazer divisões? Haverá algum mal nisso? No primeiro modelo, o aluno sente-se, com certeza, mais seguro e mais confiante no resultado obtido. Julgo, portanto, não haver qualquer interesse em fazer pressão sobre o aluno para abandonar a representação das diferentes subtracções. Não deverá ser o próprio aluno a tomar essa decisão quando ganhar confiança para isso?

O importante é que a divisão seja realizada, independentemente da técnica utilizada para o efeito. Aliás, o ideal seria o aluno descobrir a sua própria técnica para efectuar uma divisão. Neste caso, sem dúvida, teríamos de estar satisfeitos, pois seria um sinal de que se tenha apropriado do conceito de divisão.

O apoio dos pais é sempre uma mais-valia no desenvolvimento da criança mas, se não estiver sincronizado com a escola, deixa de ser apoio e passa a ser uma menos-valia. Portanto, é necessário que estejamos mais sensíveis às orientações da escola, para poder estar com ela e não contra ela.

Imagine que o seu educando lhe apresenta o seguinte algoritmo para efectuar a divisão anterior:

Esta poderá ser uma outra técnica para aqueles menos desenvoltos no domínio da tabuada. Assim, o aluno pode ir construindo o quociente de acordo com a sua capacidade de cálculo mental, alongando ou reduzindo o algoritmo de acordo com as suas capacidades.

De que forma interpretaria o algoritmo para poder ajudar o seu educando a fazer a seguinte divisão: 8275,26:7,23?

Proposta de resolução

Paradoxos

Por vezes somos envolvidos em raciocínios de dedução lógica e acabamos por chegar a uma conclusão contraditória. Estas questões, na matemática, suscitam interesse em muitas pessoas dado a curiosidade e a unicidade que elas representam. Poderemos tomar como exemplo a seguinte frase: ”Eu nunca digo a verdade”. Admitindo a possibilidade da frase ser verdadeira, então estamos perante um mentiroso. Se é mentiroso, então a frase tem que ser falsa. Afinal, a frase é verdadeira ou falsa? Esta situação, parecendo uma frase bastante clara, induz-nos num raciocínio circular sem se poder opinar sobre a sua veracidade ou falsidade.

Há também um paradoxo muito conhecido de Russell que aproveito para destacar, o paradoxo do barbeiro:

Há em Sevilha um barbeiro que reúne as duas condições seguintes:
1- Faz a barba a todas as pessoas de Sevilha que não fazem a barba a si próprias.

2- Só faz a barba a quem não faz a barba a si próprio.

Duas condições que parecem ser tão evidentes que não colocam em causa a sua veracidade. Quando se pretende saber se o barbeiro faz ou não a barba a si próprio já não é bem assim. Não querendo ir contra a condição 2, o barbeiro não pode fazer a barba a si próprio. Mas se não faz a barba a si próprio, atendendo à condição 1, vai ter de fazer a barba a si próprio.

Mas, se a auto-alusão propicia o paradoxo, outras situações em que não se fala de si próprio pode originar igualmente situações paradoxais. Imagine um debate entre os dois representantes dos maiores partidos portugueses. A senhora Manuela F. Leite querendo ilustrar o carácter do seu adversário diz:

- O que você vai dizer de seguida não é verdade. A resposta do seu adversário, Sócrates, não tarda:

- É verdade o que a senhora acaba de dizer.

E neste caso? Querendo apurar quem diz a verdade, devemos tomar partido por quem? Pensando bem, a política não será também um paradoxo?

Os paradoxos, à semelhança das ilusões de óptica, deveriam ter um maior peso na educação matemática. A partir deles geram-se raciocínios de elevados níveis na tentativa de procurar os porquês dessas ilusões. Outro exemplo de uma ilusão, traduzido por palavras será iludir ou convencer o leitor que o contrário de uma afirmação falsa é uma afirmação falsa. Sei que não é fácil convencê-lo do que acabo de referir, faço votos também para que o meu professor de lógica não leia este artigo. Sabendo que não está de acordo comigo reflicta então num exemplo de Martin Gardner: ”esta frase tem seis palavras!”. Não há dúvidas sobre a sua falsidade desta afirmação. Mas, a sua frase contrária não me parece que seja verdadeira. Experimente contar as palavras na frase contrária: ”esta frase não tem seis palavras”.

Admitindo que já aqui fica matéria para reflectir, deixo ainda uma outra, com o objectivo de gerar discussão, controvérsia, argumentação, raciocínio mas que se chegue a bons entendimentos.

