Entre o possível e o impossível - as ilusões.

Com certeza que já ouviu dizer que uma imagem vale mais que mil palavras. Também um bom exemplo pode evitar muitas palavras quando se pretende transmitir uma ideia matemática. No entanto, pior que a falta de um exemplo poderá ser um mau exemplo.

E quando se trata de um bom exemplo que parece ser um mau exemplo? Não tenho dúvidas que a dúvida resiste.

É o exemplo da figura que se segue que pretende ser o exemplo de duas figuras geometricamente iguais, isto é, se as figuras forem sobrepostas elas coincidem ponto por ponto.

imagem retirada de Perelman,Yakov. Experiências e Problemas Matemáticos Recreativos II. EDITEC

Acredita que estas duas figuras são geometricamente iguais? Claro que não. Uma até parece ser mais larga e curta que a outra. Mas, de facto elas são geometricamente iguais. Faça a experiência, copie, recorte, sobreponha-as e verá que coincidem. Extraordinário como o nosso cérebro tem tendência para ver apenas aquilo que está habituado a ver.

Sem dúvida que estamos perante uma ilusão óptica, sensações que os especialistas tentam justificar a partir das nossas estruturas oculares e mentais e também como elas se combinam.

Esta faculdade do Homem se enganar sobre as suas sensações visuais permite a valia da arte enquanto apreciadores das mais variadíssimas expressões artísticas que, caso a visão fosse completamente perfeita, não iria conseguir percepcionar as suas representações.

Penso que a figura seguinte é um bom exemplo do que acabo de dizer. Há a tendência para ver os círculos da direita afundados e os da esquerda salientes. No entanto, se virar as figuras ao contrário, com certeza que vai mudar de opinião. Aliás, a figura da direita é a mesma da esquerda, apenas foi invertida.

Experimente agora fazer um teste para verificar se realmente o seu cérebro está a ver o que realmente deverá ver. Na verdade deveria ver circunferências. No entanto, só vai acreditar no que não vê se, por exemplo, passar com um lápis sobre as linhas.

imagem retirada de Perelman,Yakov. Experiências e Problemas Matemáticos Recreativos II. EDITEC

Mas não é caso para se assustar, há quem fique ainda mais baralhado. O vídeo que se segue, inspirado nas ilusões de M. C. Escher, é um trabalho magnífico que testemunha o que acabo de dizer.

Divisão de unidades indivisíveis

Malba Taban, pseudónimo do professor e autor brasileiro Júlio César de Mello e Souza, falecido no ano em que nós, Portugueses, conquistámos a nossa liberdade de expressão(?), deixa-nos uma panóplia de fábulas matemáticas dando vulto àquilo que ainda muitos de nós deprecia. Um bom exemplo é o seu livro “O homem que sabia contar”, onde, entre muitas histórias, relata uma que destaco precisamente por conseguir glória no seio das tertúlias dos nossos avós. Prepare-se então para poder também participar num assunto que, lamentavelmente, já não serve de tema nas tertúlias de hoje.

Segundo reza a história, durante uma calorosa discussão entre três irmãos, eis que surgem dois amigos montados num camelo que não conseguiram evitar uma paragem para apaziguar tal discussão. A falta de entendimento entre aqueles homens devia-se ao facto de não conseguirem fazer a divisão da herança de seu pai – 35 camelos. Não havia forma de chegarem a um consenso.

Segundo a vontade expressa do falecido, metade da herança seria para o seu filho mais velho, uma terça parte para o filho Hamed e, finalmente, para o filho mais novo, Harim, resta a nona parte da herança.

O filho mais velho reclama, pois, 18 camelos, uma vez que metade de 35 são 17,5. Esta pretensão não foi aceite pelos outros irmãos, dado que o mais velho já leva a maior parte da herança. Hamed tendo direito a uma terça parte, 11 camelos e ainda mais de metade de outro, com toda a justiça acha que deve ficar com 12 camelos. Mas, Harim discorda completamente porque segundo a vontade de seu pai a nona parte da herança são quase 4 camelos. Dado ser ele o que menos recebe, então o mais novo reclama para si o benefício do arredondamento à parte inteira mais próxima.

