Comunicação matemática

A propósito da baixa de preços dos combustíveis, vários têm sido os comunicados a dar conta desse acontecimento. Mas com tantas baixas de preço, difícil é compreender como é que ainda só houve uma redução de cerca de 25% no preço do combustível, após ter atingido o seu valor máximo, quando a matéria-prima, sendo um factor determinante para o apuramento do preço ao consumidor final, (pelo menos sempre foi essa a justificação para o aumento do preço dos combustíveis), já desceu cerca de 70% em relação ao seu valor máximo.

Bom, mas isto é apenas um desabafo, o que me leva a escrever este artigo prende-se com a forma como são comunicados os novos valores do precioso líquido. Foram já vários os comunicados na rádio em que tive dificuldade na interpretação da comunicação. Será por se tratar de conteúdo essencialmente matemático?

Um dia destes ouvi na rádio, “a partir da meia-noite o combustível vai estar mais barato, sofre uma redução de zero, vírgula, zero, vinte e cinco cêntimos”. Quando não consigo atribuir significado a um número de euros, tenho a tendência para recorrer à moeda que ainda tenho como referência – o escudo, foi o caso. No entanto, o meu cálculo mental não foi suficientemente rápido para fazer a conversão. A jornalista adiantava: “o preço do litro do gasóleo passará a custar novecentos e quarenta e oito cêntimos”.

Fiquei ainda mais confuso. Afinal, trata-se de uma baixa de preço ou um agravamento substancial? Todos sabem que um euro ou cem cêntimos é a mesma quantia. Tratando-se de novecentos cêntimos, já nem quero saber do que vai para além disso, estão em causa, pelo menos, 9 euros.

Nem quero imaginar quando o preço do combustível possa chegar a esse valor. Faço votos, para que nessa altura, a dependência do gasóleo ou da gasolina seja a mesma como a que hoje temos em relação à água que corre no chafariz da aldeia.

Na comunicação social, torna-se evidente a falta de rigor da linguagem matemática, parecendo que a comunicação é perfeita, quando na verdade, é o receptor que a transforma, de acordo com a sua contextualização, naquilo que é previsível. Talvez seja esta a causa por haver necessidade de tantas rectificações orçamentais, principalmente quando envolvem grandes números. Só consigo compreender a coragem de ser feita uma comunicação deste teor, quando o comunicador fala de qualquer coisa para a qual não lhe atribui sentido.

É neste contexto, numa tentativa de percebermos o que é que falha nesta comunicação, que lanço o repto para uma análise mais cuidada. Pegando na frase que nos dá conta do abatimento do valor do combustível em “zero, vírgula, zero, vinte e cinco cêntimos”, ao certo, de quanto é este valor em escudos? Para facilitar os cálculos, considere por arredondamento, que um cêntimo equivale a 2 escudos. Recordo ainda que aquelas moedas, a que chamávamos “tostões”, eram necessárias 10 para obter um escudo. E que essas moedas, as mais antigas, ostentavam numa das suas faces o símbolo “X” e a palavra “centavos”.

Tabuada da multiplicação (com dedos)

Muitos professores do 1º ciclo têm reflectido na importância ou não, da insistência na memorização da tabuada.

Normalmente o que se decora acaba por ser esquecido, portanto, há um entendimento generalizado em dar prioridade à compreensão da tabuada em detrimento da sua memorização. A ideia que fica é que o aluno, em qualquer altura, consegue construir a tabuada não havendo portanto, a necessidade de a decorar.

No entanto, em níveis de escolaridade mais avançada os professores queixam-se dos alunos não saberem a tabuada. Esta situação impossibilita o desenvolvimento de outras técnicas de cálculo e exploração de novos conceitos matemáticos como sendo a equivalência de fracções, os múltiplos, os divisores, decomposição de números e outras inúmeras situações onde se pressupõe saber de imediato o produto de dois algarismos.

