Pitágoras, não só para quadrados

É do conhecimento profissional do pedreiro fazer uma esquadria sem que no entanto tenha um esquadro. Quando confrontei um pedreiro meu amigo com esta situação, de imediato referiu: “60, 80 e 100 é quanto preciso para fazer uma esquadria”.

No entanto, ficou surpreendido ao saber que os pedreiros de antigamente conseguiam a mesma proeza mas, sem fita métrica. Uma corda seria o bastante para traçarem duas linhas perpendiculares para que, a partir daí construíssem duas paredes a fazerem entre si 90 graus. A técnica consistia em dar nós na corda à mesma distância uns dos outros de modo a obter doze comprimentos iguais.

Depois bastava formar com a corda um triângulo de modo a ter nos lados 3, 4 e 5 unidades de comprimento. O maior ângulo do triângulo que se obtém é de 90 graus. Trata-se, portanto, de um triângulo rectângulo.

É interessante a observação que esse meu amigo fez sobre a relação entre estes números e os que ele utiliza. Ele próprio disse: “ eu estava a pensar em centímetros mas, se considerarmos decímetros é o mesmo que 6, 8 e 10 que são precisamente os dobros do trio 3, 4 e 5”. Também o terno 9, 12 e 15 dá origem a um triângulo rectângulo a diferença está apenas nas suas dimensões.

Aos conjuntos de três números com a particularidade de expressarem as medidas de um triângulo rectângulo são conhecidos por ternos pitagóricos, dado que, a soma dos quadrados dos lados menores (catetos do triângulo) é igual ao quadrado do lado maior (hipotenusa do triângulo). A interpretação geométrica pode ser traduzida pela seguinte figura:

Fica então o desafio para a descoberta de outros ternos pitagóricos que não sejam múltiplos dos anteriores nem dos do exemplo seguinte: 8, 15 e 17 [8^2+15^2=17^2]

Mas, o produto de um quadrado pelo nobre irracional transcendente “pi” dá origem a um círculo cujo raio é o lado desse quadrado. Então, na igualdade de Pitágoras, neste caso, 3^2+4^2=5^2 podemos criar uma nova igualdade com um novo significado: pi3^2+pi4^2=pi5^2

Se os lados do triângulo rectângulo forem raios de círculos, poder-se-ão relacionar de acordo com a descoberta de Pitágoras. Assim, pode-se concluir que a área do semicírculo construído sobre a hipotenusa de um triângulo rectângulo é igual à soma dos semicírculos construídos sobre os seus catetos. Interpretando esta frase geometricamente, temos: a = b + c

Então, que relação se pode estabelecer entre as lúnulas x, z e o triângulo y?

Proposta de resolução

Descubra o seu algarismo da sorte

Um caldo de números e operações é o bastante para se aperceber que qualquer pessoa é vulnerável, não tendo qualquer importância o grau de superstição que a afecta. Se quiser fazer a experiência terá que seguir apenas as indicações que eu vou dando. Garantidamente, vai ter a possibilidade de confirmar se o seu algarismo da sorte, para este ano, será aquele em que você pensa que é.

Atenção que se trata de uma experiência que só resulta com adultos. Para isso, vai ser necessária qualquer coisa que escreva, e onde escreva. Peço ainda que não se engane nas instruções que lhe vão ser dadas.

Então vamos lá. Escreva a sua idade. Pense agora num algarismo (de 1 a 9), aquele que julga ser o seu algarismo da sorte. Lembro que o seu algarismo da sorte, para este ano, nunca poderá ser igual aos algarismos da sua idade.

Junte esse algarismo à sua idade, à esquerda se for canhoto, ou então, à direita se for destro.

Inverta o número, isto é, escreva o número pela ordem contrária. Neste momento deverá ter escrito dois números de três dígitos.

Encontre a diferença entre eles (ao maior número, subtrair o menor).

Ao número que obteve troque de posição o algarismo da esquerda com o algarismo da direita. A este novo número adicione-o à diferença obtida.

Neste momento deverá ter obtido um número formado por quatro algarismos. Já só tem que adicionar esses algarismos e guardar mentalmente o número obtido.