O gerente de uma loja de CD’s deu ordem à Cátia, funcionária da loja, para fazer uma promoção com os CD’s que não se vendiam. Assim foram criadas duas colecções de 30 CD’s cada uma. Numa das colecções, cada 3 CD’s são vendidos a 3€, na outra colecção o mesmo preço dava direito a dois CD’s. De acordo com as contas do gerente iria facturar na primeira colecção 10 x 3€ e na segunda 15 x 3€ esperando um total de 75€.

A Cátia, entusiasmada com a ideia, pensou que seria mais fácil e mais rápido a venda dos CD´s se fizesse grupos de 5 por 6€. E assim foi. Rapidamente apresentou as contas e explicou ao gerente a sua brilhante estratégia que resultou na venda rápida de todos os CD’s. Assim, 12 grupos de 5 CD’s a 6€ cada grupo, apurou 72€.

A Cátia nem queria acreditar como o gerente ficou irritado. Afinal, faltavam 3€. Cabe agora ao leitor, desvendar este mistério.

Noves fora, nada.

O título deste artigo é, com certeza, muito familiar aos leitores da minha geração. Uma das competências matemáticas que a nossa escola se propunha a desenvolver nos alunos, naquela altura, era saber aplicar a prova dos noves. No entanto, julgo que a maioria dos alunos não atribuía significado a esse procedimento. Na verdade, qual será o significado do “nada”? Numa pequena retrospectiva à nossa instrução primária, antes da revolução de Abril, é fácil recordar que os números 18, 27, 36, 45, 54, 63,… gozam desta particularidade – adicionando os seus algarismos dá nove, então: “noves fora, nada”.

Hoje, uma criança do 1º ciclo identifica estes números como sendo os da “tabuada do 9”. De facto são os múltiplos de nove. Isto quer dizer que se fizermos grupos de 9, no final, o resto é zero. É este o critério de divisibilidade por 9. Qualquer número cuja soma dos seus algarismos seja nove ou um múltiplo de nove, possibilita obter, com esse número, um número inteiro de grupos de 9. É o caso do número 4185 (4+1+8+5 são 18, e 1+8 são 9). Assim, outros números compostos com os mesmos algarismos gozam da mesma propriedade: 1485, 8415, 8541,… pois, divididos por 9, dão resto zero.

Estude-se agora o caso do número 19; 1+9=10, noves fora, 1. Repare-se que, com o número 19 fazemos dois grupos de 9 e ainda sobra 1. Então o significado deste 1 é o resto da divisão de 19 por 9. Assim, sabe-se imediatamente que o resto da divisão de 25567, por nove, é 7 (noves fora, “sete”).

Não querendo ser maçudo com esta questão dos noves, aproveito ainda para tentar perceber o que acontece quando subtraímos dois números da mesma classe de resto, módulo 9, isto é, números que divididos por 9 dão o mesmo resto. O número 57 e o número 30 servem de exemplo, divididos por 9, dão resto 3 (experimente tirar os noves). No caso de serem subtraídos, os seus restos anulam-se, sendo a diferença um número que é sempre múltiplo de 9. Fazendo a verificação, temos: 57–30=27; (2+7=9). Esta é uma propriedade dos números que, frequentemente, é usada em muitas curiosidades matemáticas aproveitando-se para dar um cariz mágico a esta ciência.

Como exemplo, pode pensar num número qualquer e subtraí-lo a outro número, desde que seja formado com os mesmos algarismos do anterior. A diferença obtida é sempre um múltiplo de 9. Imagine que peço para esconder um desses algarismos, desde que não seja o zero, e que me revele os restantes. Deve compreender que está a revelar o número escondido, ou não?

Mas todo este discurso não foi apenas para recordar procedimentos antigos. O meu objectivo é dar uma pista para facilitar a descoberta das idades de dois pais e dois filhos na figura de três pessoas – o neto, o pai e o avô.

O problema que proponho pode ser visto na sua versão original no livro Uma Paródia Matemática. A necessidade que tive em adaptar este problema, perdoe-me Brian Bolt, por o ter empobrecido, foi no sentido de lhe dar apenas a possibilidade de uma única solução.