A questão da memorização, a meu ver, é uma actividade de especial importância na formação escolar. Talvez mais tarde ainda possamos ser apetrechados de chips que resolverão este problema. Mas até lá, vamos com certeza continuar a ter a necessidade de memorizar e, cabe à escola desenvolver no aluno, de acordo com a sua forma de pensar, a capacidade em descobrir as melhores técnicas que facilitem a sua memorização.

E porque a memorização requer um trabalho continuado, torna-se difícil a gestão do tempo face à ambição do próprio currículo escolar do aluno, com múltiplos tópicos matemáticos repletos de conceitos que vão pesando na responsabilidade do professor para fazer com que os seus alunos adquiram maior competência matemática.

Constata-se que a grande dificuldade na memorização da tabuada, na maior parte dos alunos, é a partir da tabuada do seis. É por isso que sugiro que se dê uma atenção especial a Édouard Lucas no seu livro, O jogo Militar. Segundo este autor, a cultura palestiniana e síria usam um algoritmo muito interessante que poderá ser um contributo valioso para que os nossos alunos aprendam a tabuada.

Partindo-se do princípio que o aluno não tem dificuldade em saber a tabuada até ao cinco, toda a outra tabuada se torna muito fácil. Assim, qualquer aluno poderá confirmar, de forma autónoma, o produto de dois números maiores que cinco e de um só dígito.

Tomemos como exemplo o produto de 7 por 8 (7x8). Basta representar o sete numa mão e o oito na outra mão. Dado que as mãos têm apenas cinco dedos, então recorremos aos dedos dos pés para ajudar nessa representação. Assim, tendo cinco dedos nos pés mais 2 dedos levantados na mão, será uma forma de representar o sete. Seguindo a mesma técnica não há dificuldade em representar o oito - três dedos levantados na mão.

Agora, é só adicionar os dedos “levantados”, 2+3=5, e juntar à direita deste, o produto obtido pelos dedos “deitados”, 3x2=6. Obtém-se assim 56 o que corresponde ao produto pretendido: 7x8=56.

Estou convicto que passando a olhar mais vezes para as mãos, este algoritmo que parece ser complicado no início, poderá entrar na rotina e, para além de ajudar a memorizar a tabuada, é um exercício que também desenvolve a abstracção do aluno e consolida outros conhecimentos a favor de outras novas técnicas de cálculo mental.

Repare que a soma dos dedos “levantados” corresponde ao número de dezenas, e o produto dos dedos “deitados” corresponde ao número de unidades. Estes dois valores adicionados dão sempre o resultado pretendido. Faço este reparo para que saiba aplicar o algoritmo quando pretende determinar 6x6 ou 6x7.

Fica agora a cargo do leitor perceber porque refiro estes dois casos especiais. Que técnica vulgarmente é usada nos nossos algoritmos que também aqui pode ser utilizada?

Divisão por três

Numa ou noutra situação todos nós já fomos confrontados com a necessidade de um ajuste de contas (no verdadeiro sentido da expressão), onde se pretende fazer o acerto das despesas comuns.

Também três amigos, na preparação de um passeio, decidiram que o almoço seria leitão. Ficou combinado que cada um levaria a sua bebida e o Gustavo com a responsabilidade de levar o assado.

Acontece que o Gustavo só conseguiu comprar 700g de leitão, era o último leitão do dia. Sendo francamente insuficiente para 3 pessoas, o Gustavo decidiu telefonar ao Bernardo para comprar no hipermercado, perto da sua casa, mais 500g de leitão.

No dia do passeio, já no final do almoço, altura que escolheram para fazer o ajuste de contas, o Eduardo chegou à conclusão que teria de pagar 6€, uma vez que a despesa com o leitão foi de 18€. É nesta altura que se levanta o problema. O Gustavo e o Bernardo ficaram, naquele momento, sem saber como dividir os seis euros entre si. No entanto, os dois amigos acabaram por acordar que o Gustavo ficaria com 3,50€ e o Bernardo com 2,50€.