É nesta altura que intervém Beremiz - o homem que sabia contar, dizendo que o que mais o incomoda é ver 3 irmãos a discutir um problema que é dos mais simples de resolver. Contra a vontade do seu companheiro de viagem, Beremiz fez questão em juntar à herança também o camelo em que eles se deslocavam, ficando, assim, 36 camelos para repartir pelos três irmãos.

Impávidos e já mais serenos, acreditando que se tratava de obra divina o aparecimento e a bondade de tal criatura, os três irmãos aceitaram que fosse Beremiz, com justiça, a fazer tal divisão.

Não havendo dúvidas que metade do conjunto de 36 camelos são 18, Hamed e Harim deixaram partir o seu irmão mais velho com o número de camelos que antes reclamara. Também Hamed ficou satisfeito, dado que uma terça parte de 36 era precisamente aquilo que ele pretendia, 12 camelos. Por fim, também Harim não se pode queixar, uma vez que a nona parte da nova herança dava-lhe direito a que ficasse com 4 camelos.

Concluindo, todos os irmãos saíram a lucrar com aquela divisão 18 + 12 + 4, fazendo um total de 34 camelos. Perante este facto o companheiro de viagem de Beremiz nem queria acreditar como era possível aquele entendimento e agora poderem prosseguir a sua viagem montados cada um em seu camelo.

Antes que o leitor se envolva também numa situação semelhante, sugiro que não se precipite em juntar o seu automóvel a uma possível herança. Em primeiro lugar reflicta sobre o sucedido neste caso dos camelos de modo a encontrar uma explicação para o ocorrido. Só assim ganhará o poder de se transformar também num Homem que sabe contar!

proposta de resolução

Operações vs algoritmos

Sempre foi assim, na escola, a primeira operação a aprender é adição e em segundo lugar a subtracção. Mas, o que é isto de aprender a subtracção? Ainda me lembro do meu pai me dizer que já sabia “fazer subtracções”, após eu ter feito uma “conta de menos armadilhada”. Digo armadilhada porque havia ordens em que o aditivo tinha valores menores que no subtractivo, o que elevava o grau de dificuldade para resolver aquele algoritmo.

Mas também há quem consiga efectuar a subtracção sem ter de recorrer a lápis e papel. E neste caso, quem faz o cálculo mentalmente, não pode ser reconhecido com a aptidão de “saber a subtracção”? Com certeza que estamos a falar de coisas distintas. Uma é o conceito da operação em si – a subtracção, outra é a técnica que utilizo para efectuar a operação - o algoritmo.

A Lucy é uma rapariga que recorreu a uma técnica interessante para fazer uma subtracção mas que, no início, baralhou a sua nova professora.

O algoritmo que apresentou foi o seguinte:

A professora admirada e tentando perceber o raciocínio da Lucy pediu-lhe que explicasse o que ali escreveu. A Lucy meio atrapalhada revelou que não tinha dificuldade em subtrair um número a outro que fosse maior. Mas, quando assim não acontece precisa de utilizar uma estratégia auxiliar, de modo a tornar compreensíveis os seus procedimentos. É o que acontece neste algoritmo nas ordens das dezenas e centenas.

Passou então a explicar:

Na ordem das unidades não tem problema, de 9 retiro 2, restam 7.

Na ordem das dezenas pretende-se retirar 6 a 2, o que não é possível. Mas retirar 6 é o mesmo que adicionar 4 e retirar 1 dezena. É isso mesmo que faço: 2 mais 4 são 6 e coloco a dezena para a poder retirar mais tarde.

O mesmo acontece em relação à ordem das centenas, pretende-se retirar 8. É o mesmo que adicionar 2 e retirar 1 dezena. Então, 3 mais 2 são 5 centenas e coloco novamente a dezena de centena para a poder retirar a seguir.

