+mat

Um problema de reflexão (resp.)

2011-10-09T18:24:00.003+01:00

Dando resposta ao desafio aqui publicado a 3 de dezembro de 2008 com o título “ Um problema de reflexão”, propõe-se o seguinte raciocínio.

Se imaginarmos a casota do cão na outra margem do rio, com certeza que o balde deveria ser cheio no ponto de intersecção do rio com o caminho, em linha reta, entre a casa e a casota do cão. Esta dica é determinante para que possamos imaginar a casota do cão do outro lado do rio, e à mesma distância dele. Ao fim ao cabo, importa determinar a reflexão do ponto B (B’) em relação à reta r. O menor trajeto entre A e B’ é o segmento que une estes dois pontos onde se determina o ponto P na reta r. Então fica determinado o trajeto APB como sendo o menor, uma vez que o segmento de reta PB’ tem o mesmo comprimento do segmento de reta PB.

Poder-se-ia optar por fazer a reflexão do ponto A sobre a reta r. O resultado seria o mesmo (ponto P):

Sentido de número

2011-08-30T15:52:00.001+01:00

O “43” que aparece na etiqueta de umas calças não tem o mesmo significado daquele que aparece na senha que retiro à entrada dos serviços das finanças, nem o significado daquele que está sobre a porta de entrada da casa do meu amigo que vestiu a camisola 43 na sua última prova de atletismo. Também este “43” que ostenta a camisola do meu amigo não significa o número de ovelhas que o vizinho do meu avô tinha na aldeia, embora sejam estes os símbolos utilizados para representar a quantidade daqueles animais que habitualmente comiam no prado do senhor Augusto.

Na verdade, o número, para além do seu sentido como cardinal, indicando a quantidade de elementos de um determinado conjunto, pode ter outros significados como sendo a medida de uma calças, a localização de uma casa, a posição numa ordem de atendimento ou a identificação de um atleta.

Mas é no sentido de quantidade que, de um modo geral, todos atribuem significado ao número. Mesmo assim, esse significado não tem o mesmo sentido para cada um de nós. Hoje, 100 euros assumem um sentido muito mais convergente para cada um de nós que há uma década atrás, quando começámos a utilizar esta nova unidade monetária. O sentido de número vai-se desenvolvendo ao longo do tempo, dependendo também das experiências que cada um tem com números. Para uma criança que acaba o seu primeiro ano de escolaridade, não atribui o mesmo significado a 43 cêntimos como um adulto. No entanto, o sentido de número entre duas pessoas com a mesma escolaridade, com certeza, que também não é o mesmo.

Recordo-me de uma expressão que ficou célebre entre nós, de alguém que perdeu o valor de grandeza do número, talvez pela ausência de um referente matemático. Afinal, pretendia saber quanto seria 6% de três mil milhões de euros. “seis vezes três são dezoito, portanto… é fazer as contas”. É claro que com números desta ordem de grandeza, o sentido de número já não é o mesmo para todos. A própria lentidão na resposta revela que o seu sentido de número começa a estar próximo dos seus limites. Havendo espaço para raciocinar, podemos concluir que 6% de 3 mil é uma centésima de 18 mil, ou seja 180. Uma vez que se falava na ordem dos milhões, então estamos a falar de 180 milhões como sendo 6% de 3 mil milhões em euros.

Também a estimativa, ou o processo de estimar, intimamente relacionado com o sentido de número, também se vai desenvolvendo com as experiências matemáticas que cada um de nós vai tendo ao longo da vida, geralmente, associadas a referentes físicos. Mas uma boa estimativa pode implicar também a realização de cálculos intermédios necessitando um bom conhecimento do efeito das operações sobre os números.

Atente-se um pouco sobre o fenómeno que tem ocorrido na informática. Dei conta que ao comprar a minha pen drive com a capacidade de 8 gigabytes ficou sensivelmente ao mesmo preço de uma caixa com dez unidades das antigas e miraculosas disquetes de 3,5 polegadas. Produto que há 20 anos era muitíssimo apreciado, afinal passou a ser uma forma de guardar um livro com mais de 100 páginas num simples bolso de camisa. Mas então quanto deveria custar a minha pen ao preço que era pago naquela altura a capacidade de armazenamento? Parece muito, uma simples pen de 8 Gb custar 2000€? Considerando o que se pagava por aquelas disquetes, este seria um óptimo negócio. No entanto, alguns anos depois, 10€ é o suficiente para comprar uma pen com a capacidade aproximada de 6000 disquetes. Imagina agora a quantidade de livros que posso trazer pendurados no meu porta-chaves?

A regularidade com que estabelecemos relações entre os números e entre as grandezas a eles associados é um ótimo contributo para o desenvolvimento do nosso sentido de número. É neste pressuposto, que proponho um pequeno exercício que provoca a sua intuição matemática e se der ao trabalho do efetuar, com certeza que ganhará um pouco mais de sentido de número.

Então é assim: imagine uma folha de papel com 1 milímetro de espessura e de tamanho indeterminado, podendo fazer dela o número de dobras sucessivas (dobra sobre dobra) que quiser. É claro que com esta espessura é mais um cartão que uma folha de papel, mas assim os cálculos ficam mais simplificados.

Será capaz de fazer uma estimativa de quantas dobras sucessivas, necessita de fazer no mínimo, para que obter uma altura superior à da maior torre do nosso planeta, que foi inaugurada em 2010 no Dubai com 828m de altura? Depois de fazer a sua estimativa comprove-a com os cálculos, e conclua sobre o seu sentido de número.

Divisão de unidades indivisíveis (resp)

2011-07-31T15:28:00.001+01:00

Relativamente ao artigo publicado neste blogue a 12 de Novembro de 2008 com o título “Divisão de unidades indivisíveis” chega o momento de refletir um pouco sobre o enigma proposto.

Este enigma é mais um problema semelhante a outros que se categorizam por alvitrarem as respostas. Também neste caso, embora de forma implícita, fica-se a entender que toda a herança é distribuída pelos 3 filhos. É necessário ter cuidado com este tipo de problemas. Devemos desconfiar quando o enunciado já nos deixa algum “caminho percorrido”. Geralmente esse caminho é o errado conduzindo-nos a situações sem saída.

Na verdade, as partes da herança daqueles três irmãos não constituem a unidade, ou seja, o total da herança;1/2 + 1/3 + 1/9 = 9/18 + 6/18 + 2/18 = 17/18. Assim, 1/18 da herança, o mesmo que 2/36 estava por atribuir. Beremiz, “o homem que sabia contar”, rapidamente se apercebeu da situação para revelar a sua generosidade ao doar seu próprio camelo para engrossar a herança e, por outro lado, retirar dividendos pelo seu bom serviço de tornar possível a divisão da herança em partes inteiras - era necessário que a herança fosse constituída por 36 camelos.

Importa referir, do ponto de vista matemático, que o número de camelos ideal para facilitar a divisão, deve ser um número que, ao mesmo tempo, seja múltiplo de 2, de 3 e de 9. Imaginando-nos agora numa situação idêntica, mas em que o número da camelos eram 52, quantos camelos deveríamos juntar à cáfila de modo a brilhar como Beremiz?

Nota: esta interessante situação pode ser adaptada à de sala de aula para determinar, e atribuir importância em conhecer o conjunto dos números múltiplos do mmc(2,3,9), bem como conectar ao estudo dos critérios de divisibilidade por estes três números.

Harmónica ou aritmética?