Segundo o raciocínio do Gustavo deveriam dividir o dinheiro tendo em conta a mesma proporção de leitão com que cada um contribuiu. Até porque o preço do quilograma do leitão foi o mesmo.

O Bernardo acaba por concluir que as contas até eram boas de fazer uma vez que se tratava de 1200 g de leitão e, o dinheiro que pretendiam dividir eram 6€. Assim, 500g vai corresponder a 2,50€, esclarece o Bernardo, prontificando-se a entregar de imediato ao Gustavo, a diferença que vai para os 6€.

Entretanto, no dia seguinte, quando o Eduardo tomou conhecimento de tal divisão reprovou veementemente aquela forma de pensar. Segundo as contas feitas por este amigo, que sempre foi respeitado pelas provas académicas dadas, o Bernardo teria que ainda dar ao Gustavo 1 euro.

De facto, após a explicação do Eduardo, os outros dois amigos acabaram por perceber como tinham errado no seu raciocínio. No entanto, não pareciam muito convincentes com o resultado obtido. Principalmente o Guilherme, tendo subscrito o raciocínio do Eduardo, repetiu várias vezes as contas à procura do possível engano.

Como seria possível esse raciocínio ser o mais correcto e, levar a um resultado que parece ser tão injusto - o Bernardo ficaria apenas com 1,50€ e o Gustavo com 4,50€?

Será que o leitor com toda a sua justiça matemática consegue encontrar explicação para esta justa divisão que o Eduardo defende?

Um problema de reflexão

Ainda me lembro dos meus tempos de estudante em como a matemática era uma disciplina que só poderia agradar aos “abstractos”. Refiro-me aos “abstractos” como sendo aqueles que, por diversas razões, tiveram oportunidades de passar por múltiplas experiências, ganhando elevados níveis de abstracção o que lhes garantia uma maior competência  matemática.

Nesse tempo era mesmo difícil gostar da matemática, era caso para dizer que a matemática era “intragável”. O aluno não via qualquer utilidade no estudo desta matéria. As propostas de trabalho eram áridas, pouco ou nada apelativas, conquistando apenas os “abstractos”, como é o caso do exemplo seguinte:

Encontre o ponto P da recta r de modo que o comprimento da linha poligonal [APB] seja a menor possível.

Convenhamos que se trata de uma tarefa para a qual o aluno poderá revelar pouco interesse em resolvê-la. Qual o objectivo? Qual o interesse em descobrir onde está o ponto P?

No entanto é uma tarefa muito rica, visto implicar vários conhecimentos matemáticos, como por exemplo a distância entre um ponto e uma recta, a noção de reflexão,  a perpendicularidade, a implicação e o manuseamento de material como o esquadro, a régua e o compasso.

Hoje o trabalho do professor a nível didáctico-pedagógico é muito mais exigente. Também tem que “saber vender” o seu produto. É por isso que tem de gastar algum tempo na preparação da estratégia de “venda” – processo que não é valorizado por aqueles que estão de fora. Para além da selecção ou produção da tarefa onde se pretende a apropriação de novas aprendizagens, também é necessário que o professor, quando propõe a tarefa, tenha a mesma preocupação que o chefe de cozinha - para além do paladar, primeiro tem que ser agradável à vista. É claro que isto não é tarefa fácil para o professor. Por vezes, a melhor ideia talvez acabe por nunca ocorrer apesar do tempo dedicado a essa causa.

Neste caso, tornar um pouco mais agradável a actividade poderia passar por transformar o ponto A na casa do aluno e o ponto B a casota onde se encontra o seu cão de estimação, sendo a recta r o rio que passa junto à quinta do aluno. Agora pretende-se que o aluno vá ao rio encher o balde para levar água ao rafeiro. Para que o aluno faça a menor distância possível em que lugar deverá apanhar a água no rio?

