Noves fora, nada.

O título deste artigo é, com certeza, muito familiar aos leitores da minha geração. Uma das competências matemáticas que a nossa escola se propunha a desenvolver nos alunos, naquela altura, era saber aplicar a prova dos noves. No entanto, julgo que a maioria dos alunos não atribuía significado a esse procedimento. Na verdade, qual será o significado do “nada”? Numa pequena retrospectiva à nossa instrução primária, antes da revolução de Abril, é fácil recordar que os números 18, 27, 36, 45, 54, 63,… gozam desta particularidade – adicionando os seus algarismos dá nove, então: “noves fora, nada”.

Hoje, uma criança do 1º ciclo identifica estes números como sendo os da “tabuada do 9”. De facto são os múltiplos de nove. Isto quer dizer que se fizermos grupos de 9, no final, o resto é zero. É este o critério de divisibilidade por 9. Qualquer número cuja soma dos seus algarismos seja nove ou um múltiplo de nove, possibilita obter, com esse número, um número inteiro de grupos de 9. É o caso do número 4185 (4+1+8+5 são 18, e 1+8 são 9). Assim, outros números compostos com os mesmos algarismos gozam da mesma propriedade: 1485, 8415, 8541,… pois, divididos por 9, dão resto zero.

Estude-se agora o caso do número 19; 1+9=10, noves fora, 1. Repare-se que, com o número 19 fazemos dois grupos de 9 e ainda sobra 1. Então o significado deste 1 é o resto da divisão de 19 por 9. Assim, sabe-se imediatamente que o resto da divisão de 25567, por nove, é 7 (noves fora, “sete”).

Não querendo ser maçudo com esta questão dos noves, aproveito ainda para tentar perceber o que acontece quando subtraímos dois números da mesma classe de resto, módulo 9, isto é, números que divididos por 9 dão o mesmo resto. O número 57 e o número 30 servem de exemplo, divididos por 9, dão resto 3 (experimente tirar os noves). No caso de serem subtraídos, os seus restos anulam-se, sendo a diferença um número que é sempre múltiplo de 9. Fazendo a verificação, temos: 57–30=27; (2+7=9). Esta é uma propriedade dos números que, frequentemente, é usada em muitas curiosidades matemáticas aproveitando-se para dar um cariz mágico a esta ciência.

Como exemplo, pode pensar num número qualquer e subtraí-lo a outro número, desde que seja formado com os mesmos algarismos do anterior. A diferença obtida é sempre um múltiplo de 9. Imagine que peço para esconder um desses algarismos, desde que não seja o zero, e que me revele os restantes. Deve compreender que está a revelar o número escondido, ou não?

Mas todo este discurso não foi apenas para recordar procedimentos antigos. O meu objectivo é dar uma pista para facilitar a descoberta das idades de dois pais e dois filhos na figura de três pessoas – o neto, o pai e o avô.

O problema que proponho pode ser visto na sua versão original no livro Uma Paródia Matemática. A necessidade que tive em adaptar este problema, perdoe-me Brian Bolt, por o ter empobrecido, foi no sentido de lhe dar apenas a possibilidade de uma única solução.

Vamos então ao desafio: o ajudante de cozinha, Augusto, numa tentativa de prever o tempo que faltava para o seu chefe Artur se reformar, perguntou-lhe a idade. O Artur respondeu-lhe da seguinte forma:
- Invertendo os algarismos da minha idade obtém-se a do meu filho Bruno. A diferença das nossas idades é o triplo da idade do meu neto, que, por sua vez, tem um sétimo da minha idade.
O Augusto perguntou ainda: Terá sido pai adolescente?
- Muito longe disso, nem eu nem o meu filho fomos pais adolescentes, respondeu o velho Artur.

Afinal, quais são as idades do neto, do pai e do avô?