Agora, a partir do início do texto (sem contar com o título), só tem que contar o número de palavras correspondente ao número que tem guardado na mente.

Se encontrou a palavra NÃO, parabéns! Quer dizer que não se enganou e, sendo assim, o algarismo que escolheu é de certeza, até ao seu próximo aniversário, o algarismo no qual deve apostar.

Sabe que pode ter mais que um algarismo da sorte? Tente encontrar uma justificação para o fenómeno matemático que o leva a descobrir todos os seus algarismos da sorte.

proposta de resolução

Teorias modernas

Com certeza que também já foi confrontado com aquele desafio muito antigo onde se pretende desenhar o envelope aberto sem levantar o lápis e sem passar novamente pela linha já traçada.

Um amigo meu, há dias, disse-me que se tivéssemos que desenhar o envelope fechado já não seria possível desenhá-lo. Por que será?

Será que este desafio também tem algo a ver com matemática? Claro que tem, e aqueles que se moveram pela sua resolução, só revela que também têm o gene da “essência matemática” – talvez não tenham descoberto ainda isso.

Esta situação é semelhante a outra muito conhecida que, já no séc. XVIII, fez perder muito tempo a Leonhard Euler na sua resolução – as pontes de Königsberg. Esta cidade é atravessada pelo rio Pregel que devido à sua ramificação dá origem à ilha Kneiphof (para a visualizar no Google Earth, pesquise por Kaliningrado). Esta ilha estava ligada à cidade por pontes onde os habitantes, durante os seus passeios, tentavam procurar o percurso que lhes dava a possibilidade de passar por todas elas, uma e apenas uma vez.

Esquema da cidade de Königsberg, antiga capital da Prússia

(Imagem retirada do site de Adérito Araújo, Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra - http://www.mat.uc.pt/~alma/escolas/pontes/)

Euler acabou por resolver o problema, provando que não é possível traçar esse circuito. E é talvez a partir do raciocínio deste matemático que se fez luz para o desenvolvimento de um novo ramo da geometria que, não considerando as dimensões da figura, analisa a ordem da disposição e a relação entre os vários elementos dessa figura – Teoria dos grafos.

A exemplo do que é dito, os esquemas que se seguem, embora diferentes, têm a mesma importância para o tipo de análise que se pretende fazer, representam a mesma coisa, neste caso, as pontes de Königsberg. As linhas (arestas do grafo) representam as pontes e os pontos (vértices do grafo), as regiões onde as pontes vão ligar.

À semelhança do desafio do envelope, também aqui se pretende desenhar a figura sem se poder levantar o lápis, a menos que as pessoas se pudessem deslocar pelo ar, mas naquela altura ainda não havia helicópteros. Também não se pode passar novamente numa linha já traçada - os habitantes de Königsberg não queriam passar mais do que uma vez na mesma ponte.

Já são muitas as actividades económicas que recorrem a este ramo da matemática tendo em vista maior rendibilidade nas suas acções. É o exemplo do vendedor ambulante que pretende visitar todos os seus clientes fazendo o menor percurso possível, a distribuição do correio, ou a elaboração do plano do circuito das carreiras urbanas de uma cidade.

Esta nova área da matemática tem vindo a ganhar importância devido ao seu enorme potencial de aplicações. No entanto, é pena que a escola ainda não lhe tenha reconhecido essa importância para a incluir nos seus currículos de escolaridade obrigatória. Assim, para além do gozo pessoal que se pode ter na descoberta da solução do desafio do envelope, importa saber também de que forma se poderá sistematizar o conhecimento para que rapidamente se possa decidir sobre a possibilidade ou não da resolução de qualquer figura.

Fazendo uma análise um pouco mais cuidada sobre esta situação damos conta que, ao traçar um circuito ininterrupto, quando se chega a um vértice (ponto) é necessário sair de lá. Então, se a todos os vértices afluírem um número par de arestas (linhas), é possível a sua resolução, uma vez que em cada vértice há uma entrada e uma saída. Mesmo que se escolha um vértice para partir, desde que ele seja par, fica garantida uma aresta para a chegada, o que se conclui que o vértice de partida também terá que ser o de chegada.