Será que agora também o leitor já ficou curioso em encontrar o ponto P? Se imaginarmos a casota do cão na outra margem do rio, com certeza que o balde deveria ser cheio no ponto de intersecção do rio com o caminho, em linha recta, até à casota do cão. Não haverá um ponto na outra margem que possa corresponder ao lugar da casota do cão? Será que esta dica poderá ajudar a encontrar o ponto P?

proposta de resolução

Entre o possível e o impossível - as ilusões.

Com certeza que já ouviu dizer que uma imagem vale mais que mil palavras. Também um bom exemplo pode evitar muitas palavras quando se pretende transmitir uma ideia matemática. No entanto, pior que a falta de um exemplo poderá ser um mau exemplo.

E quando se trata de um bom exemplo que parece ser um mau exemplo? Não tenho dúvidas que a dúvida resiste.

É o exemplo da figura que se segue que pretende ser o exemplo de duas figuras geometricamente iguais, isto é, se as figuras forem sobrepostas elas coincidem ponto por ponto.

imagem retirada de Perelman,Yakov. Experiências e Problemas Matemáticos Recreativos II. EDITEC

Acredita que estas duas figuras são geometricamente iguais? Claro que não. Uma até parece ser mais larga e curta que a outra. Mas, de facto elas são geometricamente iguais. Faça a experiência, copie, recorte, sobreponha-as e verá que coincidem. Extraordinário como o nosso cérebro tem tendência para ver apenas aquilo que está habituado a ver.

Sem dúvida que estamos perante uma ilusão óptica, sensações que os especialistas tentam justificar a partir das nossas estruturas oculares e mentais e também como elas se combinam.

Esta faculdade do Homem se enganar sobre as suas sensações visuais permite a valia da arte enquanto apreciadores das mais variadíssimas expressões artísticas que, caso a visão fosse completamente perfeita, não iria conseguir percepcionar as suas representações.

Penso que a figura seguinte é um bom exemplo do que acabo de dizer. Há a tendência para ver os círculos da direita afundados e os da esquerda salientes. No entanto, se virar as figuras ao contrário, com certeza que vai mudar de opinião. Aliás, a figura da direita é a mesma da esquerda, apenas foi invertida.

Experimente agora fazer um teste para verificar se realmente o seu cérebro está a ver o que realmente deverá ver. Na verdade deveria ver circunferências. No entanto, só vai acreditar no que não vê se, por exemplo, passar com um lápis sobre as linhas.

imagem retirada de Perelman,Yakov. Experiências e Problemas Matemáticos Recreativos II. EDITEC

Mas não é caso para se assustar, há quem fique ainda mais baralhado. O vídeo que se segue, inspirado nas ilusões de M. C. Escher, é um trabalho magnífico que testemunha o que acabo de dizer.

Divisão de unidades indivisíveis

Malba Taban, pseudónimo do professor e autor brasileiro Júlio César de Mello e Souza, falecido no ano em que nós, Portugueses, conquistámos a nossa liberdade de expressão(?), deixa-nos uma panóplia de fábulas matemáticas dando vulto àquilo que ainda muitos de nós deprecia. Um bom exemplo é o seu livro “O homem que sabia contar”, onde, entre muitas histórias, relata uma que destaco precisamente por conseguir glória no seio das tertúlias dos nossos avós. Prepare-se então para poder também participar num assunto que, lamentavelmente, já não serve de tema nas tertúlias de hoje.

Segundo reza a história, durante uma calorosa discussão entre três irmãos, eis que surgem dois amigos montados num camelo que não conseguiram evitar uma paragem para apaziguar tal discussão. A falta de entendimento entre aqueles homens devia-se ao facto de não conseguirem fazer a divisão da herança de seu pai – 35 camelos. Não havia forma de chegarem a um consenso.

Segundo a vontade expressa do falecido, metade da herança seria para o seu filho mais velho, uma terça parte para o filho Hamed e, finalmente, para o filho mais novo, Harim, resta a nona parte da herança.