Dimensões A4

A folha de papel, de formato A4, garantidamente, nada tem a ver com uma empresa de automóveis alemã que produz Audis, aliás, com a mesma designação das folhas de papel que utilizamos mais vezes. A designação referente à letra, sabendo que não é por ser a inicial de Audi, poderá ser uma convenção para identificar aquele formato. No entanto, o número é que diferencia o tamanho das folhas.

Sabe-se que dobrando uma folha A4 obtém-se a folha A5. Esta correspondência permite deduzir que a área da folha A4 é o dobro da área da A5. Pela mesma razão se deduz que a folha A3 tem o dobro da área A4. Uma característica interessante e que merece referência é o facto do comprimento da folha ser sempre igual à medida da largura da folha imediatamente superior.

Outro facto interessante a ser observado, é que os diferentes formatos das folhas quando sobrepostas de tal modo que os seus lados maiores (p.e.) e os vértices correspondentes coincidam, implica que as suas diagonais fiquem sobre uma mesma recta.

Quer isto dizer que as folhas com os diferentes índices são semelhantes entre si.

Esta particularidade permite, nas fotocopiadoras, fazer ampliações e reduções sem haver qualquer desperdício de papel.

Também se verifica, por observação na primeira figura, que as medidas dos lados da folha de A0 e A4 estão numa razão de 4 para 1. Significa isto que os lados da folha A0 têm o quádruplo do comprimento dos lados da folha A4.

Penso que agora se possa deduzir o facto de se utilizar o valor 4 para definir o tamanho da folha. O quadrado desta razão de semelhança (4:1) é, portanto, a razão entre as suas áreas. Facilmente se comprova que a folha A0 é constituída por 16 folhas A4 (quatro ao quadrado).

Com um pouco mais de curiosidade matemática, estamos em condições de saber qual a área da folha A0. A partir do cálculo da área da folha A4, se multiplicarmos este valor por 16, obtemos um valor muito próximo do metro quadrado.

Assim, partindo-se do princípio que, (1) a folha A0 tem de ter um metro quadrado, (2) a divisão de qualquer folha pelo seu menor eixo de simetria origina duas folhas semelhantes à folha que lhes deu origem, só poderá haver uma única dimensão para a folha A4.

Sem medir os comprimentos dos lados, tente deduzir qual o comprimento e a largura da folha A4.

proposta de resolução

Latas em progressão aritmética

Uma pesquisa sobre a biografia de Friedrich Gauss leva-nos a um interessante episódio com mais de 200 anos, sendo já uma importante referência na história da matemática. Conta-se que este prestigioso matemático alemão, ao começar a dar os seus primeiros passos académicos, surpreendeu o seu professor quando sujeito a uma actividade matemática que consistia em determinar a soma de todos os números inteiros de 1 a 100.

Sendo uma tarefa muito penosa para todos os seus colegas, Gauss muito rapidamente, colocou em cima da secretária do professor a sua ardósia com a conclusão da tarefa. Sentindo a necessidade de justificar a sua rapidez, explicou ao professor que a soma seria o valor do produto de 50 pares de números por 101. Assim surge o número 5050. Valor ao qual, os colegas se renderam depois de meia hora de trabalho.

O raciocínio daquele aluno baseou-se na observação de que 1+100 = 2+98 = 3+97 = 4+96 = …= 50+51 = 101. Portanto, bastava adicionar 50 pares de números com o valor de 101.

Será que o leitor também já se tinha apercebido desta curiosidade? Experimente aplicar o mesmo raciocínio para determinar a soma de outra qualquer sequência do mesmo tipo. Em matemática estas sequências são conhecidas por progressões aritméticas - o termo seguinte, resulta da soma do termo anterior com um qualquer número que deve ser constante. Um exemplo de uma progressão aritmética é: 9, 12, 15, 18… em que a constante é 3. Querendo adicionar os 6 primeiros termos (9 + 12 + 15 + 18 + 21+ 24), de acordo com a descoberta de Gauss, é o mesmo que ter 33 + 33 + 33 = 3 x 33 = 99.

