Duplicação do quadrado

Um aluno do 9º ano e o outro do 4º ano foram confrontados com o seguinte desafio:

“A partir do quadrado que é dado, desenha outro que tenha o dobro da área. No final, faz um registo daquilo que te possa ocorrer sobre o teu trabalho.”

O aluno do 9º ano começou por traçar um quadrado tendo de lado o dobro do comprimento, mas facilmente se apercebeu que não estava a obter o que desejava.

Recorreu a uma régua e concluiu que a área do quadrado pedido teria que ter 8 centímetros quadrados. Com a ajuda da máquina calculadora e utilizando a operação de radiciação decidiu construir um quadrado com 2,8cm de lado.

O seu registo final: “Não é possível desenhar um quadrado exactamente com o dobro da área do quadrado que é dado, uma vez que é necessário ter de lado um comprimento que não é possível medir (número irracional, sendo neste caso 2,82842712…). Assim, o quadrado que tracei tem um valor muito próximo do que é pedido: 2,8x2,8=7,84 centímetros quadrados”.

O aluno do 4º ano seguiu o mesmo erro do aluno com maior escolaridade, no entanto, também ele deu conta que obteve um quadrado com o quádruplo da área em vez do dobro, como era pedido.

Depois de várias tentativas, o aluno revela incapacidade de resolver aquilo que inicialmente lhe parecia muito fácil. É então aconselhado a simular um geoplano podendo mesmo aproveitar o quadrado como unidade para a representação da malha quadrangular. Este aconselhamento foi o suficiente para que o aluno tivesse ganho novo entusiasmo neste desafio.

Desenhou então:

Uma nova ajuda foi necessária para que o aluno escolhesse uma unidade de área que o facilitasse na construção do quadrado pedido. A partir daí já não foi muito difícil concluir que, o quadrado pretendido deveria ter quatro unidades de áreas dado que o quadrado inicial teria 2 u.a. (2 triângulos).

Com alguma perseverança lá conseguiu construir o quadrado pretendido:

Confrontado com a mesma dificuldade com que todos os alunos deste nível de ensino revelam, foi difícil fazer com que o aluno reflectisse um pouco sobre o seu trabalho e conseguisse algum registo. Após análise orientada sobre o trabalho produzido, o aluno acaba por escrever: “Gostei desta actividade porque percebi que não deveremos desistir. Afinal só temos é que pensar um pouco. Com este desafio aprendi ainda que a diagonal de um quadrado e o lado de outro quadrado com o dobro da área têm o mesmo comprimento.”

Importa então reflectir sobre a competência matemática destes alunos. Em qual dos casos será maior ou, tenha havido uma maior apropriação dessa competência?

O desenho seguinte resultou de uma actividade de desenvolvimento que pretendia a elaboração de uma figura composta apenas por quadrados. O único requisito é que qualquer quadrado na figura teria de lá ter o seu sucessor ou antecessor, isto é, o quadrado com o dobro ou com a metade da sua área.

Quanto mais depressa, mais devagar...

Um aluno meu justificou o seu atraso à aula de matemática com a seguinte argumentação:
"habitualmente venho para a escola de bicicleta, mas hoje, à mesma hora, aceitei boleia de automóvel do meu vizinho. Fiquei convencido que iria chegar mais cedo uma vez que o carro anda quatro vezes mais depressa que a bicicleta. No entanto, a três quartos do percurso acabou-se a gasolina e tivemos que vir a pé. Ora, como a pé ando quatro vezes mais devagar que de bicicleta, acabei por chegar atrasado".

Não parece ser absurda esta argumentação para justificar os 6 minutos de atraso? Então, o tempo que veio a pé, apenas um quarto do percurso, não chegou a ser compensado pelo tempo que veio de automóvel? Caso fosse eu a ter a mesma infelicidade, não tenho dúvidas que esta argumentação não servia de nada, mesmo que tivesse feito mais de metade do caminho a pé. A única possibilidade para justificar a falta seria apresentar um atestado médico, mas não do automóvel, como se poderá pensar...

No caso do aluno, por me parecer ridículo e sem sentido a mesma exigência, após a análise à sua argumentação, não tive alternativa senão ter de a aceitar. Recomendei-lhe no entanto, o tempo que deveria considerar para sair de casa com antecedência, no caso de sair de bicicleta e no caso de sair a pé.