Finalmente, na ordem das unidades de milhar não há problema, a diferença entre 7 e 4 são 3. Resta agora retirar uma dezena de dezena e uma dezena de centena que foram adicionadas ao número, o que já não oferece dificuldade.



A professora, a partir de uma segunda explicação da Lucy, acabou por validar o seu raciocínio mas, convicta que se tratava de um processo muito mais complicado, tentou persuadir a aluna na utilização do algoritmo convencional.

A argumentação da aluna foi completamente convincente ao admitir que se tivesse de utilizar o algoritmo tradicional para fazer a subtracção, muito provavelmente se iria enganar porque não percebia os procedimentos deste algoritmo, embora se trate de uma aluna do 4º ano de escolaridade.

Assim, quando numa ordem o aditivo é menor que o subtractivo, então, só precisaria de fazer a adição do aditivo com o complementar do subtractivo. Note-se que o complementar de um número é a diferença entre a próxima potência de base 10 e esse número. Neste caso porque se tratam de números inferiores a 10, os pares (1,9), (2,8) (3,7) e (4,6) são complementares.
Levanta-se então a questão se o algoritmo utilizado pela Lucy não tem a mesma validade que o vulgar algoritmo da Subtracção.

Esta aluna revelou ter sentido do número, o reconhecimento do valor de posição e um bom domínio do conceito de subtracção. Mais, não se pode pedir.

A professora também aprendeu que o para o estabelecimento de uma relação forte entre professor/aluno, fundamental no processo ensino/aprendizagem, também passa por respeitar os próprios processos de cada aluno.

E o caro leitor, o conceito que tem de subtracção será que é suficiente para poder explicar quando diz “e vai um”, um quê? E porquê?

Dias depois, a mesma professora, após ter verificado os trabalhos de casa pediu ao Télen, novo aluno na turma - imigrante, que explicasse aos seus colegas outra forma de poder efectuar uma divisão.

O algoritmo utilizado no seu TPC era o seguinte:


Não quererá o leitor tentar interpretar o raciocínio do Télen?

proposta de resolução

Um plano, três pontos

Alunos mais fracos na disciplina de matemática ainda tentam justificar o seu insucesso por não verem utilidade prática nesta área de estudo para o seu futuro. No entanto, nas actividades mais recreativas, estes mesmos alunos, embora não o reconhecendo, acabam por quantificar e aferir os procedimentos envolvidos tendo em vista o objectivo de seleccionar o vencedor.

É, portanto, premente levar esses alunos a reconhecer a importância da matemática nas actividades do dia-a-dia. É também importante o reconhecimento do significado que algumas ideias e conceitos matemáticos poderão ter, como também é fundamental que, às aprendizagens adquiridas, lhes sejam atribuídas aplicação prática, de modo a que o aluno se aperceba da necessidade da fundamentação teórica para apropriação do conhecimento matemático.

A exemplo do que é dito, uma pergunta que poderá surgir do aluno: qual o interesse em saber que um plano fica definido apenas por três pontos?

Na verdade, este conhecimento matemático terá algum interesse prático senão servir como premissa de suporte a novos conceitos? Não quererá o leitor pensar num argumento convincente em como este conhecimento terá implicação directa nalguma aplicação prática do quotidiano?

É de notar que do conhecimento popular é sabido que a melhor opção para uma mesa que não oscile, é ter apenas três pernas.

Problemas com moedas

A resolução de problemas é reconhecida universalmente como sendo um item fundamental e de especial relevância nas aprendizagens. É indiscutivelmente um processo que promove o desenvolvimento do raciocínio e a construção de processos cognitivos de nível superior, como seja conjecturar, testar, validar, reflectir…

Mesmo assim, o conceito de problema ainda hoje não converge no seio da comunidade educativa. Tanto que, são vários os investimentos por parte de alguns matemáticos que se empenham na melhor definição deste conceito. Mas, partilhando a ideia de que um bom problema, entre outras características, deve ser interessante, desafiador, sem resposta imediata, mas cuja resolução seja possível por parte do resolvedor, contudo, nem sempre é possível reunir todas elas, pois existe uma comunidade de resolvedores muito heterogénea.