Este é um bom exemplo de como a matemática pode ser uma boa ferramenta para nos facilitar o trabalho, que em princípio, parecia ser exaustivo. Assim, tivesse a rapariga do hipermercado conhecimento disso e também ela teria a vida facilitada. A rapariga a que me refiro é a Catarina, funcionária numa empresa que vende salsichas enlatadas. Nunca gostou de matemática, e agora tem que dar conta, ao seu patrão, do número exacto de latas que utilizou na exposição feita no hipermercado.

As latas foram empilhadas de tal forma que cada uma está assente noutras duas latas, o que faz com que cada camada tenha menos uma lata que a camada de baixo.

O trabalho realizado pela Catarina é uma “parede” construída com as latas de salsichas distribuídas por 16 camadas, em que a última camada, a do cimo, tem 16 latas. Já fez 3 contagens e encontrou 3 números diferentes. Desesperada, pediu ajuda a uma colega para fazerem uma nova contagem, entretanto, foi encontrado um novo número. A sua amiga rapidamente se descartou daquela tarefa justificando-se que nunca tinha sido boa aluna a matemática.

É certo que Gauss já não vai poder ajudar a Catarina, mas deixou-nos a maior riqueza que se pode herdar - o conhecimento. É com base nesse conhecimento que conto com a solidariedade do leitor para ajudar a Catarina a determinar o número exacto de latas que utilizou naquela construção.

Comunicação matemática

A propósito da baixa de preços dos combustíveis, vários têm sido os comunicados a dar conta desse acontecimento. Mas com tantas baixas de preço, difícil é compreender como é que ainda só houve uma redução de cerca de 25% no preço do combustível, após ter atingido o seu valor máximo, quando a matéria-prima, sendo um factor determinante para o apuramento do preço ao consumidor final, (pelo menos sempre foi essa a justificação para o aumento do preço dos combustíveis), já desceu cerca de 70% em relação ao seu valor máximo.

Bom, mas isto é apenas um desabafo, o que me leva a escrever este artigo prende-se com a forma como são comunicados os novos valores do precioso líquido. Foram já vários os comunicados na rádio em que tive dificuldade na interpretação da comunicação. Será por se tratar de conteúdo essencialmente matemático?

Um dia destes ouvi na rádio, “a partir da meia-noite o combustível vai estar mais barato, sofre uma redução de zero, vírgula, zero, vinte e cinco cêntimos”. Quando não consigo atribuir significado a um número de euros, tenho a tendência para recorrer à moeda que ainda tenho como referência – o escudo, foi o caso. No entanto, o meu cálculo mental não foi suficientemente rápido para fazer a conversão. A jornalista adiantava: “o preço do litro do gasóleo passará a custar novecentos e quarenta e oito cêntimos”.

Fiquei ainda mais confuso. Afinal, trata-se de uma baixa de preço ou um agravamento substancial? Todos sabem que um euro ou cem cêntimos é a mesma quantia. Tratando-se de novecentos cêntimos, já nem quero saber do que vai para além disso, estão em causa, pelo menos, 9 euros.

Nem quero imaginar quando o preço do combustível possa chegar a esse valor. Faço votos, para que nessa altura, a dependência do gasóleo ou da gasolina seja a mesma como a que hoje temos em relação à água que corre no chafariz da aldeia.

Na comunicação social, torna-se evidente a falta de rigor da linguagem matemática, parecendo que a comunicação é perfeita, quando na verdade, é o receptor que a transforma, de acordo com a sua contextualização, naquilo que é previsível. Talvez seja esta a causa por haver necessidade de tantas rectificações orçamentais, principalmente quando envolvem grandes números. Só consigo compreender a coragem de ser feita uma comunicação deste teor, quando o comunicador fala de qualquer coisa para a qual não lhe atribui sentido.