O filho mais velho reclama, pois, 18 camelos, uma vez que metade de 35 são 17,5. Esta pretensão não foi aceite pelos outros irmãos, dado que o mais velho já leva a maior parte da herança. Hamed tendo direito a uma terça parte, 11 camelos e ainda mais de metade de outro, com toda a justiça acha que deve ficar com 12 camelos. Mas, Harim discorda completamente porque segundo a vontade de seu pai a nona parte da herança são quase 4 camelos. Dado ser ele o que menos recebe, então o mais novo reclama para si o benefício do arredondamento à parte inteira mais próxima.

É nesta altura que intervém Beremiz - o homem que sabia contar, dizendo que o que mais o incomoda é ver 3 irmãos a discutir um problema que é dos mais simples de resolver. Contra a vontade do seu companheiro de viagem, Beremiz fez questão em juntar à herança também o camelo em que eles se deslocavam, ficando, assim, 36 camelos para repartir pelos três irmãos.

Impávidos e já mais serenos, acreditando que se tratava de obra divina o aparecimento e a bondade de tal criatura, os três irmãos aceitaram que fosse Beremiz, com justiça, a fazer tal divisão.

Não havendo dúvidas que metade do conjunto de 36 camelos são 18, Hamed e Harim deixaram partir o seu irmão mais velho com o número de camelos que antes reclamara. Também Hamed ficou satisfeito, dado que uma terça parte de 36 era precisamente aquilo que ele pretendia, 12 camelos. Por fim, também Harim não se pode queixar, uma vez que a nona parte da nova herança dava-lhe direito a que ficasse com 4 camelos.

Concluindo, todos os irmãos saíram a lucrar com aquela divisão 18 + 12 + 4, fazendo um total de 34 camelos. Perante este facto o companheiro de viagem de Beremiz nem queria acreditar como era possível aquele entendimento e agora poderem prosseguir a sua viagem montados cada um em seu camelo.

Antes que o leitor se envolva também numa situação semelhante, sugiro que não se precipite em juntar o seu automóvel a uma possível herança. Em primeiro lugar reflicta sobre o sucedido neste caso dos camelos de modo a encontrar uma explicação para o ocorrido. Só assim ganhará o poder de se transformar também num Homem que sabe contar!

proposta de resolução

Operações vs algoritmos

Sempre foi assim, na escola, a primeira operação a aprender é adição e em segundo lugar a subtracção. Mas, o que é isto de aprender a subtracção? Ainda me lembro do meu pai me dizer que já sabia “fazer subtracções”, após eu ter feito uma “conta de menos armadilhada”. Digo armadilhada porque havia ordens em que o aditivo tinha valores menores que no subtractivo, o que elevava o grau de dificuldade para resolver aquele algoritmo.

Mas também há quem consiga efectuar a subtracção sem ter de recorrer a lápis e papel. E neste caso, quem faz o cálculo mentalmente, não pode ser reconhecido com a aptidão de “saber a subtracção”? Com certeza que estamos a falar de coisas distintas. Uma é o conceito da operação em si – a subtracção, outra é a técnica que utilizo para efectuar a operação - o algoritmo.

A Lucy é uma rapariga que recorreu a uma técnica interessante para fazer uma subtracção mas que, no início, baralhou a sua nova professora.

O algoritmo que apresentou foi o seguinte:

A professora admirada e tentando perceber o raciocínio da Lucy pediu-lhe que explicasse o que ali escreveu. A Lucy meio atrapalhada revelou que não tinha dificuldade em subtrair um número a outro que fosse maior. Mas, quando assim não acontece precisa de utilizar uma estratégia auxiliar, de modo a tornar compreensíveis os seus procedimentos. É o que acontece neste algoritmo nas ordens das dezenas e centenas.

Passou então a explicar:

Na ordem das unidades não tem problema, de 9 retiro 2, restam 7.