Vamos então ao desafio: o ajudante de cozinha, Augusto, numa tentativa de prever o tempo que faltava para o seu chefe Artur se reformar, perguntou-lhe a idade. O Artur respondeu-lhe da seguinte forma:
- Invertendo os algarismos da minha idade obtém-se a do meu filho Bruno. A diferença das nossas idades é o triplo da idade do meu neto, que, por sua vez, tem um sétimo da minha idade.
O Augusto perguntou ainda: Terá sido pai adolescente?
- Muito longe disso, nem eu nem o meu filho fomos pais adolescentes, respondeu o velho Artur.

Afinal, quais são as idades do neto, do pai e do avô?

Dimensões A4

A folha de papel, de formato A4, garantidamente, nada tem a ver com uma empresa de automóveis alemã que produz Audis, aliás, com a mesma designação das folhas de papel que utilizamos mais vezes. A designação referente à letra, sabendo que não é por ser a inicial de Audi, poderá ser uma convenção para identificar aquele formato. No entanto, o número é que diferencia o tamanho das folhas.

Sabe-se que dobrando uma folha A4 obtém-se a folha A5. Esta correspondência permite deduzir que a área da folha A4 é o dobro da área da A5. Pela mesma razão se deduz que a folha A3 tem o dobro da área A4. Uma característica interessante e que merece referência é o facto do comprimento da folha ser sempre igual à medida da largura da folha imediatamente superior.

Outro facto interessante a ser observado, é que os diferentes formatos das folhas quando sobrepostas de tal modo que os seus lados maiores (p.e.) e os vértices correspondentes coincidam, implica que as suas diagonais fiquem sobre uma mesma recta.

Quer isto dizer que as folhas com os diferentes índices são semelhantes entre si.

Esta particularidade permite, nas fotocopiadoras, fazer ampliações e reduções sem haver qualquer desperdício de papel.

Também se verifica, por observação na primeira figura, que as medidas dos lados da folha de A0 e A4 estão numa razão de 4 para 1. Significa isto que os lados da folha A0 têm o quádruplo do comprimento dos lados da folha A4.

Penso que agora se possa deduzir o facto de se utilizar o valor 4 para definir o tamanho da folha. O quadrado desta razão de semelhança (4:1) é, portanto, a razão entre as suas áreas. Facilmente se comprova que a folha A0 é constituída por 16 folhas A4 (quatro ao quadrado).

Com um pouco mais de curiosidade matemática, estamos em condições de saber qual a área da folha A0. A partir do cálculo da área da folha A4, se multiplicarmos este valor por 16, obtemos um valor muito próximo do metro quadrado.

Assim, partindo-se do princípio que, (1) a folha A0 tem de ter um metro quadrado, (2) a divisão de qualquer folha pelo seu menor eixo de simetria origina duas folhas semelhantes à folha que lhes deu origem, só poderá haver uma única dimensão para a folha A4.

Sem medir os comprimentos dos lados, tente deduzir qual o comprimento e a largura da folha A4.

proposta de resolução

Latas em progressão aritmética

Uma pesquisa sobre a biografia de Friedrich Gauss leva-nos a um interessante episódio com mais de 200 anos, sendo já uma importante referência na história da matemática. Conta-se que este prestigioso matemático alemão, ao começar a dar os seus primeiros passos académicos, surpreendeu o seu professor quando sujeito a uma actividade matemática que consistia em determinar a soma de todos os números inteiros de 1 a 100.

Sendo uma tarefa muito penosa para todos os seus colegas, Gauss muito rapidamente, colocou em cima da secretária do professor a sua ardósia com a conclusão da tarefa. Sentindo a necessidade de justificar a sua rapidez, explicou ao professor que a soma seria o valor do produto de 50 pares de números por 101. Assim surge o número 5050. Valor ao qual, os colegas se renderam depois de meia hora de trabalho.

O raciocínio daquele aluno baseou-se na observação de que 1+100 = 2+98 = 3+97 = 4+96 = …= 50+51 = 101. Portanto, bastava adicionar 50 pares de números com o valor de 101.

Será que o leitor também já se tinha apercebido desta curiosidade? Experimente aplicar o mesmo raciocínio para determinar a soma de outra qualquer sequência do mesmo tipo. Em matemática estas sequências são conhecidas por progressões aritméticas - o termo seguinte, resulta da soma do termo anterior com um qualquer número que deve ser constante. Um exemplo de uma progressão aritmética é: 9, 12, 15, 18… em que a constante é 3. Querendo adicionar os 6 primeiros termos (9 + 12 + 15 + 18 + 21+ 24), de acordo com a descoberta de Gauss, é o mesmo que ter 33 + 33 + 33 = 3 x 33 = 99.