É neste contexto, numa tentativa de percebermos o que é que falha nesta comunicação, que lanço o repto para uma análise mais cuidada. Pegando na frase que nos dá conta do abatimento do valor do combustível em “zero, vírgula, zero, vinte e cinco cêntimos”, ao certo, de quanto é este valor em escudos? Para facilitar os cálculos, considere por arredondamento, que um cêntimo equivale a 2 escudos. Recordo ainda que aquelas moedas, a que chamávamos “tostões”, eram necessárias 10 para obter um escudo. E que essas moedas, as mais antigas, ostentavam numa das suas faces o símbolo “X” e a palavra “centavos”.

Tabuada da multiplicação (com dedos)

Muitos professores do 1º ciclo têm reflectido na importância ou não, da insistência na memorização da tabuada.

Normalmente o que se decora acaba por ser esquecido, portanto, há um entendimento generalizado em dar prioridade à compreensão da tabuada em detrimento da sua memorização. A ideia que fica é que o aluno, em qualquer altura, consegue construir a tabuada não havendo portanto, a necessidade de a decorar.

No entanto, em níveis de escolaridade mais avançada os professores queixam-se dos alunos não saberem a tabuada. Esta situação impossibilita o desenvolvimento de outras técnicas de cálculo e exploração de novos conceitos matemáticos como sendo a equivalência de fracções, os múltiplos, os divisores, decomposição de números e outras inúmeras situações onde se pressupõe saber de imediato o produto de dois algarismos.

A questão da memorização, a meu ver, é uma actividade de especial importância na formação escolar. Talvez mais tarde ainda possamos ser apetrechados de chips que resolverão este problema. Mas até lá, vamos com certeza continuar a ter a necessidade de memorizar e, cabe à escola desenvolver no aluno, de acordo com a sua forma de pensar, a capacidade em descobrir as melhores técnicas que facilitem a sua memorização.

E porque a memorização requer um trabalho continuado, torna-se difícil a gestão do tempo face à ambição do próprio currículo escolar do aluno, com múltiplos tópicos matemáticos repletos de conceitos que vão pesando na responsabilidade do professor para fazer com que os seus alunos adquiram maior competência matemática.

Constata-se que a grande dificuldade na memorização da tabuada, na maior parte dos alunos, é a partir da tabuada do seis. É por isso que sugiro que se dê uma atenção especial a Édouard Lucas no seu livro, O jogo Militar. Segundo este autor, a cultura palestiniana e síria usam um algoritmo muito interessante que poderá ser um contributo valioso para que os nossos alunos aprendam a tabuada.

Partindo-se do princípio que o aluno não tem dificuldade em saber a tabuada até ao cinco, toda a outra tabuada se torna muito fácil. Assim, qualquer aluno poderá confirmar, de forma autónoma, o produto de dois números maiores que cinco e de um só dígito.

Tomemos como exemplo o produto de 7 por 8 (7x8). Basta representar o sete numa mão e o oito na outra mão. Dado que as mãos têm apenas cinco dedos, então recorremos aos dedos dos pés para ajudar nessa representação. Assim, tendo cinco dedos nos pés mais 2 dedos levantados na mão, será uma forma de representar o sete. Seguindo a mesma técnica não há dificuldade em representar o oito - três dedos levantados na mão.

Agora, é só adicionar os dedos “levantados”, 2+3=5, e juntar à direita deste, o produto obtido pelos dedos “deitados”, 3x2=6. Obtém-se assim 56 o que corresponde ao produto pretendido: 7x8=56.

Estou convicto que passando a olhar mais vezes para as mãos, este algoritmo que parece ser complicado no início, poderá entrar na rotina e, para além de ajudar a memorizar a tabuada, é um exercício que também desenvolve a abstracção do aluno e consolida outros conhecimentos a favor de outras novas técnicas de cálculo mental.