Na ordem das dezenas pretende-se retirar 6 a 2, o que não é possível. Mas retirar 6 é o mesmo que adicionar 4 e retirar 1 dezena. É isso mesmo que faço: 2 mais 4 são 6 e coloco a dezena para a poder retirar mais tarde.

O mesmo acontece em relação à ordem das centenas, pretende-se retirar 8. É o mesmo que adicionar 2 e retirar 1 dezena. Então, 3 mais 2 são 5 centenas e coloco novamente a dezena de centena para a poder retirar a seguir.

Finalmente, na ordem das unidades de milhar não há problema, a diferença entre 7 e 4 são 3. Resta agora retirar uma dezena de dezena e uma dezena de centena que foram adicionadas ao número, o que já não oferece dificuldade.



A professora, a partir de uma segunda explicação da Lucy, acabou por validar o seu raciocínio mas, convicta que se tratava de um processo muito mais complicado, tentou persuadir a aluna na utilização do algoritmo convencional.

A argumentação da aluna foi completamente convincente ao admitir que se tivesse de utilizar o algoritmo tradicional para fazer a subtracção, muito provavelmente se iria enganar porque não percebia os procedimentos deste algoritmo, embora se trate de uma aluna do 4º ano de escolaridade.

Assim, quando numa ordem o aditivo é menor que o subtractivo, então, só precisaria de fazer a adição do aditivo com o complementar do subtractivo. Note-se que o complementar de um número é a diferença entre a próxima potência de base 10 e esse número. Neste caso porque se tratam de números inferiores a 10, os pares (1,9), (2,8) (3,7) e (4,6) são complementares.
Levanta-se então a questão se o algoritmo utilizado pela Lucy não tem a mesma validade que o vulgar algoritmo da Subtracção.

Esta aluna revelou ter sentido do número, o reconhecimento do valor de posição e um bom domínio do conceito de subtracção. Mais, não se pode pedir.

A professora também aprendeu que o para o estabelecimento de uma relação forte entre professor/aluno, fundamental no processo ensino/aprendizagem, também passa por respeitar os próprios processos de cada aluno.

E o caro leitor, o conceito que tem de subtracção será que é suficiente para poder explicar quando diz “e vai um”, um quê? E porquê?

Dias depois, a mesma professora, após ter verificado os trabalhos de casa pediu ao Télen, novo aluno na turma - imigrante, que explicasse aos seus colegas outra forma de poder efectuar uma divisão.

O algoritmo utilizado no seu TPC era o seguinte:


Não quererá o leitor tentar interpretar o raciocínio do Télen?

proposta de resolução

Um plano, três pontos

Alunos mais fracos na disciplina de matemática ainda tentam justificar o seu insucesso por não verem utilidade prática nesta área de estudo para o seu futuro. No entanto, nas actividades mais recreativas, estes mesmos alunos, embora não o reconhecendo, acabam por quantificar e aferir os procedimentos envolvidos tendo em vista o objectivo de seleccionar o vencedor.

É, portanto, premente levar esses alunos a reconhecer a importância da matemática nas actividades do dia-a-dia. É também importante o reconhecimento do significado que algumas ideias e conceitos matemáticos poderão ter, como também é fundamental que, às aprendizagens adquiridas, lhes sejam atribuídas aplicação prática, de modo a que o aluno se aperceba da necessidade da fundamentação teórica para apropriação do conhecimento matemático.

A exemplo do que é dito, uma pergunta que poderá surgir do aluno: qual o interesse em saber que um plano fica definido apenas por três pontos?

Na verdade, este conhecimento matemático terá algum interesse prático senão servir como premissa de suporte a novos conceitos? Não quererá o leitor pensar num argumento convincente em como este conhecimento terá implicação directa nalguma aplicação prática do quotidiano?

É de notar que do conhecimento popular é sabido que a melhor opção para uma mesa que não oscile, é ter apenas três pernas.