2011-06-26T14:40:00.003+01:00

A deslocação que diariamente faço para o meu local de trabalho, há dias, foi tema de conversa numa tertúlia de colegas de profissão. Face às medidas de austeridade que o nosso governo nos impõe, ir trabalhar fica muito mais caro. Para além do elevado preço dos combustíveis, agora passo a pagar uma taxa por utilizar uma via que me oferece condições para que chegue mais rápido ao meu local de trabalho. Se não quiser pagar a taxa terei de optar por demorar mais tempo na viagem. Feitas as contas, numa semana é mais um dia de trabalho útil que é gasto em viagens. Mas esta conversa vem a propósito para dar conta da situação enigmática que se levantou nessa discussão.

Quando me desloco para o trabalho, percorro 60km em 24 minutos, mas na viagem de regresso, uma vez que não há horários a cumprir, demoro um pouco mais, 36 minutos para percorrer os mesmos 60 km. Na verdade, tenho abusado na velocidade, 150km/h é o que acusa o ponteiro do velocímetro quando vou para o trabalho ao passo que, no regresso a casa, a velocidade passa a ser de 100km/h.

Mas a observação de um colega não deixa de ser interessante, porque segundo o que ele diz, se passasse a fazer as duas viagens à velocidade de 125km/h, não passaria pela vergonha de ser um prevaricador, e acabaria por gastar o mesmo tempo nas viagens, uma vez que passo a fazer a velocidade média das duas anteriores. Prevaricador continuaria a ser mas a margem de tolerância acabaria por ignorar a minha falta.

Feita a experiência, surge a surpresa. Os resultados ainda são melhores do que se esperava. Anteriormente demorava uma hora para fazer a viagem de ida e volta e agora ainda sobram quase dois minutos e meio. É certo que os 120km de viagem para serem feitos numa hora, basta fazer o percurso à velocidade de 120km/h e não 125km/ como teria sido sugerido pelo meu colega. Mas afinal, a velocidade média entre aquelas duas velocidades é 125 ou 120 km/h?

Na verdade, a média aritmética, vulgarmente conhecida por “média”, entre aquelas velocidades é 125 [(100+150)/2], mas 120 é também a média entre aqueles dois valores, só que neste caso, diz-se média harmónica – que é o inverso da média aritmética dos valores inversos, 2/(1/100+1/150) = 120.

São conceitos diferentes porque se contextualizam em situações diferentes. Uma coisa é querer saber a velocidade média para um determinado percurso sabendo que foram praticadas várias velocidades em distâncias iguais, conforme a situação apresentada. Outra coisa é saber a velocidade média para um determinado percurso sabendo que foram praticadas diferentes velocidades nos mesmos espaços de tempo. Faria sentido determinar a média aritmética se fizesse 30 minutos à velocidade de 100km/h e 30 minutos à velocidade de 150Km/h, ou seja, o mesmo que circular durante uma hora à velocidade de 125Km/h.

Na nossa tertúlia este assunto foi retomado mais tarde para dar conta desta ocorrência. O Artur não querendo acompanhar o raciocínio, espalhou a confusão dizendo que esse problema é o mesmo que se passa com o preço dos combustíveis. Para ele o preço nunca aumenta nem diminui. De cada vez que abastece o seu automóvel paga 20€. Todos sabemos que não é assim porque a quantidade de combustível que se compra com o mesmo dinheiro pode não ser a mesma.

Mas ficámos de saber qual o valor médio do preço do combustível que o Artur comprou nos dois últimos abastecimentos. O primeiro abastecimento foi feito numa bomba de combustível na cidade com um cartão que lhe dava um desconto considerável. O preço da gasolina ficou-lhe por 1,10€ o litro. O segundo abastecimento foi feito na autoestrada onde a gasolina foi vendida a 1,65€ cada litro.

E no caso de ter comprado 10 litros em cada um dos abastecimentos, qual seria o preço médio do combustível?

Fica o repto para que o leitor ajude a determinar o valor médio do preço do combustível para cada uma das situações.

Operações vs algoritmos (resp.)

2011-05-30T00:22:00.001+01:00

A 4 de Novembro de 2008 ficou aqui lançado o desafio para interpretar o algoritmo da divisão que o Télen tinha levado como trabalho de casa. Chega então a hora de dar resposta ao desafio publicado com o título “Operações vs algoritmos”.

Nada de muito diferente do que habitualmente fazemos. O aspeto do algoritmo não é muito familiar, mas o raciocínio subjacente implica aquele procedimento.

Vejamos! Numa 1ª fase dividiu-se duas centenas em meias centenas, sabendo que ainda sobram 74 unidades para dividir posteriormente. Assim, 2 centenas podem ser divididas por 4 meias centenas.

É de notar que o 4, no quociente, toma a posição das centenas – poderiam ser colocados dois zeros à sua direita.

Continuando com a divisão, damos conta que ainda há, pelo menos, 7 dezenas para dividir em meias dezenas. Assim, às 4 centenas no quociente devem juntar-se as 14 dezenas (14 meias dezenas = 7 dezenas). Nesta segunda fase o algoritmo assume a seguinte figura:

Neste momento já foram divididos 27 dezenas, havendo ainda 4 unidades para dividir em metades, o que nos leva a juntar esses 8 meias unidades ao quociente.

O desenvolvimento deste algoritmo por parte do Télen, dá-nos a perceber o grande sentido de número que tem este aluno tendo em conta que, a sua compreensão do algoritmo, leva a respeitar o valor de posição dos números. Assim, o 8 toma a posição das unidades. Afinal estava a dividir 4 unidades.

Compreende-se então que 274 unidades podem ser divididas em 4 centenas e ainda mais 148 meias unidades. Então resta adicionar o que figura no quociente, sendo que no resto já não há nada mais para dividir.

É certo que este ou outro algoritmo poderia ser dispensado na medida em que o cálculo poderia ser feito mentalmente: 274 dividido em metades obtém-se o dobro desta novas unidades – 400 (dobro de 200) e ainda mais 148 (dobro de 74) o que perfaz 548.

Divisão de apostas

2011-04-20T20:20:00.001+01:00

A probabilidade é uma área da matemática com poucos anos de vida. Podemos dizer que o estudo das probabilidades na história da matemática é ainda uma criança, com mais ou menos 350 anos. A sua conceção deve-se aos grandes nomes Blaise Pascal, Pierre Fermat, matemáticos que fazem do séc. XVII uma referência na história na matemática. Foi através da prática de jogos de apostas onde a sorte e o azar, determinando a maior ou menor felicidade dos jogadores, que começou por surgiu o estudo das probabilidades.

Hoje, com um maior conhecimento nesta área da matemática somos levados a rotular determinados jogos como sendo mais de azar do que sorte. Aliás, para que estes jogos sejam rentáveis, aquele que os explora, sabe muito bem que entre estas duas vicissitudes - azar e sorte, não podem ser equiprováveis. De outra forma seria incompreensível a existência de casas de jogo se a “sorte” não lhes fosse muito mais frequente.

A necessidade de calcular a probabilidade de um dado acontecimento ocorrer, só faz sentido se a experiência for aleatória - o que quer dizer que ninguém pode determinar com toda a certeza o que vai ocorrer, ao contrário de uma outra experiência dita determinista que pela sua causalidade sabemos o que acontece. É o exemplo de um automóvel que passa a toda a velocidade por um charco de água que está ao nosso lado – é previsível o que possa acontecer.

O conhecimento mais básico para o cálculo de uma probabilidade surge com uma Lei de um grande matemático que se baseia em conhecer todos os resultados possíveis de uma dada experiência aleatória. Por exemplo, no caso de haver dez bolas numeradas dentro de um saco preto e se pretender retirar uma bola do saco, existe a possibilidade de ocorrer 10 acontecimentos diferentes. Mas se duas das bolas forem vermelhas, dentro dos 10 resultados possíveis, há dois resultados que são favoráveis quando se pretende retirar uma bola vermelha. Assim, a razão entre os dois resultados favoráveis e o número de resultados possíveis (10) é, segundo Laplace, a probabilidade de retirar uma bola vermelha do saco (2/10=20%).