Repare que a soma dos dedos “levantados” corresponde ao número de dezenas, e o produto dos dedos “deitados” corresponde ao número de unidades. Estes dois valores adicionados dão sempre o resultado pretendido. Faço este reparo para que saiba aplicar o algoritmo quando pretende determinar 6x6 ou 6x7.

Fica agora a cargo do leitor perceber porque refiro estes dois casos especiais. Que técnica vulgarmente é usada nos nossos algoritmos que também aqui pode ser utilizada?

Divisão por três

Numa ou noutra situação todos nós já fomos confrontados com a necessidade de um ajuste de contas (no verdadeiro sentido da expressão), onde se pretende fazer o acerto das despesas comuns.

Também três amigos, na preparação de um passeio, decidiram que o almoço seria leitão. Ficou combinado que cada um levaria a sua bebida e o Gustavo com a responsabilidade de levar o assado.

Acontece que o Gustavo só conseguiu comprar 700g de leitão, era o último leitão do dia. Sendo francamente insuficiente para 3 pessoas, o Gustavo decidiu telefonar ao Bernardo para comprar no hipermercado, perto da sua casa, mais 500g de leitão.

No dia do passeio, já no final do almoço, altura que escolheram para fazer o ajuste de contas, o Eduardo chegou à conclusão que teria de pagar 6€, uma vez que a despesa com o leitão foi de 18€. É nesta altura que se levanta o problema. O Gustavo e o Bernardo ficaram, naquele momento, sem saber como dividir os seis euros entre si. No entanto, os dois amigos acabaram por acordar que o Gustavo ficaria com 3,50€ e o Bernardo com 2,50€.

Segundo o raciocínio do Gustavo deveriam dividir o dinheiro tendo em conta a mesma proporção de leitão com que cada um contribuiu. Até porque o preço do quilograma do leitão foi o mesmo.

O Bernardo acaba por concluir que as contas até eram boas de fazer uma vez que se tratava de 1200 g de leitão e, o dinheiro que pretendiam dividir eram 6€. Assim, 500g vai corresponder a 2,50€, esclarece o Bernardo, prontificando-se a entregar de imediato ao Gustavo, a diferença que vai para os 6€.

Entretanto, no dia seguinte, quando o Eduardo tomou conhecimento de tal divisão reprovou veementemente aquela forma de pensar. Segundo as contas feitas por este amigo, que sempre foi respeitado pelas provas académicas dadas, o Bernardo teria que ainda dar ao Gustavo 1 euro.

De facto, após a explicação do Eduardo, os outros dois amigos acabaram por perceber como tinham errado no seu raciocínio. No entanto, não pareciam muito convincentes com o resultado obtido. Principalmente o Guilherme, tendo subscrito o raciocínio do Eduardo, repetiu várias vezes as contas à procura do possível engano.

Como seria possível esse raciocínio ser o mais correcto e, levar a um resultado que parece ser tão injusto - o Bernardo ficaria apenas com 1,50€ e o Gustavo com 4,50€?

Será que o leitor com toda a sua justiça matemática consegue encontrar explicação para esta justa divisão que o Eduardo defende?

Um problema de reflexão

Ainda me lembro dos meus tempos de estudante em como a matemática era uma disciplina que só poderia agradar aos “abstractos”. Refiro-me aos “abstractos” como sendo aqueles que, por diversas razões, tiveram oportunidades de passar por múltiplas experiências, ganhando elevados níveis de abstracção o que lhes garantia uma maior competência  matemática.

Nesse tempo era mesmo difícil gostar da matemática, era caso para dizer que a matemática era “intragável”. O aluno não via qualquer utilidade no estudo desta matéria. As propostas de trabalho eram áridas, pouco ou nada apelativas, conquistando apenas os “abstractos”, como é o caso do exemplo seguinte:

Encontre o ponto P da recta r de modo que o comprimento da linha poligonal [APB] seja a menor possível.