Este é um bom exemplo de como a matemática pode ser uma boa ferramenta para nos facilitar o trabalho, que em princípio, parecia ser exaustivo. Assim, tivesse a rapariga do hipermercado conhecimento disso e também ela teria a vida facilitada. A rapariga a que me refiro é a Catarina, funcionária numa empresa que vende salsichas enlatadas. Nunca gostou de matemática, e agora tem que dar conta, ao seu patrão, do número exacto de latas que utilizou na exposição feita no hipermercado.

As latas foram empilhadas de tal forma que cada uma está assente noutras duas latas, o que faz com que cada camada tenha menos uma lata que a camada de baixo.

O trabalho realizado pela Catarina é uma “parede” construída com as latas de salsichas distribuídas por 16 camadas, em que a última camada, a do cimo, tem 16 latas. Já fez 3 contagens e encontrou 3 números diferentes. Desesperada, pediu ajuda a uma colega para fazerem uma nova contagem, entretanto, foi encontrado um novo número. A sua amiga rapidamente se descartou daquela tarefa justificando-se que nunca tinha sido boa aluna a matemática.

É certo que Gauss já não vai poder ajudar a Catarina, mas deixou-nos a maior riqueza que se pode herdar - o conhecimento. É com base nesse conhecimento que conto com a solidariedade do leitor para ajudar a Catarina a determinar o número exacto de latas que utilizou naquela construção.

Comunicação matemática

A propósito da baixa de preços dos combustíveis, vários têm sido os comunicados a dar conta desse acontecimento. Mas com tantas baixas de preço, difícil é compreender como é que ainda só houve uma redução de cerca de 25% no preço do combustível, após ter atingido o seu valor máximo, quando a matéria-prima, sendo um factor determinante para o apuramento do preço ao consumidor final, (pelo menos sempre foi essa a justificação para o aumento do preço dos combustíveis), já desceu cerca de 70% em relação ao seu valor máximo.

Bom, mas isto é apenas um desabafo, o que me leva a escrever este artigo prende-se com a forma como são comunicados os novos valores do precioso líquido. Foram já vários os comunicados na rádio em que tive dificuldade na interpretação da comunicação. Será por se tratar de conteúdo essencialmente matemático?

Um dia destes ouvi na rádio, “a partir da meia-noite o combustível vai estar mais barato, sofre uma redução de zero, vírgula, zero, vinte e cinco cêntimos”. Quando não consigo atribuir significado a um número de euros, tenho a tendência para recorrer à moeda que ainda tenho como referência – o escudo, foi o caso. No entanto, o meu cálculo mental não foi suficientemente rápido para fazer a conversão. A jornalista adiantava: “o preço do litro do gasóleo passará a custar novecentos e quarenta e oito cêntimos”.

Fiquei ainda mais confuso. Afinal, trata-se de uma baixa de preço ou um agravamento substancial? Todos sabem que um euro ou cem cêntimos é a mesma quantia. Tratando-se de novecentos cêntimos, já nem quero saber do que vai para além disso, estão em causa, pelo menos, 9 euros.

Nem quero imaginar quando o preço do combustível possa chegar a esse valor. Faço votos, para que nessa altura, a dependência do gasóleo ou da gasolina seja a mesma como a que hoje temos em relação à água que corre no chafariz da aldeia.

Na comunicação social, torna-se evidente a falta de rigor da linguagem matemática, parecendo que a comunicação é perfeita, quando na verdade, é o receptor que a transforma, de acordo com a sua contextualização, naquilo que é previsível. Talvez seja esta a causa por haver necessidade de tantas rectificações orçamentais, principalmente quando envolvem grandes números. Só consigo compreender a coragem de ser feita uma comunicação deste teor, quando o comunicador fala de qualquer coisa para a qual não lhe atribui sentido.

É neste contexto, numa tentativa de percebermos o que é que falha nesta comunicação, que lanço o repto para uma análise mais cuidada. Pegando na frase que nos dá conta do abatimento do valor do combustível em “zero, vírgula, zero, vinte e cinco cêntimos”, ao certo, de quanto é este valor em escudos? Para facilitar os cálculos, considere por arredondamento, que um cêntimo equivale a 2 escudos. Recordo ainda que aquelas moedas, a que chamávamos “tostões”, eram necessárias 10 para obter um escudo. E que essas moedas, as mais antigas, ostentavam numa das suas faces o símbolo “X” e a palavra “centavos”.

Tabuada da multiplicação (com dedos)

Muitos professores do 1º ciclo têm reflectido na importância ou não, da insistência na memorização da tabuada.