Pode, no entanto, ainda ser traçado um circuito ininterrupto com partida num vértice e com chegada noutro vértice. Neste caso, os vértices de partida e chegada terão de ser ímpares, ou seja, concorrem nele um número ímpar de arestas, em que, a aresta que não tem par serve de partida ou de chegada. Portanto, ainda há a possibilidade da figura ter vértices ímpares (pontos onde afluem um número ímpar de linhas) mas, neste caso terão de ser dois.

Reúnem-se, agora, as condições para opinar sobre quais as pontes que deveriam ir abaixo de forma a que os habitantes de Königsberg pudessem, nos seus passeios, visitar todas elas uma só vez. Claro que se não houver problemas de orçamento poder-se-ia pensar antes na construção de novas pontes. Não quererá dar uma sugestão onde poderá ser construída uma ponte para poder satisfazer as pretensões dos habitantes daquela cidade?

Voltando ao desfio do envelope, já poderemos dar uma opinião sobre a sua resolução: por que razão não é possível traçar um circuito ininterrupto, de modo a obter o envelope fechado?

Proposta de resolução

Uma questão de tempo

De há muito que o nosso povo se distingue pela sua capacidade de improvisação e criatividade até mesmo inventiva. Numa plateia, com o objectivo de aferir a criatividade e capacidade argumentativa do público, foi lançado o desafio para que cada pessoa respondesse por escrito tentando encontrar uma justificação para o fenómeno que se apresenta:

Um avião que habitualmente faz carreira entre a cidade A e a cidade B demora uma hora e vinte minutos quando se descola da primeira para a segunda cidade. Mas, quando faz o percurso inverso demora oitenta minutos. Encontre razões que justifiquem o sucedido.

Foram variadíssimas as respostas dadas. O vento, o movimento de rotação do planeta, a mudança de fuso horário foram alguns dos factores que serviram de justificação para a compreensão do fenómeno.

No entanto, poucos foram os interlocutores que deram a resposta que deveria ser evidente. Coloca-se então a questão, porque será que apenas uma minoria da plateia utilizou o conhecimento matemático mais básico, mas suficiente, para dar resposta a uma situação do mais trivial que existe? Espero que o caro leitor pertença a essa minoria que reconhece uma hora e vinte minutos como sendo o mesmo que oitenta minutos não havendo, portanto, necessidade de justificar qualquer fenómeno.

É interessante o próprio leitor fazer este teste com outras pessoas. Vai verificar que é isso mesmo que acontece, a maioria das pessoas esquece que o sistema de numeração a que estamos habituados (sistema decimal), não é usado habitualmente para fazer contagens de tempo. No caso desta grandeza, as contagens deixam de ser feitas em agrupamentos de dez para serem feitas em agrupamentos de sessenta (sistema sexagesimal). Daí ficarmos um pouco baralhados.

Trata-se de uma influência da civilização Babilónica que se expandiu na região que hoje conhecemos por Iraque e que remonta a um período que poderíamos considerar simétrico aos dos nossos dias seguindo a linha cronológica que nos serve de referência.

À semelhança do que acontece com as horas, também as coordenadas geográficas se expressam de acordo com a herança dos antigos babilónios. Será que é capaz de encontrar outro exemplo onde ainda usamos esta influência babilónica?

Resposta sugerida

Dados da sorte

A conjuntura económica que assola os nossos dias coloca-nos numa posição que nos faz reflectir sobre o futuro. No jornal Público já foi proposto um desafio por Eduardo Veloso e José Paulo Viana que é, sem dúvida, uma mais-valia para quem tiver que recorrer a outros rendimentos extraordinários. Aproveitando esta ideia, qualquer pessoa com um pouco de audácia poder-se-á tornar num invejável ganhador de apostas, seduzindo mesmo aqueles que se julgam mais finórios.

Considere-se, então, 4 dados cujas faces têm um número de 0 a 6:

Dado Azul – 0, 0, 4, 4, 4, 4;

Dado Branco – 1, 1, 1, 5, 5, 5;

Dado Castanho – 2, 2, 2, 2, 6, 6;

Dado Dourado – 3, 3, 3, 3, 3, 3.