Serve de exemplo um problema de Brian Bolt, matemático que muito tem contribuído para motivar o interesse pela matemática. Trata-se de um problema desafiador que, caso o leitor já o conheça, deixará de ser um desafio, e por conseguinte, perderá algum do seu interesse natural.

“Disponha de oito moedas, como se indica na figura formando um quadrado com três moedas em cada lado.

Agora desloque quatro moedas para formar um quadrado com quatro moedas em cada lado!”

Por favor não continue a leitura enquanto não pensar um pouco na resolução do problema.

Este problema é normalmente classificado como sendo de tipo puzzle – não necessita de grandes conhecimentos para ser resolvido, a solução pode surgir num clique, a tal Eureka!

A disposição das moedas apresentada já é algo interessante e até poderia servir de solução a outro problema onde fosse necessário formar 8 soldados em 4 filas havendo apenas 3 soldados em cada fila.

O que poderia parecer impossível, por falta de 4 soldados, afinal, torna-se de fácil resolução se 4 soldados puderem ser contados duas vezes. Assim a disposição em quadrado, como na figura, seria a solução. O soldado que fica no vértice do quadrado será contado duas vezes.

A partir desta experiência torna-se mais fácil a descoberta da solução do problema proposto. Também neste caso para se obter um quadrado com 4 moedas em cada lado, e dispondo apenas de 8 moedas, só nos resta dispô-las de tal forma que cada moeda possa ser contada duas vezes, isto é, cada moeda tem que estar simultaneamente em dois lados.

Assim, basta deslocar as 4 moedas que se encontram no meio de cada lado e sobrepô-las nas moedas que formam os vértices. Temos assim 4 moedas em cada lado num quadrado formado por oito moedas. Interessante, não é?! Quando se sabe, é fácil!

Mas, tão fácil como esta resolução é também uma outra para o problema que apresento de seguida. Na minha opinião, trata-se de um problema dos mais fascinantes devido à facilidade com que pode ser resolvido mas, à primeira vista, parece ser impossível de resolver.

Imagine-se na situação de um condenado à morte que apenas tem uma só noite até à sua execução. Na masmorra onde está preso não entra qualquer luz. Os soldados visitam-no pela última vez para lhe transmitirem a decisão que o imperador tomou por influência do povo, uma vez que sabiam que você era um bom resolvedor de problemas.

Um soldado lê o comunicado: como podes verificar, ficam aqui na mesa 40 moedas. Apenas 18 destas moedas estão viradas com a cara para cima. Se amanhã quando te viermos buscar, as moedas estiverem divididas em 2 grupos, de forma que os 2 grupos tenham o mesmo número de moedas com a cara virada para cima, então, não serás executado.

Os soldados saem, fecham a porta, e fica completamente escuro sem ter qualquer possibilidade de ver as moedas.

O que faria para não ser executado?

Nota: O desgaste das moedas não lhe permite através do tacto identificar a cara ou a coroa da moeda. Caso não encontre a solução de imediato, sugiro que tente reduzir o problema a uma situação mais simples simulando-o com poucas moedas.

proposta de resolução

Números primos

Não é novidade para ninguém, o facto de haver números primos. Pelo menos na escola já ouvimos falar em tais números. Grande parte das pessoas não se lembra o que estes números têm de especial para que justifiquem o nome de “primos”. De facto, são tão especiais que se tivermos um número primo de pessoas não as conseguimos dividir em grupos com o mesmo número de elementos, tendo em conta que, cada grupo deverá ficar com pelo menos duas pessoas.