No entanto, ainda não tinha nascido Laplace já Pascal e Fermat trocavam cartas argumentando cada um a melhor estratégia para resolver um problema (de probabilidades) onde se pretendia a divisão de um prémio (valor que os jogadores apostaram) num jogo que teve de ser interrompido.

Os dois jogadores tinham de jogar uma séria de partidas justas arrecadando o valor da aposta aquele que obtivesse, em primeiro lugar, 6 vitórias. Acontece que, por situações imprevistas, o jogo teve de ser interrompido no momento em que o jogador A tem 5 vitórias e o jogador B tem 3 vitórias. A questão que se colocava e que foi analisada por muitos matemáticos era encontrar a forma mais justa de fazer a divisão do valor que estava em aposta entre os dois jogadores.

Uma solução que acabou por ser rebatida por Pascal e Fermat, atribuía 5/8 do prémio ao jogador A, e 3/8 de prémio ao jogador B. Esta visão matemática onde transparece um raciocínio proporcional tendo em conta o número de partidas que foram realizadas (8), nada tinha a ver com a realidade que se focava naquilo que ainda faltava jogar.

Desta forma o problema foi tratado, por largos anos, como sendo um problema de proporções, quando afinal, tratava-se de um problema de probabilidades, uma vez que o prémio deveria ser repartido de acordo com a probabilidade que cada um tinha no momento da interrupção em ganhar aquela série de partidas.

Embora Fermat e Pascal tenham seguido percursos diferentes mas ambos chegaram a um acordo em relação à resposta deste problema. Assim já não foi entendido por D’Alembert que, um século depois, apresenta uma divisão justa para este problema com uma resposta diferente, baseada no seguinte raciocínio:

No caso de o jogo continuar, havia a possibilidade de ainda serem efetuadas três partidas, acabando o jogo se o jogador A ganhasse em qualquer uma delas. Esquematicamente teríamos:

De acordo com este pensamento e segundo a lei de Laplace, o jogador A reunia três resultados favoráveis, o que lhe permitia arrecadar 3/4 do prémio sendo o restante para o jogador B. É certo o reconhecimento do pensamento sofisticado de D’Alembert ao seguir um novo conhecimento matemático – a teoria da probabilidade.

No entanto, esta abordagem a este tipo de problema é conhecida pelo erro D’Alembert. Quem estava certo eram aqueles dois matemáticos que 100 anos antes já tinham chegado à conclusão que o jogador A deveria receber 7/8 do prémio e o jogador B, 1/8 do prémio. Fica agora o desafio lançado para que o leitor justifique estas respostas dadas por Fermat e Pascal, tendo por base a razão entre os resultados favoráveis e os resultados possíveis nesta situação de jogo.

Problemas com moedas (resp.)

2011-03-24T22:36:00.001Z

Relativamente ao artigo publicado a 19 de Outubro de 2008 com o título “Problemas com moedas” sugiro uma experiência para que cada um tire as suas ilações.

Relembro que de acordo com o problema colocado, podemos imaginar uma situação análoga onde nos encontramos de olhos vendados e nos é pedido para separar 40 moedas em dois grupos sendo que, cada um deles deve ter o mesmo número de moedas com a cara voltada para cima. Sabe-se ainda que naquele grupo de 40 moedas existem 18 moedas com a cara voltada para cima.

Talvez não seja fácil reunir 40 moedas, mas a simulação pode recorrer a simples papéis em vez de moedas. Neste caso, será necessário marcar nos 40 papéis o seu verso para que se possa distinguir a “cara” da “coroa”, por exemplo, com uma cruz. Dito isto, falta espalhar os papéis em cima de uma mesa de modo a ser possível contar 18 cruzes. Estamos prontos para fazer a experiência.

Pois bem, agora com a ajuda de uma mica (bolsa plástica para guardar documentos), deve separar quaisquer 18 papéis daquele grupo de 40, e colocá-los um a um na mica, sem que fiquem sobrepostos e com a certeza de que não vira nenhum ao contrário.

Agora, apenas tem de voltar a mica ao contrário e observar muito bem o sucedido. Ficamos com um grupo de 22 papéis em cima da mesa que faziam parte do grupo inicial, e um grupo de 18 papéis no interior da mica. O mais interessante é verificar que tanto num grupo como no outro se podem contar o mesmo número de cruzes.

O prognóstico daquilo que terá feito o condenado à morte, no problema inicial, já não parece ser difícil.

Assim, bastava retirar quaisquer 18 moedas para o lado, uma a uma, com o cuidado de as voltar ao contrário. Seria o suficiente para ter a garantia de que já seria executado…

Trata-se de um problema cuja resolução tem um procedimento fácil, mas de difícil compreensão. É por isso que sugiro que sejam feitas outras experiências com um menor número de moedas.

Boas experiências!

Um sétimo

2011-02-20T02:05:00.003Z

Os números escondem segredos que, a pouco a pouco, vão-se desvendando e fazendo da matemática também uma ciência sempre em evolução. Com um olhar mais atento, surgem sempre novas relações entre os números, que para muitos não passam de meras curiosidades, mas fundamentais para o desenvolvimento de mecanismos, por exemplo, os tecnológicos que determinam substancialmente a qualidade das nossas vidas. Numa sociedade cada vez mais tecnológica, não nos apercebemos, por vezes, da importância desta ciência - a matemática.

Mas, hoje apenas quero enobrecer a curiosidade, de entre muitos fenómenos numéricos, um que também contribui para a reflexão matemática e sensibilidade para apreciar um pouco mais esta ciência.

Eu, pessoalmente, tenho uma particular paixão pelo número 9, é um número ao qual se associa grandes mistérios. Mas hoje vou colocá-lo de fora. Não quero qualquer vestígio deste número, por isso, elimino também o 3 para não correr o risco de se transformar num quadrado. E, já agora, que se exclua também o 6, não vá ele voltar-se ao contrário. Resta assim, dentro dos números naturais de um dígito, considerar o 1, 2, 4, 5, 7 e 8.

Alinhados desta forma e agrupados a pares corre-se o risco de juntar o 1º com o último, o 2º com o penúltimo e o 3º com o antepenúltimo. Se assim for, obtemos 3 grupos de 9: 1+8; 2+7, 4+5. E voltamos a falar do 9. Então é necessário propor outro alinhamento, por exemplo: 142857.

À primeira vista parece ser um número vulgar, mas na verdade tem uma particularidade muito interessante. O seu dobro é constituído pelos mesmos algarismos: 2 x 142857 = 285714. Também é interessante verificar que todos eles continuam com o seu companheiro – 14; 28 e 57.

E no caso de considerarmos o triplo, o número continua teimoso: 3 x 142857 = 428571. Em relação ao dobro, o 4 deixa a sua posição mais à direita e toma posição mais à esquerda ficando o resto invariante. Insistem em ser uma família unida.

Nesta altura começamos a pensar que não é possível haver um número mais teimoso que nós. Por isso, é inevitável a multiplicação por 4; 4 x 142857 = 571428. É incrível o que sucede! Para além de continuar com os mesmos números, agora estão novamente emparelhados como no início: 14; 28 e 57

Ninguém resiste à próxima experiência; 5 x 142857 = 714285. Agora foi a vez do 5 abandonar a esquerda e tomar a direita.

E também não é a multiplicação por seis que separa aquela família; 6 x 142857 = 857142, embora estivesse à espera que neste produto os pares tornar-se-iam a reconciliar. Mas neste caso, o dois está separado do oito.

Na verdade, não deixa de ser apenas uma ilusão. Imagine-se esta sequência a originar a seguinte sucessão: 142857142857142857… todos os produtos até agora determinados podem aí ser identificados. E nenhum número abandona o seu companheiro.