Pretende-se que cada um dos apostadores escolha um dado. Depois de cada apostador lançar o seu dado, ganha um ponto aquele que obtiver maior valor acusado pelo seu dado. No final de 20 lançamentos, por exemplo, aquele que obtiver maior número de pontos arrecada o dinheiro em jogo.

Imagine que vai jogar comigo. Dou-lhe a oportunidade de escolher o dado com que quer jogar. Vamos imaginar que escolhe o dado azul. Assim, eu escolho o dado branco.

Sabendo que cada dado tem 6 faces, há portanto 6x6=36 casos possíveis. Na tentativa de clarificar esta situação, identifiquemos as faces de um dado (cubo 1), com as letras A, B, C, D, E e F e as faces do outro dado (cubo 2), com as letras a, b, c, d, e e f. Os casos possíveis encontram-se identificados na tabela seguinte:

No caso dos dados envolvidos serem o azul e o branco, o dado branco – o meu dado, pontua quando se obtém a dupla 0-1 (2x3=6 possibilidades), a dupla 0-5 (2x3=6 possibilidades) ou ainda a dupla 4-5 (4x3=12 possibilidades), o que perfaz 24 casos favoráveis em 36. Quer então dizer que provavelmente irei ganhar.

Mas, sabendo que o dado branco é mais vantajoso que o azul, provavelmente iria escolher em primeiro lugar o dado branco. Neste caso, eu escolheria o dado Castanho. Agora, os casos favoráveis para o dado branco é a dupla 2-5 o que corresponde a apenas 12 casos favoráveis (3x4=12) restando, novamente, 24 casos favoráveis para o meu lado. Quer isto dizer que, tal como na situação anterior, terei a mesma probabilidade de ganhar.

Perante este facto, estou convicto de que o dado castanho passaria a ser a sua preferência. Se assim fosse, eu escolheria o dourado. Neste caso, os casos favoráveis ao dado castanho é quando sai apenas a dupla 3-6, correspondendo apenas a 12 casos favoráveis (2x6=12), contra, uma vez mais, os meus 24 casos favoráveis. Quer isto dizer que, com a mesma probabilidade, muito provavelmente, eu iria ganhar.

Afinal, o significado do dourado talvez tenha todo o seu peso na escolha do dado ganhador. Assim seja, nesse caso, se escolhesse o dourado, eu escolheria o azul. Será que continuo a fazer uma boa escolha? Estou convencido que iria ganhar novamente…

Duplicação do quadrado

Um aluno do 9º ano e o outro do 4º ano foram confrontados com o seguinte desafio:

“A partir do quadrado que é dado, desenha outro que tenha o dobro da área. No final, faz um registo daquilo que te possa ocorrer sobre o teu trabalho.”

O aluno do 9º ano começou por traçar um quadrado tendo de lado o dobro do comprimento, mas facilmente se apercebeu que não estava a obter o que desejava.

Recorreu a uma régua e concluiu que a área do quadrado pedido teria que ter 8 centímetros quadrados. Com a ajuda da máquina calculadora e utilizando a operação de radiciação decidiu construir um quadrado com 2,8cm de lado.

O seu registo final: “Não é possível desenhar um quadrado exactamente com o dobro da área do quadrado que é dado, uma vez que é necessário ter de lado um comprimento que não é possível medir (número irracional, sendo neste caso 2,82842712…). Assim, o quadrado que tracei tem um valor muito próximo do que é pedido: 2,8x2,8=7,84 centímetros quadrados”.

O aluno do 4º ano seguiu o mesmo erro do aluno com maior escolaridade, no entanto, também ele deu conta que obteve um quadrado com o quádruplo da área em vez do dobro, como era pedido.

Depois de várias tentativas, o aluno revela incapacidade de resolver aquilo que inicialmente lhe parecia muito fácil. É então aconselhado a simular um geoplano podendo mesmo aproveitar o quadrado como unidade para a representação da malha quadrangular. Este aconselhamento foi o suficiente para que o aluno tivesse ganho novo entusiasmo neste desafio.

Desenhou então:

Uma nova ajuda foi necessária para que o aluno escolhesse uma unidade de área que o facilitasse na construção do quadrado pedido. A partir daí já não foi muito difícil concluir que, o quadrado pretendido deveria ter quatro unidades de áreas dado que o quadrado inicial teria 2 u.a. (2 triângulos).