Problemas com moedas

A resolução de problemas é reconhecida universalmente como sendo um item fundamental e de especial relevância nas aprendizagens. É indiscutivelmente um processo que promove o desenvolvimento do raciocínio e a construção de processos cognitivos de nível superior, como seja conjecturar, testar, validar, reflectir…

Mesmo assim, o conceito de problema ainda hoje não converge no seio da comunidade educativa. Tanto que, são vários os investimentos por parte de alguns matemáticos que se empenham na melhor definição deste conceito. Mas, partilhando a ideia de que um bom problema, entre outras características, deve ser interessante, desafiador, sem resposta imediata, mas cuja resolução seja possível por parte do resolvedor, contudo, nem sempre é possível reunir todas elas, pois existe uma comunidade de resolvedores muito heterogénea.

Serve de exemplo um problema de Brian Bolt, matemático que muito tem contribuído para motivar o interesse pela matemática. Trata-se de um problema desafiador que, caso o leitor já o conheça, deixará de ser um desafio, e por conseguinte, perderá algum do seu interesse natural.

“Disponha de oito moedas, como se indica na figura formando um quadrado com três moedas em cada lado.

Agora desloque quatro moedas para formar um quadrado com quatro moedas em cada lado!”

Por favor não continue a leitura enquanto não pensar um pouco na resolução do problema.

Este problema é normalmente classificado como sendo de tipo puzzle – não necessita de grandes conhecimentos para ser resolvido, a solução pode surgir num clique, a tal Eureka!

A disposição das moedas apresentada já é algo interessante e até poderia servir de solução a outro problema onde fosse necessário formar 8 soldados em 4 filas havendo apenas 3 soldados em cada fila.

O que poderia parecer impossível, por falta de 4 soldados, afinal, torna-se de fácil resolução se 4 soldados puderem ser contados duas vezes. Assim a disposição em quadrado, como na figura, seria a solução. O soldado que fica no vértice do quadrado será contado duas vezes.

A partir desta experiência torna-se mais fácil a descoberta da solução do problema proposto. Também neste caso para se obter um quadrado com 4 moedas em cada lado, e dispondo apenas de 8 moedas, só nos resta dispô-las de tal forma que cada moeda possa ser contada duas vezes, isto é, cada moeda tem que estar simultaneamente em dois lados.

Assim, basta deslocar as 4 moedas que se encontram no meio de cada lado e sobrepô-las nas moedas que formam os vértices. Temos assim 4 moedas em cada lado num quadrado formado por oito moedas. Interessante, não é?! Quando se sabe, é fácil!

Mas, tão fácil como esta resolução é também uma outra para o problema que apresento de seguida. Na minha opinião, trata-se de um problema dos mais fascinantes devido à facilidade com que pode ser resolvido mas, à primeira vista, parece ser impossível de resolver.

Imagine-se na situação de um condenado à morte que apenas tem uma só noite até à sua execução. Na masmorra onde está preso não entra qualquer luz. Os soldados visitam-no pela última vez para lhe transmitirem a decisão que o imperador tomou por influência do povo, uma vez que sabiam que você era um bom resolvedor de problemas.

Um soldado lê o comunicado: como podes verificar, ficam aqui na mesa 40 moedas. Apenas 18 destas moedas estão viradas com a cara para cima. Se amanhã quando te viermos buscar, as moedas estiverem divididas em 2 grupos, de forma que os 2 grupos tenham o mesmo número de moedas com a cara virada para cima, então, não serás executado.

Os soldados saem, fecham a porta, e fica completamente escuro sem ter qualquer possibilidade de ver as moedas.

O que faria para não ser executado?

Nota: O desgaste das moedas não lhe permite através do tacto identificar a cara ou a coroa da moeda. Caso não encontre a solução de imediato, sugiro que tente reduzir o problema a uma situação mais simples simulando-o com poucas moedas.

proposta de resolução