142857142857…

Acredito que nesta altura o leitor já tenha feito o produto por 7. Se é o caso, deve ter ficado de boca aberta.

E no caso de ter feito o produto por 8 não pense que esta família tenha desistido…. Repare-se no resultado: 1142856. Desapareceu o 7, mas fê-lo representar pela vinda do 1 e do 6 (1+6). É incrível! O mesmo sucedendo com a última experiência que nos falta: 9 x 142857 = 1285713. O 4 foi descansar, no entanto, foi substituído por 1 e por 3 (1+3).

Mas os poderes deste número não se ficam por aqui. Com certeza que vai admirar a harmonia numérica se aos produtos que resultaram destas experiências forem novamente multiplicados por 7.

142857	x	2	x	7	=	1999998
142857	x	3	x	7	=	2999997
142857	x	4	x	7	=	3999996
142857	x	5	x	7	=	4999995
142857	x	6	x	7	=	5999994
142857	x	7	x	7	=	6999993
142857	x	8	x	7	=	7999992
142858	x	9	x	7	=	9000054

Logo vi se o “nove” não estaria também envolvido neste mistério... Será que agora o leitor consegue encontrar uma razão para que o título desde artigo seja ”um sétimo”?

Números primos (resp.)

2010-12-22T00:57:00.004Z

Já vai sendo altura de dar resposta ao desafio proposto neste blogue a 10 de Outubro de 2008 com o título “Números Primos”.

Assim, analisando a imagem e procurando descobrir o critério da formação numérica de cada um dos eixos do esquema, damos conta que todos os eixos têm como origem o mesmo número – o 1.

O primeiro eixo é encabeçado pelo número dois, e os números que se seguem são todos os seus múltiplos. Poder-se-ia identificar este eixo como sendo o eixo dos números pares.

Sendo assim, o próximo número natural que não entra neste eixo – o número 3, vai encabeçar o segundo eixo. Todos os números do segundo eixo, ou seja, do eixo 3, são os seus múltiplos excepto os números pares porque ficaram “presos” no eixo do 2.

Percebe-se então, que o próximo eixo vai ser o eixo do 5, uma vez que é o primeiro número natural que não entra no eixo do 2 nem no eixo do 3. Da mesma forma, os números que se seguem neste eixo vão ser os múltiplos de 5 que ainda não entraram nos eixos anteriores.

Este critério aplicado a todos os números naturais dá origem à formação de tantos eixos, tantos os números primos existentes, dado que são estes que lideram cada um dos eixos.

É interessante verificar que todos os números que fazem parte de um determinado eixo não são múltiplos de nenhum número que esteja nos eixos anteriores. Então podemos concluir que os segundos números de cada eixo têm apenas mais um divisor que o número que os antecede. Esse divisor é o próprio número que o antecede, o que faz com que estes números sejam quadrados.

Uma vez que estes números, os que se encontram em segundo lugar em cada eixo, têm apenas três divisores, poderíamos propor que fossem os “números segundos-primos”. Não seria interessante?

Então, sabendo agora que o segundo número de cada eixo resulta do quadrado do primeiro, será fácil concluir que o número B = 13 x 13 = 169, C = 11 x 11 = 121 e D = 5x5 = 25.

O número que ocupa a posição A é o primeiro número natural que não é múltiplo de qualquer um dos que já ficaram nos eixos anteriores. É portanto, o número primo 19.

Em síntese e de forma conclusiva podemos verificar que os primeiros números de cada eixo correspondem ao conjunto dos números primos. Os segundos números de cada eixo resultam do quadrado do número primo que dá nome ao eixo – os segundos-primos (não é par levar a sério).

Para finalizar, também é merecida a referência ao terceiro número de cada eixo. Pois ele resulta do produto do número primo desse eixo pelo primo que lhe sucede. E já agora, o 4º número de cada eixo terá alguma relação semelhante?

Percentagens

2010-11-01T12:17:00.006Z

A percentagem é um termo muito usual, nomeadamente quando as notícias nos informam do estado da nação relativamente às suas contas. As primeiras chuvas de Outono também nos encharcam com percentagens quando se começa a discutir o orçamento de estado. Tudo se resume a percentagens sem que saibamos ao certo o que elas representam. Não nos ofende que o orçamento contemple mais 1% com as despesas dos festejos do ano anterior, sabendo que a inflação até é superior. Talvez fiquemos mais perplexos quando damos conta do valor em absoluto. Só assim nos inteiramos do possível exagero nos gastos do ano anterior. O que parecia ser aceitável, poderá agora ser visto como um agravamento daquilo que já era um desacerto.

A percentagem é um valor relativo porque depende de outro com que opera. No entanto, a informação que as agências noticiosas dão, são basicamente estes valores relativos, onde as pessoas acabam por não dar grande importância, porque se por um lado não é possível atribuir significado ao número, por outro lado, o conceito de percentagem ainda não é suficiente para lhe dar a devida importância.

É por isso que a literacia matemática é determinante na vida social. Por vezes, interrogo-me sobre a possibilidade de haver concordância entre duas entidades quando os números que se discutem são, com toda a evidência, desvantajosos para uma das partes. Talvez porque os números sejam relativos, não tendo o mesmo significado para ambas as partes.

Recordo que há muito pouco tempo os portugueses não deram grande importância ao facto de passarem a pagar 6% de IVA em vez de 5%. De facto, o que foi anunciado é que se tratava de um aumento de 1% - coisa irrelevante.

Trabalhemos com números pequenos para que também não se perca o seu sentido e vamos interpretar este aumento de 1%. Imaginando que o estado arrecadava 500€ em IVA sobre os produtos transaccionados àquela taxa, com a nova taxa passa a apurar 600€. Neste caso, deixou de ganhar 500€ para ganhar 600€, ou seja, um aumento de 100€. Aumentar 100 em 500 é o mesmo que aumentar 20 por cada 100, isto é, houve um aumento de 20%. Mas afinal, a notícia do aumento tinha sido apenas de 1%. A forma como a notícia é dada, todos a aceitam de ânimo leve: é um pequeno esforço que o consumidor passa a fazer. Afinal, é apenas mais 1%. Do outro lado, todos contentes, conseguiram aumentar a sua receita em 20% com apenas um esforço de 1% por parte dos contribuintes - malabarismos numéricos.

Pelo que vi há dias na televisão pública, precisamente no dia 15 de Outubro, no Telejornal da RTP, verifico que a mesma estratégia volta à carga, só que desta vez trata-se de uma carga dupla, ou seja, dois truques num só. Não sei se trata de uma encomenda previamente ensaiada, ou se a falta de incompetência matemática da jornalista que informa o que se vai passar com o novo aumento do IVA foi o critério para que fosse ela fazer a seguinte explicação:

Segundo a jornalista, no que diz respeito aos produtos taxados a 13% “…é fácil! É só somar 10% e fica tudo à taxa máxima”. A simulação para ser mais esclarecedora recorreu ao que acontece também com os produtos agora taxados a 6%. Neste caso foi mesmo necessário a calculadora, o valor de uma coca-cola e um pudim é de 1,75€, “ se lhe dermos mais 17%, a partir de Janeiro custam dois e cinco”. Embora não tenha sido visível o modo como o cálculo foi operado na calculadora, eu deduzo que possa ter sido: 1,75€ x 1,17 = 2,0475€, arredondado à centésima do euro corresponde ao valor anunciado: 2,05€. Bom, mas se assim é, e se todos seguirem aquele exemplo, não é só o IVA que é agravado, o preço do produto também aumenta.

Será que é assim que os nossos governantes também fazem as contas? Talvez seja uma justificação para a vulgarização das derrapagens nas contas públicas.