Normalmente o que se decora acaba por ser esquecido, portanto, há um entendimento generalizado em dar prioridade à compreensão da tabuada em detrimento da sua memorização. A ideia que fica é que o aluno, em qualquer altura, consegue construir a tabuada não havendo portanto, a necessidade de a decorar.

No entanto, em níveis de escolaridade mais avançada os professores queixam-se dos alunos não saberem a tabuada. Esta situação impossibilita o desenvolvimento de outras técnicas de cálculo e exploração de novos conceitos matemáticos como sendo a equivalência de fracções, os múltiplos, os divisores, decomposição de números e outras inúmeras situações onde se pressupõe saber de imediato o produto de dois algarismos.

A questão da memorização, a meu ver, é uma actividade de especial importância na formação escolar. Talvez mais tarde ainda possamos ser apetrechados de chips que resolverão este problema. Mas até lá, vamos com certeza continuar a ter a necessidade de memorizar e, cabe à escola desenvolver no aluno, de acordo com a sua forma de pensar, a capacidade em descobrir as melhores técnicas que facilitem a sua memorização.

E porque a memorização requer um trabalho continuado, torna-se difícil a gestão do tempo face à ambição do próprio currículo escolar do aluno, com múltiplos tópicos matemáticos repletos de conceitos que vão pesando na responsabilidade do professor para fazer com que os seus alunos adquiram maior competência matemática.

Constata-se que a grande dificuldade na memorização da tabuada, na maior parte dos alunos, é a partir da tabuada do seis. É por isso que sugiro que se dê uma atenção especial a Édouard Lucas no seu livro, O jogo Militar. Segundo este autor, a cultura palestiniana e síria usam um algoritmo muito interessante que poderá ser um contributo valioso para que os nossos alunos aprendam a tabuada.

Partindo-se do princípio que o aluno não tem dificuldade em saber a tabuada até ao cinco, toda a outra tabuada se torna muito fácil. Assim, qualquer aluno poderá confirmar, de forma autónoma, o produto de dois números maiores que cinco e de um só dígito.

Tomemos como exemplo o produto de 7 por 8 (7x8). Basta representar o sete numa mão e o oito na outra mão. Dado que as mãos têm apenas cinco dedos, então recorremos aos dedos dos pés para ajudar nessa representação. Assim, tendo cinco dedos nos pés mais 2 dedos levantados na mão, será uma forma de representar o sete. Seguindo a mesma técnica não há dificuldade em representar o oito - três dedos levantados na mão.

Agora, é só adicionar os dedos “levantados”, 2+3=5, e juntar à direita deste, o produto obtido pelos dedos “deitados”, 3x2=6. Obtém-se assim 56 o que corresponde ao produto pretendido: 7x8=56.

Estou convicto que passando a olhar mais vezes para as mãos, este algoritmo que parece ser complicado no início, poderá entrar na rotina e, para além de ajudar a memorizar a tabuada, é um exercício que também desenvolve a abstracção do aluno e consolida outros conhecimentos a favor de outras novas técnicas de cálculo mental.

Repare que a soma dos dedos “levantados” corresponde ao número de dezenas, e o produto dos dedos “deitados” corresponde ao número de unidades. Estes dois valores adicionados dão sempre o resultado pretendido. Faço este reparo para que saiba aplicar o algoritmo quando pretende determinar 6x6 ou 6x7.

Fica agora a cargo do leitor perceber porque refiro estes dois casos especiais. Que técnica vulgarmente é usada nos nossos algoritmos que também aqui pode ser utilizada?

Divisão por três

Numa ou noutra situação todos nós já fomos confrontados com a necessidade de um ajuste de contas (no verdadeiro sentido da expressão), onde se pretende fazer o acerto das despesas comuns.

Também três amigos, na preparação de um passeio, decidiram que o almoço seria leitão. Ficou combinado que cada um levaria a sua bebida e o Gustavo com a responsabilidade de levar o assado.

Acontece que o Gustavo só conseguiu comprar 700g de leitão, era o último leitão do dia. Sendo francamente insuficiente para 3 pessoas, o Gustavo decidiu telefonar ao Bernardo para comprar no hipermercado, perto da sua casa, mais 500g de leitão.