Convenhamos que se trata de uma tarefa para a qual o aluno poderá revelar pouco interesse em resolvê-la. Qual o objectivo? Qual o interesse em descobrir onde está o ponto P?

No entanto é uma tarefa muito rica, visto implicar vários conhecimentos matemáticos, como por exemplo a distância entre um ponto e uma recta, a noção de reflexão,  a perpendicularidade, a implicação e o manuseamento de material como o esquadro, a régua e o compasso.

Hoje o trabalho do professor a nível didáctico-pedagógico é muito mais exigente. Também tem que “saber vender” o seu produto. É por isso que tem de gastar algum tempo na preparação da estratégia de “venda” – processo que não é valorizado por aqueles que estão de fora. Para além da selecção ou produção da tarefa onde se pretende a apropriação de novas aprendizagens, também é necessário que o professor, quando propõe a tarefa, tenha a mesma preocupação que o chefe de cozinha - para além do paladar, primeiro tem que ser agradável à vista. É claro que isto não é tarefa fácil para o professor. Por vezes, a melhor ideia talvez acabe por nunca ocorrer apesar do tempo dedicado a essa causa.

Neste caso, tornar um pouco mais agradável a actividade poderia passar por transformar o ponto A na casa do aluno e o ponto B a casota onde se encontra o seu cão de estimação, sendo a recta r o rio que passa junto à quinta do aluno. Agora pretende-se que o aluno vá ao rio encher o balde para levar água ao rafeiro. Para que o aluno faça a menor distância possível em que lugar deverá apanhar a água no rio?

Será que agora também o leitor já ficou curioso em encontrar o ponto P? Se imaginarmos a casota do cão na outra margem do rio, com certeza que o balde deveria ser cheio no ponto de intersecção do rio com o caminho, em linha recta, até à casota do cão. Não haverá um ponto na outra margem que possa corresponder ao lugar da casota do cão? Será que esta dica poderá ajudar a encontrar o ponto P?

proposta de resolução

Entre o possível e o impossível - as ilusões.

Com certeza que já ouviu dizer que uma imagem vale mais que mil palavras. Também um bom exemplo pode evitar muitas palavras quando se pretende transmitir uma ideia matemática. No entanto, pior que a falta de um exemplo poderá ser um mau exemplo.

E quando se trata de um bom exemplo que parece ser um mau exemplo? Não tenho dúvidas que a dúvida resiste.

É o exemplo da figura que se segue que pretende ser o exemplo de duas figuras geometricamente iguais, isto é, se as figuras forem sobrepostas elas coincidem ponto por ponto.

imagem retirada de Perelman,Yakov. Experiências e Problemas Matemáticos Recreativos II. EDITEC

Acredita que estas duas figuras são geometricamente iguais? Claro que não. Uma até parece ser mais larga e curta que a outra. Mas, de facto elas são geometricamente iguais. Faça a experiência, copie, recorte, sobreponha-as e verá que coincidem. Extraordinário como o nosso cérebro tem tendência para ver apenas aquilo que está habituado a ver.

Sem dúvida que estamos perante uma ilusão óptica, sensações que os especialistas tentam justificar a partir das nossas estruturas oculares e mentais e também como elas se combinam.

Esta faculdade do Homem se enganar sobre as suas sensações visuais permite a valia da arte enquanto apreciadores das mais variadíssimas expressões artísticas que, caso a visão fosse completamente perfeita, não iria conseguir percepcionar as suas representações.

Penso que a figura seguinte é um bom exemplo do que acabo de dizer. Há a tendência para ver os círculos da direita afundados e os da esquerda salientes. No entanto, se virar as figuras ao contrário, com certeza que vai mudar de opinião. Aliás, a figura da direita é a mesma da esquerda, apenas foi invertida.