Analisando este caso e partindo do pressuposto que estes dois produtos passarão a custar 2,05€, o estado arrecada aproximadamente 0,38€ o que equivale a dizer que o valor dos produtos, sem IVA, são aprox. 1,67€ (1,67€ x 1,23 ≈ 2,05€). Hoje, nos mesmos produtos, o estado arrecada aprox. 0,10€, dado que os mesmo produtos, sem IVA, têm o valor de 1,65€ (1,65€ x 1,06 = 1,75€).

Assim, podemos concluir que o produto deixou de custar 1,65€ para passar a ter um valor de 1,67€, o que representa em termos percentuais um aumento de 0,02€ em 1,65€, ou seja, aproximadamente 1,2%.

Se todos os comerciantes aprenderam a lição da sra jornalista, o consumidor para além de um agravamento do IVA na ordem dos 283%, ainda fica sujeito a um aumento do produto em 1,2%. É verdade! O aumento do IVA neste caso é de aproximadamente de 283% e não de 17% como a notícia dada no telejornal nos quer “vender”. O aumento é de 17 em 6 o que representa aquela elevada percentagem, e faz com que o estado passe a arrecadar aproximadamente 38 cêntimos naqueles dois produtos em vez dos 10 cêntimos que cobrava anteriormente.

Fica assim o alerta para haver mais cuidado com as contas, principalmente quando as fazem por nós. Estando mais confiante nas contas feitas pelo leitor, lanço o repto para que determine, ao certo, o novo valor da coca-cola e do pudim quando sujeitos à nova taxa de IVA de 23%.

Pitágoras, não só para quadrados (resp.)

2010-10-07T18:32:00.002+01:00

Relativamente ao artigo publicado neste blogue a 1 de Outubro de 2008 com o título “Pitágoras, não só para quadrados” fica-se a saber, relativamente à figura ao lado, que o semi-círculo sobre a hipotenusa é, portanto, equivalente à soma dos semi-círculos assentes nos catetos do triângulo Y.

É o mesmo que ter:

(X+A)+(B+Z)=A+Y+B

Donde vem:

X+Z=Y

Concluiu-se então que a soma da área das lúnulas é igual à área do triângulo.

Recordando o problema clássico da impossibilidade da quadratura do círculo, surge a pertinência em reflectir na curiosidade de haver figuras limitadas por arcos de circunferência cuja área é um valor racional.

É de menos …

2010-09-15T15:52:00.003+01:00

A resolução de problemas pode ser visto como sendo uma capacidade que se vai adquirindo a partir de outras capacidades e conhecimentos, e que é fundamental na formação matemática de qualquer cidadão. A competência matemática afere-se, sobretudo, pela capacidade de resolver problemas.

O raciocínio e a forma como se organiza são atributos indispensáveis para conceber e executar uma estratégia que visa a resolução de um problema. Resolver problemas implica muita experiência matemática tal como um bom jogador precisa de treinar para poder marcar golos. É fundamental que desde muito cedo tenhamos oportunidade para fazer as mais variadas experiências matemáticas para que se ganhe gosto por esta ciência e a maturidade suficiente para ganhar competência matemática. E a melhor forma de envolvimento nessas experiências é através do desafio - um bom problema.

A matemática ainda é vista como sendo uma ciência onde se aprende receitas para aplicar mais tarde. O seu ensino não se pode esgotar apenas na aprendizagem dos algoritmos e procedimentos, é preciso em primeiro lugar a apropriação conceptual das noções e ideias matemáticas.

Ainda hoje é vulgar constatar que muitos alunos ficam felizes porque conseguiram acertar na “conta” do problema. Na maior parte das vezes, sem qualquer tipo de reflexão prévia, depois da leitura atabalhoada do problema surgem as reacções: é de mais…, é de menos…, é de dividir,… É claro que ainda acabam por acertar como se o problema fosse uma adivinha.

Identificar os dados do problema, o seu objectivo, o contexto onde se insere, são pequenas etapas que nos conduzem à compreensão do problema que é um item fundamental na sua resolução.

A elaboração de um plano que passa pela organização do raciocínio e na escolha de uma estratégia a aplicar é também uma componente importante na resolução de qualquer problema. Na maior parte das vezes, uma estratégia muito válida é simulação do mesmo problema, mas reduzido a uma situação mais simples. Vulgarmente, é mais fácil descobrir, compreender e estabelecer relações que nos permitem a generalização e portanto, a chave do problema.

Estes procedimentos podem parecer supérfluos, mas não nos deixam escapar ou precipitar em respostas que nos parecem evidentes mas erradas. Por exemplo, querendo saber a capacidade de um tanque sabendo que leva 500 litros mais metade da sua capacidade total, as duas respostas mais vulgares são 750 litros ou 1500 litros, sendo que, nem uma nem outra está correcta. Com certeza que o que falha é a compreensão do problema para além da verificação da adequação dos resultados.

É neste sentido que apelando à calma, ao prazer de descobrir, e tentando executar uma estratégia de resolução, proponho que encontre o número de troncos que foram cortados por um lenhador, ao fim de 7 dias de trabalho, sabendo que fez 38 cortes e obteve 53 pedaços de tronco.

Não se esqueça de explorar a situação de modo encontrar uma relação entre o número de troncos, cortes e pedaços de tronco. Só nessa altura é que o problema ficará resolvido na medida em que, futuramente, estará apenas perante um exercício ao aplicar o algoritmo com outros quaisquer valores. Por exemplo, já não será difícil saber o número de troncos que foram cortados considerando que o número de pedaços duplicou para o mesmo número de cortes feitos pelo lenhador.

Descubra o seu algarismo da sorte ( resp. )

2010-07-26T19:55:00.006+01:00

Relativamente ao artigo publicado neste blogue com o título “Descubra o seu algarismo da sorte a 19 de Setembro de 2008, proponho a seguinte resposta:

Este problema assenta na curiosidade de que partindo de um número formado por 3 algarismos, encontrando a diferença com o mesmo número invertido, e adicionando à diferença o número da diferença também invertido, obtemos sempre uma mesmo número: o 1089.

É certo que, o número de partida deve ser formado por três algarismos desde que não sejam todos iguais. Repare que um número desta natureza, quando invertido fica igual a si próprio. Logo, a diferença entre eles vai ser zero, o que não é conveniente. É por isso que se diz no desafio que ”…o seu algarismo da sorte, para este ano, nunca poderá ser igual aos algarismos da sua idade”. Assim fica garantido que o número de partida tem, pelo menos, um algarismo diferente e, com a certeza de que o mesmo número é formado por três algarismos, uma vez que “…se trata de uma experiência que só resulta com adultos”.

Sabendo então que o número obtido é sempre 1089, fica garantido que a soma dos seus algarismos vai dar indicação da 18ª palavra do texto. É claro que qualquer outro algarismo escolhido preenche sempre o requisito para seja o seu número da sorte.

Muito concretamente, nesta situação apresentada, bastaria apenas encontrar a diferença entre os números invertidos para desencadear a descoberta da 18ª palavra, como sugere a ilustração ao lado.

No entanto, a contextualização criada pretendia promover esta curiosidade que pode ser adaptada a outras situações ainda mais interessantes. Por exemplo, numa plateia em que todos fazem os mesmos cálculos a partir de números diferentes, chegar a um mesmo número, ninguém fica indiferente, a não ser que já conheça o fenómeno matemático.

Importa então analisar esta curiosidade para que se perceba como funciona do ponto de vista matemático.

Considere-se então o número:

Invertendo o número, temos:

Obtendo a diferença entre eles:

10²a + 10b + c - (10²c + 10b + a) =

= 10²(a - c) + c - a

Dado que a > c, o algarismo das unidades (c - a) não é possível determinar, em N.