Por que razão foi aceite a argumentação do aluno e quais os tempos que teriam sido recomendados para sair de casa com antecedência de modo a ser pontual?

Proposta de resolução

Sinal de perigo

São muitos os casos em que, na estrada, aparecem sinais de trânsito com informação que exige conhecimento matemático.

Também eu, quando tive de me preparar para o exame de condução, dei conta que um sinal triangular sugerindo uma descida e, acompanhado por um valor percentual, dá a indicação de uma situação de perigo devido à inclinação da descida que se aproxima ser demasiado acentuada. Por vezes, até é acompanhado de um painel adicional dizendo: “trave com o motor” ou “teste os travões”.

Imagine-se no ponto A da figura . Na sua opinião, que ponto ligaria ao ponto A para obter um declive que se aproxime daquele que é indicado no sinal de trânsito (10%)? E se o declive fosse de 100%, qual seria o ponto a ligar a A?

Proposta de resolução

Desidratação

Imagine-se uma melancia com 1kg e atente-se na seguinte questão:

Apenas 1 por cento da massa da melancia é sólida, os outros 99 por cento são água. A melancia é posta ao sol e desidrata-se. Passa a ter apenas 98 por cento de água. A pergunta é: quanto pesa agora a melancia?

retirado de Crato, N. (2008). A Matemática das Coisas. Lisboa: Gradiva

Antes de fazer cálculos, será que é capaz de fazer uma estimativa do peso da melancia? Agora confirme a sua estimativa, mas se o resultado for superior a novecentos gramas, cometeu um erro de cálculo ou de interpretação. Se for o caso, tente de novo. Garanto-lhe que é um valor inferior a seiscentos gramas.

Proposta de resolução

Áreas e perímetros com abelhas

Penso que é indiscutível como a abelha é talvez o insecto mais apreciado pelo homem. Devido à sua importância na Natureza como também pelo papel que assume em servidão do próprio homem.

E pela sua inteligência, será que também é admirada? Atendendo ao tamanho do seu cérebro nem sequer se pode equacionar se é um ser pensante. No entanto, o seu trabalho revela estratégia e com objectivos bem delineados.

Do ponto de vista matemático, quem será capaz de fazer um hexágono regular sem ter pelo menos um compasso? Tenho a certeza que a abelha não o utiliza, mas os hexágonos que produz na construção dos favos é sem dúvida uma obra que resultando de um trabalho cooperativo, demonstra muita articulação e com resultados surpreendentes.

E por que será que o hexágono é o polígono de eleição onde as abelhas se inspiram no fabrico dos seus favos? Tratando-se de polígonos regulares, o hexágono é um dos três únicos polígonos que consegue pavimentar. Quer isto dizer que os polígonos encaixam perfeitamente uns nos outros sem que haja espaços entre eles, a não ser que, sejam outros hexágonos regulares.

Mas, optando por um polígono regular, porque não o triângulo equilátero ou o quadrado? Também estes pavimentam. No caso do quadrado, até me parece ser um polígono mais equilibrado e até mais fácil de construir.

É espantoso porque é que a abelha “escolheu” o hexágono em desfavor destes polígonos. Parece-me uma “escolha inteligente”. Claro que nem é uma escolha, não acredito que alguém, por mais divino que seja, desse a escolher entre o triângulo, o quadrado e o hexágono.

Se a si, não lhe parece uma “escolha inteligente”, então experimente pegar em três folhas de papel, iguais, e com palitos do mesmo tamanho, simule em cada folha os favos com hexágonos, outra com triângulos e outra com quadrados. É surpreendente não é? Onde é que gasta menos palitos?

Para ver a "Matemática das abelhas": http://br.youtube.com/watch?v=aLYVifotd-o

Proposta de resolução

O papel que usamos…

Por exemplo, na designação da folha A4, que significado terá o índice 4 para identificar a folha de papel que habitualmente mais usamos?