Experimente agora fazer um teste para verificar se realmente o seu cérebro está a ver o que realmente deverá ver. Na verdade deveria ver circunferências. No entanto, só vai acreditar no que não vê se, por exemplo, passar com um lápis sobre as linhas.

imagem retirada de Perelman,Yakov. Experiências e Problemas Matemáticos Recreativos II. EDITEC

Mas não é caso para se assustar, há quem fique ainda mais baralhado. O vídeo que se segue, inspirado nas ilusões de M. C. Escher, é um trabalho magnífico que testemunha o que acabo de dizer.

Divisão de unidades indivisíveis

Malba Taban, pseudónimo do professor e autor brasileiro Júlio César de Mello e Souza, falecido no ano em que nós, Portugueses, conquistámos a nossa liberdade de expressão(?), deixa-nos uma panóplia de fábulas matemáticas dando vulto àquilo que ainda muitos de nós deprecia. Um bom exemplo é o seu livro “O homem que sabia contar”, onde, entre muitas histórias, relata uma que destaco precisamente por conseguir glória no seio das tertúlias dos nossos avós. Prepare-se então para poder também participar num assunto que, lamentavelmente, já não serve de tema nas tertúlias de hoje.

Segundo reza a história, durante uma calorosa discussão entre três irmãos, eis que surgem dois amigos montados num camelo que não conseguiram evitar uma paragem para apaziguar tal discussão. A falta de entendimento entre aqueles homens devia-se ao facto de não conseguirem fazer a divisão da herança de seu pai – 35 camelos. Não havia forma de chegarem a um consenso.

Segundo a vontade expressa do falecido, metade da herança seria para o seu filho mais velho, uma terça parte para o filho Hamed e, finalmente, para o filho mais novo, Harim, resta a nona parte da herança.

O filho mais velho reclama, pois, 18 camelos, uma vez que metade de 35 são 17,5. Esta pretensão não foi aceite pelos outros irmãos, dado que o mais velho já leva a maior parte da herança. Hamed tendo direito a uma terça parte, 11 camelos e ainda mais de metade de outro, com toda a justiça acha que deve ficar com 12 camelos. Mas, Harim discorda completamente porque segundo a vontade de seu pai a nona parte da herança são quase 4 camelos. Dado ser ele o que menos recebe, então o mais novo reclama para si o benefício do arredondamento à parte inteira mais próxima.

É nesta altura que intervém Beremiz - o homem que sabia contar, dizendo que o que mais o incomoda é ver 3 irmãos a discutir um problema que é dos mais simples de resolver. Contra a vontade do seu companheiro de viagem, Beremiz fez questão em juntar à herança também o camelo em que eles se deslocavam, ficando, assim, 36 camelos para repartir pelos três irmãos.

Impávidos e já mais serenos, acreditando que se tratava de obra divina o aparecimento e a bondade de tal criatura, os três irmãos aceitaram que fosse Beremiz, com justiça, a fazer tal divisão.

Não havendo dúvidas que metade do conjunto de 36 camelos são 18, Hamed e Harim deixaram partir o seu irmão mais velho com o número de camelos que antes reclamara. Também Hamed ficou satisfeito, dado que uma terça parte de 36 era precisamente aquilo que ele pretendia, 12 camelos. Por fim, também Harim não se pode queixar, uma vez que a nona parte da nova herança dava-lhe direito a que ficasse com 4 camelos.

Concluindo, todos os irmãos saíram a lucrar com aquela divisão 18 + 12 + 4, fazendo um total de 34 camelos. Perante este facto o companheiro de viagem de Beremiz nem queria acreditar como era possível aquele entendimento e agora poderem prosseguir a sua viagem montados cada um em seu camelo.

Antes que o leitor se envolva também numa situação semelhante, sugiro que não se precipite em juntar o seu automóvel a uma possível herança. Em primeiro lugar reflicta sobre o sucedido neste caso dos camelos de modo a encontrar uma explicação para o ocorrido. Só assim ganhará o poder de se transformar também num Homem que sabe contar!

proposta de resolução