Assim, vamos ter de utilizar uma técnica idêntica àquela quando pretendemos subtrair um número em que o aditivo é inferior ao subtractivo. Uma técnica vulgar é o recurso ao método do empréstimo - a ordem seguinte cede uma dezena à ordem anterior para que o cálculo seja possível. No nosso caso, 10²(a - c) + c - a, a ordem das dezenas encontra-se vazia, o que obriga a recorrer à ordem das centenas para “emprestar” uma dezena de centenas.

Assim, temos:

10²(a - c) + c - a =

= 10²(a - c) - 10²+ 10² - 10 + 10 + c - a =

= 10²(a - c - 1) + 10² - 10 + (10 + c - a)=

= 10²(a - c - 1) + 10x (10 - 1) + (10 + c - a)=

Daqui se percebe que:

(1) O algarismo das centenas = a - c - 1

(2) O algarismo das dezenas = 9

(3) O algarismo das unidades = 10 + c - a

O procedimento seguinte consistia em adicionar este número com o mesmo número invertido.

Invertendo este número obtém-se:

10²(10 + c - a) + 10x 9 + (a - c - 1)

Adicionando este dois números:

10²(a - c - 1) + 90 + (10 + c - a) + 10²(10 + c - a) + 90 + (a - c - 1)=

= 10²(a - c - 1 + 10+ c - a) + 90 +10 + c - a + 90+ a - c - 1 =

10²x 9 + 189 = 1089.

Regularidades no plano

2010-06-13T19:28:00.001+01:00

Por volta de 1750, Leonhard Euler fez uma descoberta que, não sendo aquela que lhe deu mais notoriedade, representa uma ponte que estabelece os primeiros contactos dos alunos com a história da matemática. É uma das primeiras “receitas matemáticas” no currículo académico que denota nesta ciência regularidades, padrões e relações que poucos conseguem apreciar.

Euler delicia-nos com uma relação entre os elementos que constituem os sólidos geométricos limitados por superfícies planas - arestas, vértices e faces. Quando o professor leva os alunos a conjecturar que, num poliedro, a soma do número de faces com o número de vértices é sempre igual ao número de arestas mais dois (F+V=A+2), também tomam conhecimento de que essa descoberta já foi feita por alguém há cerca de 300 anos. Os estudantes, ao dar os primeiros passos nesta ciência, começam a perceber que a Matemática também tem a sua história, sendo tão importante o conhecimento matemático como o conhecimento daqueles que contribuíram para o seu desenvolvimento.

Mas todos sabemos que não há regra sem excepção, e a desilusão daqueles que entusiasticamente constroem matemática surge na descoberta de um elemento que não se encaixa na regra. O zero é um exemplo disso mesmo. Há quem o considere uma aberração da matemática porque faz perder as boas qualidades de grandes generalizações. A determinação do comprimento da diagonal do quadrado tendo de lado uma unidade de comprimento, tirou muitas noites de sono ao próprio Pitágoras. Também na relação de Euler aparece um “monstro” que refuta a teoria que parecia ser infalível.

Houve então a necessidade de definir os sólidos que se caracterizam por verificar esta relação – os sólidos eulerianos. Os outros, na época, seriam os “monstros”, como o da figura.

Mas esta curiosidade nas 3 dimensões leva-nos a interrogar sobre o que se passa no plano. Será que existe uma regularidade semelhante ou, simplesmente, não haverá qualquer regularidade?!...

Imagine-se então um plano, cuja construção mental pode ser a ideia de um pavimento. Vamos considerar neste pavimento arestas (a), nós (n) e mosaicos (m). Consideremos as arestas como sendo as linhas que terminam em nós, e a porção de pavimento limitada pelas arestas serão os mosaicos. A figura seguinte é um exemplo de uma figura com 6 nós, 7 arestas e 2 mosaicos.

Fica então o desafio de estabelecer uma relação, caso exista, entre nós (n), arestas (a) e mosaicos (m).

Depois de ter chegado a uma conclusão, analise cuidadosamente se não haverá um “monstro” que refute a sua conjectura.

Uma questão de tempo (Resp.)

2010-05-16T15:25:00.001+01:00

Recordando o artigo “Uma questão de tempo”, publicado neste blogue a 7 de Setembro de 2008, era pedido um exemplo onde a influência da cultura Babilónica ainda se fizesse sentir nos dias de hoje.

A medida da amplitude de um ângulo é um exemplo disso mesmo. Quando se fazem medições de amplitudes de ângulos, recorre-se habitualmente ao sistema de numeração de base sessenta (sistema sexagesimal). Um grau é o mesmo que 60 minutos, e um minuto são 60 segundos. As experiências que temos com um sistema diferente do decimal, como no caso da medição de ângulos ou na medição do tempo, poderá servir para compreender melhor quando se pretende converter a representação de um número numa base para outra base diferente.

É certo que este sistema (sexagesimal), tal como o conhecemos, não é suficientemente puro uma vez que não dispõe de 60 símbolos, de modo a que a ordem dos segundos, dos minutos ou dos graus fosse representada apenas por um símbolo. Na verdade, cada uma destas ordens, ainda que seja de forma parcial, organizam-se com recurso ao sistema decimal.

Mesmo assim, compreende-se que o número 20^o15’36’’ corresponde a 20x60²+15x60+36 unidades no sistema decimal, isto é, 72936 segundos que, na sua decomposição polinomial de base dez pode ser representado por 7x10⁴+2x10³+9x10²+3x10+6 .

Na eventualidade de querer representar um número noutra base a partir da decimal deveremos proceder em sentido inverso. Partindo do mesmo exemplo, 72936 segundos, é o mesmo que 72936:60 minutos (72936=1215x60+36). Assim, na ordem dos minutos temos 1215 e na ordem do segundos, o que resta: 36 segundos.

No entanto, torna-se obrigatória a operação 1215:60 (horas), uma vez que em qualquer ordem só se admitem valores inferiores a 60. Dado que 1215:60=20x60+15, concluiu-se que temos 20 na ordem das horas, 15 na ordem dos minutos e 36 na ordem dos segundos: 20^o15’36’.

De forma análoga, querendo representar o mesmo número 72936 na base cinco, o procedimento é o mesmo, com a diferença de que as divisões a efectuar são sempre com divisor cinco.

72936:5=14587x5+1 –> 14587 grupos de 5 de ordem um, e ainda resta 1 na ordem zero –> 1

14587:5=2917x5+2 –> 2917 grupos de 5 de ordem dois, e ainda restam 2 na ordem um –> 21

2917:5=583x5+2 –> 583 grupos de 5 de ordem três, e ainda restam 2na ordem dois –> 221

583:5=116x5+3 –> 116 grupos de 5 de ordem 4, e ainda restam 3 na ordem três –> 221

116:5=23x5+1 –> 23 grupos de 5 de ordem 5, e ainda resta um na ordem quatro –> 13221

23:5=4x5+3 –> 4 grupos de 5 de ordem 6, e ainda restam 3 na ordem cinco –> 313221, isto é: 4313221_(cinco)

Confirmando a sua representação em número decimal, temos: 4x5⁶+3x5⁵+1x5⁴+3x5³+2x5²+2x5+1=72936.

mdc

2010-04-26T00:04:00.002+01:00

No artigo com o título mmc foi aproveitada a ideia das figuras rectangulares para determinar o mínimo múltiplo comum de dois números. Será que não haverá um processo idêntico para calcular o máximo divisor comum (mdc) de dois números?

Importa então pensar um pouco no que se entende por máximo divisor comum de dois números. Pretende-se encontrar o maior número inteiro que divide exactamente esses dois números. Recorrendo a uma figura rectangular, em que esses números estão representados pelo comprimento dos seus lados, temos de encontrar o maior, e o mesmo número de divisões iguais que podemos fazer, em cada um dos seus lados.