Com alguma perseverança lá conseguiu construir o quadrado pretendido:

Confrontado com a mesma dificuldade com que todos os alunos deste nível de ensino revelam, foi difícil fazer com que o aluno reflectisse um pouco sobre o seu trabalho e conseguisse algum registo. Após análise orientada sobre o trabalho produzido, o aluno acaba por escrever: “Gostei desta actividade porque percebi que não deveremos desistir. Afinal só temos é que pensar um pouco. Com este desafio aprendi ainda que a diagonal de um quadrado e o lado de outro quadrado com o dobro da área têm o mesmo comprimento.”

Importa então reflectir sobre a competência matemática destes alunos. Em qual dos casos será maior ou, tenha havido uma maior apropriação dessa competência?

O desenho seguinte resultou de uma actividade de desenvolvimento que pretendia a elaboração de uma figura composta apenas por quadrados. O único requisito é que qualquer quadrado na figura teria de lá ter o seu sucessor ou antecessor, isto é, o quadrado com o dobro ou com a metade da sua área.

Quanto mais depressa, mais devagar...

Um aluno meu justificou o seu atraso à aula de matemática com a seguinte argumentação:
"habitualmente venho para a escola de bicicleta, mas hoje, à mesma hora, aceitei boleia de automóvel do meu vizinho. Fiquei convencido que iria chegar mais cedo uma vez que o carro anda quatro vezes mais depressa que a bicicleta. No entanto, a três quartos do percurso acabou-se a gasolina e tivemos que vir a pé. Ora, como a pé ando quatro vezes mais devagar que de bicicleta, acabei por chegar atrasado".

Não parece ser absurda esta argumentação para justificar os 6 minutos de atraso? Então, o tempo que veio a pé, apenas um quarto do percurso, não chegou a ser compensado pelo tempo que veio de automóvel? Caso fosse eu a ter a mesma infelicidade, não tenho dúvidas que esta argumentação não servia de nada, mesmo que tivesse feito mais de metade do caminho a pé. A única possibilidade para justificar a falta seria apresentar um atestado médico, mas não do automóvel, como se poderá pensar...

No caso do aluno, por me parecer ridículo e sem sentido a mesma exigência, após a análise à sua argumentação, não tive alternativa senão ter de a aceitar. Recomendei-lhe no entanto, o tempo que deveria considerar para sair de casa com antecedência, no caso de sair de bicicleta e no caso de sair a pé.

Por que razão foi aceite a argumentação do aluno e quais os tempos que teriam sido recomendados para sair de casa com antecedência de modo a ser pontual?

Proposta de resolução

Sinal de perigo

São muitos os casos em que, na estrada, aparecem sinais de trânsito com informação que exige conhecimento matemático.

Também eu, quando tive de me preparar para o exame de condução, dei conta que um sinal triangular sugerindo uma descida e, acompanhado por um valor percentual, dá a indicação de uma situação de perigo devido à inclinação da descida que se aproxima ser demasiado acentuada. Por vezes, até é acompanhado de um painel adicional dizendo: “trave com o motor” ou “teste os travões”.

Imagine-se no ponto A da figura . Na sua opinião, que ponto ligaria ao ponto A para obter um declive que se aproxime daquele que é indicado no sinal de trânsito (10%)? E se o declive fosse de 100%, qual seria o ponto a ligar a A?

Proposta de resolução

Desidratação

Imagine-se uma melancia com 1kg e atente-se na seguinte questão:

Apenas 1 por cento da massa da melancia é sólida, os outros 99 por cento são água. A melancia é posta ao sol e desidrata-se. Passa a ter apenas 98 por cento de água. A pergunta é: quanto pesa agora a melancia?

retirado de Crato, N. (2008). A Matemática das Coisas. Lisboa: Gradiva

Antes de fazer cálculos, será que é capaz de fazer uma estimativa do peso da melancia? Agora confirme a sua estimativa, mas se o resultado for superior a novecentos gramas, cometeu um erro de cálculo ou de interpretação. Se for o caso, tente de novo. Garanto-lhe que é um valor inferior a seiscentos gramas.

Proposta de resolução