No dia do passeio, já no final do almoço, altura que escolheram para fazer o ajuste de contas, o Eduardo chegou à conclusão que teria de pagar 6€, uma vez que a despesa com o leitão foi de 18€. É nesta altura que se levanta o problema. O Gustavo e o Bernardo ficaram, naquele momento, sem saber como dividir os seis euros entre si. No entanto, os dois amigos acabaram por acordar que o Gustavo ficaria com 3,50€ e o Bernardo com 2,50€.

Segundo o raciocínio do Gustavo deveriam dividir o dinheiro tendo em conta a mesma proporção de leitão com que cada um contribuiu. Até porque o preço do quilograma do leitão foi o mesmo.

O Bernardo acaba por concluir que as contas até eram boas de fazer uma vez que se tratava de 1200 g de leitão e, o dinheiro que pretendiam dividir eram 6€. Assim, 500g vai corresponder a 2,50€, esclarece o Bernardo, prontificando-se a entregar de imediato ao Gustavo, a diferença que vai para os 6€.

Entretanto, no dia seguinte, quando o Eduardo tomou conhecimento de tal divisão reprovou veementemente aquela forma de pensar. Segundo as contas feitas por este amigo, que sempre foi respeitado pelas provas académicas dadas, o Bernardo teria que ainda dar ao Gustavo 1 euro.

De facto, após a explicação do Eduardo, os outros dois amigos acabaram por perceber como tinham errado no seu raciocínio. No entanto, não pareciam muito convincentes com o resultado obtido. Principalmente o Guilherme, tendo subscrito o raciocínio do Eduardo, repetiu várias vezes as contas à procura do possível engano.

Como seria possível esse raciocínio ser o mais correcto e, levar a um resultado que parece ser tão injusto - o Bernardo ficaria apenas com 1,50€ e o Gustavo com 4,50€?

Será que o leitor com toda a sua justiça matemática consegue encontrar explicação para esta justa divisão que o Eduardo defende?

Um problema de reflexão

Ainda me lembro dos meus tempos de estudante em como a matemática era uma disciplina que só poderia agradar aos “abstractos”. Refiro-me aos “abstractos” como sendo aqueles que, por diversas razões, tiveram oportunidades de passar por múltiplas experiências, ganhando elevados níveis de abstracção o que lhes garantia uma maior competência  matemática.

Nesse tempo era mesmo difícil gostar da matemática, era caso para dizer que a matemática era “intragável”. O aluno não via qualquer utilidade no estudo desta matéria. As propostas de trabalho eram áridas, pouco ou nada apelativas, conquistando apenas os “abstractos”, como é o caso do exemplo seguinte:

Encontre o ponto P da recta r de modo que o comprimento da linha poligonal [APB] seja a menor possível.

Convenhamos que se trata de uma tarefa para a qual o aluno poderá revelar pouco interesse em resolvê-la. Qual o objectivo? Qual o interesse em descobrir onde está o ponto P?

No entanto é uma tarefa muito rica, visto implicar vários conhecimentos matemáticos, como por exemplo a distância entre um ponto e uma recta, a noção de reflexão,  a perpendicularidade, a implicação e o manuseamento de material como o esquadro, a régua e o compasso.

Hoje o trabalho do professor a nível didáctico-pedagógico é muito mais exigente. Também tem que “saber vender” o seu produto. É por isso que tem de gastar algum tempo na preparação da estratégia de “venda” – processo que não é valorizado por aqueles que estão de fora. Para além da selecção ou produção da tarefa onde se pretende a apropriação de novas aprendizagens, também é necessário que o professor, quando propõe a tarefa, tenha a mesma preocupação que o chefe de cozinha - para além do paladar, primeiro tem que ser agradável à vista. É claro que isto não é tarefa fácil para o professor. Por vezes, a melhor ideia talvez acabe por nunca ocorrer apesar do tempo dedicado a essa causa.

Neste caso, tornar um pouco mais agradável a actividade poderia passar por transformar o ponto A na casa do aluno e o ponto B a casota onde se encontra o seu cão de estimação, sendo a recta r o rio que passa junto à quinta do aluno. Agora pretende-se que o aluno vá ao rio encher o balde para levar água ao rafeiro. Para que o aluno faça a menor distância possível em que lugar deverá apanhar a água no rio?

Será que agora também o leitor já ficou curioso em encontrar o ponto P? Se imaginarmos a casota do cão na outra margem do rio, com certeza que o balde deveria ser cheio no ponto de intersecção do rio com o caminho, em linha recta, até à casota do cão. Não haverá um ponto na outra margem que possa corresponder ao lugar da casota do cão? Será que esta dica poderá ajudar a encontrar o ponto P?

proposta de resolução