Por exemplo, num rectângulo de 6 por 9 é possível subdividi-lo em rectângulos semelhantes obtendo assim um número quadrado de rectângulos. É certo que o número de rectângulos que formam o rectângulo inicial é sempre um número quadrado, uma vez que resulta do produto de dois factores iguais. Neste caso, o resultado final será um rectângulo subdividido em 9 rectângulos congruentes (3x3).

Neste exemplo, o maior número inteiro que divide exactamente os dois lados do rectângulo é o 3 (mdc de 6 e 9). É por isso que na diagonal do rectângulo se encontram 3 rectângulos.

Esta poderá ser uma indicação para encontrar, a partir de uma figura rectangular, o máximo divisor comum dos valores que correspondem aos comprimentos dos lados do rectângulo.

Note-se que a soma das diagonais dos rectângulos interiores constitui a diagonal do rectângulo maior. Repare-se ainda, que esta diagonal contém dois pontos especiais para além dos seus extremos. São os extremos das diagonais dos rectângulos interiores. Estes pontos são os únicos que coincidem com os vértices dos quadrados da malha quadrangular.

Portanto, ao traçar uma diagonal num rectângulo construído numa malha quadrangular, podemos procurar os pontos da diagonal que coincidem com os vértices dos quadrados dessa malha. Caso existam, pode-se concluir que são os extremos das diagonais dos rectângulos interiores que se podem formar ao longo da diagonal, como se pode constatar na figura anterior.

Numa outra situação de exemplo, se a diagonal do rectângulo passar por quatro vértices dos quadrados que constituem a malha quadrangular, quer isto dizer que a diagonal foi dividida em 5 segmentos de comprimento igual. Sabendo agora que estes segmentos são as diagonais dos rectângulos que podem ser construídos sobre aquela diagonal, pode-se deduzir que será possível dividir o rectângulo em 25 rectângulos congruentes e semelhantes ao primeiro. Cinco no comprimento e cinco na largura.

Significa isto que o comprimento e a largura do rectângulo se deixam dividir exactamente por cinco.

Perante um rectângulo de 5 por 8, por serem números primos entre si (não têm um divisor comum que seja diferente de 1), podemos garantir, com toda a certeza, que a sua diagonal não encontra o vértice de qualquer quadrado. Confirme-se no exemplo.

No entanto este rectângulo poderia ser visto como sendo apenas um de 36 rectângulos “iguais” que formam um outro rectângulo semelhante a este.

Qual será o valor do comprimento e largura desse rectângulo?

A diagonal desse rectângulo, para além dos seus extremos, contém pontos que são vértices dos quadrados da malha quadrangular. Quantos pontos são?

Esses pontos dividem a diagonal em quantas partes?

Que relação existe entre esse número de partes, o valor do comprimento e o valor da largura desse rectângulo?

Quanto mais depressa, mais devagar... (resp.)

2010-04-14T21:52:00.004+01:00

Ao problema colocado a 18 de Agosto de 2008 com o título “Quanto mais depressa, mais devagar...”, proponho a seguinte resposta:

Um quarto do percurso foi feito a pé. Sabendo que a pé anda 4 vezes mais devagar do que bicicleta, então demorou tanto tempo a fazer esse percurso como levaria todo o percurso a fazer de bicicleta. Assim, o tempo que foi percorrido de automóvel corresponde ao tempo que chegou atrasado – 6 minutos.

Se em 6 minutos de carro fez ¾ do percurso, então de bicicleta precisaria de 4 vezes mais do tempo para fazer o mesmo percurso, isto é, demoraria 6x4=24 minutos.Então, se 24 minutos de bicicleta correspondem a ¾ do percurso, para fazer todo o percurso irá precisar de 24:3/4=32 minutos.

No caso do percurso ser feito a pé, seriam precisos 128min (32 x 4), ou seja, 2h e 8m.

mmc

2010-03-29T21:56:00.003+01:00

Procurar o mmc dos números A e B é procurar o menor número que se deixa dividir exactamente por A e B.

Uma estratégia simples que ajuda a desenvolver esta noção é a representação na recta numérica dos múltiplos dos números envolvidos.

Por exemplo, querendo saber o mmc (4,6) temos:

Contamos de quatro em quatro até encontrarmos um múltiplo de 6, ou de 6 em 6 até encontrarmos um múltiplo de 4.

Contudo, torna-se desconfortável quando os números envolvidos têm um mínimo múltiplo comum elevado, exigindo o prolongamento da recta numérica. Querendo continuar a recorrer à mesma estratégia, podemos optar por um segmento de recta graduado cujo comprimento deve corresponder ao maior, dos dois números envolvidos.

Assim, neste caso, basta fazer contagens de 4 em 4 num segmento de comprimento 6, percorrendo-o da esquerda para a direita e vice-versa até encontrar um dos seus extremos. Determinando o produto do número de vezes que o segmento é percorrido pelo seu comprimento encontramos o número pretendido. Esse número é múltiplo daquele que é usado para contagem, e também é múltiplo do número que corresponde ao comprimento do segmento uma vez que a contagem acaba num dos seus extremos. Assim, no exemplo seguido, concluiu-se que o mmc (4,6) = 2 x 6 = 12

O seguinte esquema evidencia o procedimento:

No entanto, também se compreende que o esquema perde a sua percepção se houver a necessidade de continuar vários percursos até encontrar um dos extremos do segmento.

Mas, sabendo que o mmc de dois números nunca pode ser maior que o produto entre esses números, facilmente ultrapassamos as desvantagens dos métodos anteriores se essa multiplicação for entendida como sendo o cálculo da área de uma figura rectangular.

No exemplo seguido, 4 x 6 implica 24 quadrados - número que será sempre maior ou igual ao mmc dos números que representam a largura e o comprimento do rectângulo.

Se, da mesma forma, procedermos a contagens de quatro em quatro quadrados, ao longo do comprimento do rectângulo, poder-se-á chegar à mesma conclusão, com a vantagem de deixarmos o registo, de forma inequívoca, as contagens feitas.

Sugere-se assim que a contagem dos quadrados seja feita e registada pelas suas diagonais, conforme o exemplo a seguir:

Continuando as contagens de 4 em 4 temos:

Concluiu-se assim que foram atravessados 3 x 4 quadrados correspondendo a 2 comprimentos do rectângulo. Nesta altura, já deve ter percebido a relação que se estabelece entre o número de quadrados atravessados pela sua diagonal, o número de quadrados que se contam na largura e o número de quadrados que definem o comprimento do rectângulo.

Este esquema poderá dar origem à visualização mental de uma mesa de bilhar dimensionada a uma malha quadrangular e onde a bola percorre as diagonais dos quadrados dessa malha. A partir de um canto, a bola pode-se deslocar até encontrar outro canto da mesa e sem passar duas vezes sobre o mesmo quadrado.

Imagine-se então uma mesa de bilhar onde se possa traçar uma malha quadrangular de 6 por 8 quadrados. Quantos quadrados seriam atravessados pela bola que sai de um canto, passando sempre pelas diagonais dos quadrados, até encontrar novamente outro canto?

Sinal de Perigo (resp.)

2010-03-13T17:37:00.002Z

Ao artigo publicado neste blogue com o título Sinal de Perigo a 12 de Agosto de 2008, proponho a seguinte resposta:

Tenho constatado, em conversa com alguns condutores, que a interpretação da informação dada pelo sinal de perigo sobre o declive da estrada onde se vai circular, não é a correcta. No caso de a indicação ser de 100%, grande parte das pessoas afirma que seria impossível essa informação, dado que representaria o declive na vertical, não sendo possível o trânsito nestas condições. Outros argumentam que a inclinação não pode ser superior a 90% senão estaríamos a subir ou a descer uma encosta de uma montanha em forma de “Z”, onde as formigas poderiam ser o exemplo do animal com capacidades reconhecidas para se aventurarem em tal tarefa.