Na matemática diz-se que o número primo só admite dois divisores: o um e ele próprio. Também no universo dos números naturais o primeiro primo tem uma característica que mais nenhum tem – é par, todos os outros são ímpares. Porque será?

Procurando então os números que não se deixam dividir por outro número senão por um e por ele próprio, temos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89…

Para além da decomposição de um número em factores primos, que se aprende na escola, será interessante constatar que qualquer número par (excepto o dois) é a soma de dois números primos. Este poderá ser um desafio interessante: descobrir um número par, maior que dois, que não seja a soma de dois números primos. É garantido que se o leitor descobrir esse número (é possível que isso aconteça uma vez que ainda ninguém conseguiu demonstrar o contrário), o seu nome vai ficar na história da matemática mesmo que ainda não tenha ganho grande afinidade com esta ciência. Esse feito iria conseguir refutar a conjectura que já dura quase há 300 anos cujo autor é Christian Goldbach.

Mas, se isso der muito trabalho pode ainda procurar fama na descoberta de um processo que produza a sequência de números primos. Por exemplo, a partir da sequência de números primos acima apresentada, como poderemos descobrir o próximo número primo (97)?

Para facilitar o trabalho posso adiantar uma particularidade que se verifica neste tipo de números: se a qualquer número primo maior que 3, retirarmos um e dividirmos por seis e não der resto zero, então adicionamos um e dividido por 6 dá de certeza resto zero. Será que esta regularidade acontece com todos os números primos? Isto é, qualquer número primo (excepto o 2 e o 3) existe na forma 6n±1?

Também se pode constatar que existem números primos na forma 4n+1. Da nossa lista destacam-se: 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89. Estes números têm a particularidade de serem a soma de números quadrados: 5=1+4, 13=4+9, 17=1+16, 29=4+25, 37=1+36… Será que é sempre assim? Isto é, qualquer número primo na forma 4n+1 é a soma de dois números quadrados?

Para além destas particularidades dos números primos também se constata que entre números quadrados consecutivos existe sempre pelo menos um número primo. Pelo menos na lista dos números primos menores que 100, não há dúvidas que isso aconteça: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 36, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97… Será que é sempre assim?

Parece-me que estas particularidades nestes números podem ajudar na descoberta de novos números primos… então, mãos à obra! E, já agora, consegue descobrir os números que estão escondidos pelas letras A, B, C, e D no esquema seguinte?

proposta de resolução

Pitágoras, não só para quadrados

É do conhecimento profissional do pedreiro fazer uma esquadria sem que no entanto tenha um esquadro. Quando confrontei um pedreiro meu amigo com esta situação, de imediato referiu: “60, 80 e 100 é quanto preciso para fazer uma esquadria”.

No entanto, ficou surpreendido ao saber que os pedreiros de antigamente conseguiam a mesma proeza mas, sem fita métrica. Uma corda seria o bastante para traçarem duas linhas perpendiculares para que, a partir daí construíssem duas paredes a fazerem entre si 90 graus. A técnica consistia em dar nós na corda à mesma distância uns dos outros de modo a obter doze comprimentos iguais.

Depois bastava formar com a corda um triângulo de modo a ter nos lados 3, 4 e 5 unidades de comprimento. O maior ângulo do triângulo que se obtém é de 90 graus. Trata-se, portanto, de um triângulo rectângulo.

É interessante a observação que esse meu amigo fez sobre a relação entre estes números e os que ele utiliza. Ele próprio disse: “ eu estava a pensar em centímetros mas, se considerarmos decímetros é o mesmo que 6, 8 e 10 que são precisamente os dobros do trio 3, 4 e 5”. Também o terno 9, 12 e 15 dá origem a um triângulo rectângulo a diferença está apenas nas suas dimensões.