Sabe-se que ao juntar duas folhas A4 pelo lado maior se obtém uma folha A3 e, juntando duas folhas A3 pelo lado maior obtém-se a folha A2, tornando-se evidente a reconstituição da folha A0 (fig.1). A figura mostra a decomposição da folha A0, e percebe-se que a área da folha A0 é 2 vezes maior que a área da folha A1, 4 vezes maior que a área da folha A2, 8 vezes maior que a área da folha A3, 16 vezes maior que a área da folha A4, …

Quer dizer então, que se for feita uma dobra na folha A0 obtém-se a folha A1, se forem feitas 2 dobras sucessivas (dobra sobre dobra) obtém-se a folha A2, se forem feitas 3 dobras sucessivas obtém-se …

A construção de uma tabela poderá ajudar a clarificar as relações que existem entre as folhas:

Mas os números 1, 2, 4, 8, 16,… não são mais que potências de base 2 (dois elevado a zero, dois elevado a 1, dois ao quadrado, dois ao cubo, dois elevado a quatro...).

Também podemos ser levados a concluir, ao contrário do que se possa imaginar, que o dobro de 2 elevado a dezasseis é... (será que chegou a pensar em 2 elevado a trinta e dois?)

Considerando como unidade de medida o milímetro, verifica-se que a folha A0 tem de comprimento 1189 e de largura 841.Mas não seria mais sensato escolher outros números mais redondos para as dimensões da folha padrão?

Sobre a folha A0 é possível traçar 1189x841=999949 quadrados com 1 milímetro de lado, um valor muito próximo de 1 000 000 o que equivale a um metro quadrado.

Por outro lado, dividindo a folha A0 pelo seu menor eixo de simetria, obtém-se duas folhas que parecem ser semelhantes à folha que lhes deu origem. Esta característica torna este rectângulo distinto em relação ao quadrado que, embora com a possibilidade de ter exactamente um metro quadrado, mas quando dividido ao meio, não goza da mesma particularidade do rectângulo A0.

A razão entre o comprimento e a largura de qualquer folha com uma aproximação a menos de uma centésima é 1,41, o que nos leva a concluir, a partir do inverso desta razão, a largura de qualquer folha da família A é aproximadamente 71% do seu comprimento.
A importância desta característica nas dimensões das folhas desta família permite com que não haja desperdício de papel quando se pretende fazer, por exemplo, uma ampliação de uma figura em formato A4 para formato A3 ou uma redução de uma A4 para uma A5.

É pena que nem todos os operadores de máquinas de fotocopiadoras saibam qual é a percentagem que corresponde à redução de uma folha para outra de índice superior. Nalguns casos, é a partir da experiência por tentativa e erro e, com o nosso contributo, que por ignorância, acabamos por pagar as fotocópias do erro em vez de fornecer o valor da percentagem correcta para obtermos o resultado desejado. Uma vez mais, a falta de conhecimento a implicar desperdício de papel em desfavor do ambiente.

Será então possível outros números, mais redondos, para o rectângulo que tenha de área 1 metro quadrado e, que, quando dividido ao meio pelo seu comprimento, se obtenha dois rectângulos semelhantes ao primeiro? Se o conseguir, o seu nome vai passar a ser uma referência histórica.
A tabela seguinte dá-nos conta das dimensões das folhas An, em milímetros e sempre com números inteiros:

Será que é capaz de descobrir as dimensões das folhas A8, A9 e A10?
Outras perguntas poderão surgir tendo em vista o desenvolvimento ou aquisição de novos conceitos ou ainda, para a produção de mais matemática:

· Em quantos rectângulos fica dividida uma folha A0 ao fim de 10 dobras sucessivas?

· Quantas folhas A10 são necessárias para cobrir uma folha A0?

· Um dos indicadores da qualidade do papel é designado habitualmente por “gramagem” e expressa-se em gramas por metro quadrado. Qual será o peso de uma resma de papel A4 de 80g/(mxm)? E de uma só folha A4? E de uma folha A0?

· Com 5 folhas A0 produziu-se um prisma cuja base é um rectângulo A7 e de altura 6,4cm. Qual é a espessura da folha A0? Quantas dobras sucessivas (dobra sobre dobra) são necessárias dar numa folha com essa espessura para que se obtenha uma altura superior à da Torre Eiffel (317m)?

resposta sugerida

Estátua

A baía do porto de Nova York vangloria-se com a distinta estátua da Liberdade com 57 metros de altura e 225 toneladas de cobre.
Sem recorrer a qualquer algoritmo, nem à máquina de calcular, que quantidade de cobre preciso para fazer uma réplica desta estátua com 57 dm de altura?

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Conversões

Quantos centímetros cúbicos são necessários para se obter uma décima parte do decímetro cúbico?

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Pitágoras??...

Qual o valor de a?
[nota: o valor de a é um número inteiro]










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