Aos conjuntos de três números com a particularidade de expressarem as medidas de um triângulo rectângulo são conhecidos por ternos pitagóricos, dado que, a soma dos quadrados dos lados menores (catetos do triângulo) é igual ao quadrado do lado maior (hipotenusa do triângulo). A interpretação geométrica pode ser traduzida pela seguinte figura:

Fica então o desafio para a descoberta de outros ternos pitagóricos que não sejam múltiplos dos anteriores nem dos do exemplo seguinte: 8, 15 e 17 [8^2+15^2=17^2]

Mas, o produto de um quadrado pelo nobre irracional transcendente “pi” dá origem a um círculo cujo raio é o lado desse quadrado. Então, na igualdade de Pitágoras, neste caso, 3^2+4^2=5^2 podemos criar uma nova igualdade com um novo significado: pi3^2+pi4^2=pi5^2

Se os lados do triângulo rectângulo forem raios de círculos, poder-se-ão relacionar de acordo com a descoberta de Pitágoras. Assim, pode-se concluir que a área do semicírculo construído sobre a hipotenusa de um triângulo rectângulo é igual à soma dos semicírculos construídos sobre os seus catetos. Interpretando esta frase geometricamente, temos: a = b + c

Então, que relação se pode estabelecer entre as lúnulas x, z e o triângulo y?

Proposta de resolução

Descubra o seu algarismo da sorte

Um caldo de números e operações é o bastante para se aperceber que qualquer pessoa é vulnerável, não tendo qualquer importância o grau de superstição que a afecta. Se quiser fazer a experiência terá que seguir apenas as indicações que eu vou dando. Garantidamente, vai ter a possibilidade de confirmar se o seu algarismo da sorte, para este ano, será aquele em que você pensa que é.

Atenção que se trata de uma experiência que só resulta com adultos. Para isso, vai ser necessária qualquer coisa que escreva, e onde escreva. Peço ainda que não se engane nas instruções que lhe vão ser dadas.

Então vamos lá. Escreva a sua idade. Pense agora num algarismo (de 1 a 9), aquele que julga ser o seu algarismo da sorte. Lembro que o seu algarismo da sorte, para este ano, nunca poderá ser igual aos algarismos da sua idade.

Junte esse algarismo à sua idade, à esquerda se for canhoto, ou então, à direita se for destro.

Inverta o número, isto é, escreva o número pela ordem contrária. Neste momento deverá ter escrito dois números de três dígitos.

Encontre a diferença entre eles (ao maior número, subtrair o menor).

Ao número que obteve troque de posição o algarismo da esquerda com o algarismo da direita. A este novo número adicione-o à diferença obtida.

Neste momento deverá ter obtido um número formado por quatro algarismos. Já só tem que adicionar esses algarismos e guardar mentalmente o número obtido.

Agora, a partir do início do texto (sem contar com o título), só tem que contar o número de palavras correspondente ao número que tem guardado na mente.

Se encontrou a palavra NÃO, parabéns! Quer dizer que não se enganou e, sendo assim, o algarismo que escolheu é de certeza, até ao seu próximo aniversário, o algarismo no qual deve apostar.

Sabe que pode ter mais que um algarismo da sorte? Tente encontrar uma justificação para o fenómeno matemático que o leva a descobrir todos os seus algarismos da sorte.

proposta de resolução

Teorias modernas

Com certeza que também já foi confrontado com aquele desafio muito antigo onde se pretende desenhar o envelope aberto sem levantar o lápis e sem passar novamente pela linha já traçada.

Um amigo meu, há dias, disse-me que se tivéssemos que desenhar o envelope fechado já não seria possível desenhá-lo. Por que será?

Será que este desafio também tem algo a ver com matemática? Claro que tem, e aqueles que se moveram pela sua resolução, só revela que também têm o gene da “essência matemática” – talvez não tenham descoberto ainda isso.

Esta situação é semelhante a outra muito conhecida que, já no séc. XVIII, fez perder muito tempo a Leonhard Euler na sua resolução – as pontes de Königsberg. Esta cidade é atravessada pelo rio Pregel que devido à sua ramificação dá origem à ilha Kneiphof (para a visualizar no Google Earth, pesquise por Kaliningrado). Esta ilha estava ligada à cidade por pontes onde os habitantes, durante os seus passeios, tentavam procurar o percurso que lhes dava a possibilidade de passar por todas elas, uma e apenas uma vez.

Esquema da cidade de Königsberg, antiga capital da Prússia

(Imagem retirada do site de Adérito Araújo, Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra - http://www.mat.uc.pt/~alma/escolas/pontes/)

Euler acabou por resolver o problema, provando que não é possível traçar esse circuito. E é talvez a partir do raciocínio deste matemático que se fez luz para o desenvolvimento de um novo ramo da geometria que, não considerando as dimensões da figura, analisa a ordem da disposição e a relação entre os vários elementos dessa figura – Teoria dos grafos.

A exemplo do que é dito, os esquemas que se seguem, embora diferentes, têm a mesma importância para o tipo de análise que se pretende fazer, representam a mesma coisa, neste caso, as pontes de Königsberg. As linhas (arestas do grafo) representam as pontes e os pontos (vértices do grafo), as regiões onde as pontes vão ligar.

À semelhança do desafio do envelope, também aqui se pretende desenhar a figura sem se poder levantar o lápis, a menos que as pessoas se pudessem deslocar pelo ar, mas naquela altura ainda não havia helicópteros. Também não se pode passar novamente numa linha já traçada - os habitantes de Königsberg não queriam passar mais do que uma vez na mesma ponte.

Já são muitas as actividades económicas que recorrem a este ramo da matemática tendo em vista maior rendibilidade nas suas acções. É o exemplo do vendedor ambulante que pretende visitar todos os seus clientes fazendo o menor percurso possível, a distribuição do correio, ou a elaboração do plano do circuito das carreiras urbanas de uma cidade.

Esta nova área da matemática tem vindo a ganhar importância devido ao seu enorme potencial de aplicações. No entanto, é pena que a escola ainda não lhe tenha reconhecido essa importância para a incluir nos seus currículos de escolaridade obrigatória. Assim, para além do gozo pessoal que se pode ter na descoberta da solução do desafio do envelope, importa saber também de que forma se poderá sistematizar o conhecimento para que rapidamente se possa decidir sobre a possibilidade ou não da resolução de qualquer figura.

Fazendo uma análise um pouco mais cuidada sobre esta situação damos conta que, ao traçar um circuito ininterrupto, quando se chega a um vértice (ponto) é necessário sair de lá. Então, se a todos os vértices afluírem um número par de arestas (linhas), é possível a sua resolução, uma vez que em cada vértice há uma entrada e uma saída. Mesmo que se escolha um vértice para partir, desde que ele seja par, fica garantida uma aresta para a chegada, o que se conclui que o vértice de partida também terá que ser o de chegada.

Pode, no entanto, ainda ser traçado um circuito ininterrupto com partida num vértice e com chegada noutro vértice. Neste caso, os vértices de partida e chegada terão de ser ímpares, ou seja, concorrem nele um número ímpar de arestas, em que, a aresta que não tem par serve de partida ou de chegada. Portanto, ainda há a possibilidade da figura ter vértices ímpares (pontos onde afluem um número ímpar de linhas) mas, neste caso terão de ser dois.

Reúnem-se, agora, as condições para opinar sobre quais as pontes que deveriam ir abaixo de forma a que os habitantes de Königsberg pudessem, nos seus passeios, visitar todas elas uma só vez. Claro que se não houver problemas de orçamento poder-se-ia pensar antes na construção de novas pontes. Não quererá dar uma sugestão onde poderá ser construída uma ponte para poder satisfazer as pretensões dos habitantes daquela cidade?

Voltando ao desfio do envelope, já poderemos dar uma opinião sobre a sua resolução: por que razão não é possível traçar um circuito ininterrupto, de modo a obter o envelope fechado?

Proposta de resolução