Na verdade, penso que os todo-o-terreno estão à altura de se aventurarem numa inclinação desta ordem de percentagem. Isto significa que ao percorrer uma determinada distância na horizontal a sua altitude aumenta ou diminui no mesmo valor. Assim, podemos construir a ideia de que a inclinação de 100%, em relação à horizontal, será a mesma que a de uma diagonal do quadrado em relação a um dos seus lados.

Portanto, no problema proposto, havendo uma inclinação de 100%, dever-se-á procurar o ponto que está à mesma distância de B que o ponto A. Assim, o ponto a ligar a A deve ser o ponto D.

Dando resposta à primeira pergunta do artigo, e tendo agora a noção de que a inclinação de 10% corresponde a uma variação de 10 metros em altitude por cada 100 metros percorridos na horizontal, então o ponto N é aquele que deve ser ligado ao ponto A.

Do fim para o princípio

2010-02-28T14:27:00.001Z

Num manual escolar de História e Geografia de Portugal do 2º ciclo, conta-se uma história que contagiou grande parte da comunidade educativa de uma escola da Covilhã. A particularidade desta história é que acaba com uma pergunta à qual não se encontra consenso na sua resposta.

É um problema verdadeiramente desafiante. Estou certo que o leitor também não vai ficar indiferente a esta história sem que faça um esforço para propor uma solução:

“Uma camponesa guardou os ovos das suas galinhas, durante um mês.

Um dia de manhã, o marido lembrou-lhe que tinha de levar alguns ovos ao dono das terras, o seu senhor. Quando voltou, disse ao marido:

- Levei metade dos ovos ao castelo do senhor.

Passados alguns dias o marido informou a mulher:

- Tens de levar ovos ao senhor padre.

No regresso comenta a camponesa:

- Só tenho metade dos ovos que tinha depois de ter ido ao castelo.

Entretanto, o Sr. Bispo passou pelas terras dos camponeses para visitar a igreja.

O marido ordenou:

- Mulher! Leva uns ovos ao Sr. Bispo!

Depois de ter entregue metade dos seus ovos ao Bispo, lamenta a mulher:

- Se depois da ida ao castelo não tivesse recolhido mais quatro ovos, apenas teríamos seis.

Quantos ovos tinha a camponesa, antes de ir ao castelo do senhor?”

A interpretação deste problema revelou ser a maior dificuldade na sua resolução. No entanto, o reconhecimento de ser resolúvel por qualquer pessoa sem que tenha a necessidade de grandes conhecimentos matemáticos tornou-o num bom problema.

O objectivo do problema é saber o número de ovos que a camponesa tinha no início. O enunciado informa-nos do número de ovos que a camponesa tinha no final. Então, parece que a estratégia mais apropriada para a sua resolução é seguir o processo do fim para o princípio.

Seguindo este raciocínio importa perceber muito bem o percurso feito e as operações envolvidas em cada momento.

1. Depois de ter ido ao castelo, a camponesa ficou com metade dos ovos que tinha inicialmente.

2. Depois de ter dado ovos ao senhor padre ficou com metade dos ovos que tinha em 1.

3. Entregou metade dos ovos ao bispo. Quer isto dizer que ficou com metade dos ovos que tinha em 2.

4. O comentário da camponesa dá-nos conta que, se tivesse seguido este processo, no final ficaria com seis ovos.

O raciocínio pode ser estruturado da seguinte forma:

Nesta lógica, não há dificuldade se for feito o percurso contrário, assim temos:

De acordo com o esquema chega-se à conclusão que a camponesa tinha no início 48 ovos.

A discussão em torno deste problema prende-se, sobretudo, pela importância do comentário da camponesa quando diz: “se depois da ida ao castelo não tivesse recolhido mais quatro ovos, apenas teríamos seis”.

A riqueza deste problema prende-se também pelo facto de haver dados a mais, o que numa primeira leitura pode não ser assim entendido. Efectivamente, a camponesa dá-nos conta do número de ovos que tem no final por duas vias: (i) os que teria se não tivesse recolhido quatro ovos, (ii) e de forma implícita os que tem naquele momento.

Querendo seguir a mesma estratégia de resolução, mas considerando agora o número de ovos que efectivamente a camponesa tem, cujo texto nos fornece de forma implícita, fica o repto para que o leitor exemplifique através de um esquema idêntico ao proposto, como pode encontrar o número de os ovos que a camponesa tinha no início.

Teorias modernas (resp.)

2010-02-13T00:32:00.001Z

Relativamente ao artigo publicado neste blogue com o título Teorias modernas a 11 de Setembro de 2008, proponho a seguinte resposta:

No esquema que representa as pontes de Königsberg, todos os vértices são ímpares, logo podemos traçar uma nova aresta de modo que dois vértices passem a ser pares:

Assim, obtemos uma figura apenas com dois vértices ímpares o que resolve o problema proposto.

De acordo com o esquema a nova representação das pontes de Königsberg, poderia ser a seguinte:

Em relação ao desafio do envelope, não é possível a sua resolução porque dos 5 vértices da figura, 4 deles são ímpares. Apenas 2 vértices poderiam ser ímpares ou então, todos pares.

Técnicas de cálculo (mental)

2010-01-23T15:18:00.002Z

Um bom cálculo mental, em certa medida, pode determinar a melhor tomada de decisão em momentos que não é possível o uso de máquina de calcular ou o próprio algoritmo dado que o papel, lápis e calculadora nem sempre estão disponíveis.

O cálculo mental visto como aprendizagem, também não tem uma receita própria para se desenvolver, mas deve resultar de descobertas pessoais no sentido de construir procedimentos mentais de modo a facilitarem o cálculo. Todavia, há dois denominadores comuns que são fundamentais para o desenvolvimento do cálculo mental, o exercício sistemático, gozando da particularidade de não haver necessidade de agendar essa actividade dado que são muitas as oportunidades pelas solicitações da vida do dia-a-dia e, por outro lado, o domínio da tabuada. É mesmo necessário saber a tabuada para além da sua compreensão.

Aliás, ocorrem situações que a aplicação do conhecimento da tabuada é suficiente desde que coadjuvado com técnicas de cálculo que se suportam por um conhecimento matemático mais avançado sobre os números e as relações entre eles.

O quadrado de um número em que o algarismo das unidades seja cinco, pode servir de exemplo ao que é dito: 75 x 75 = 5625, em que 25 resulta do produto de 5 por 5, e 56 é o produto de 7 pelo seu sucessor natural.

Importa saber se esta técnica de cálculo resulta com outros números. De facto, a mesma regra também poderia ser aplicada, por exemplo, a 83 x 87. O resultado desta operação pode ser obtido pelo produto de 3 por 7 (21), ao qual, se junta à esquerda 72, que é o produto de 8 pelo número inteiro que o sucede (8 x 9 = 72). Assim se obtém de forma rápida 83x87=7221, bastando para isso conhecer a tabuada e a técnica matemática a usar.

Mas o que é estes números terão de especial para que esta regra, não sendo geral, funcione também com os produtos: 22x28; 34x36; 48x42…?

Verifica-se que os produtos envolvidos são formados por factores com o mesmo número de dezenas. Assim, os dois factores podem ser representados:

factor 1: (a10 + b), em que a, representa o algarismo das dezenas e b o algarismo das unidades.

factor 2: (a10 + c), em que a, representa o algarismo das dezenas e c o algarismo das unidades.

O produto destes números pode ser representado:

(a10 + b) (a10 + c)=

= a²10²+ ac10 + ab10+ bc =

= a²10²+ a(c+b)10 + bc

Repare-se que, em vez de termos a(c+b)10 na expressão anterior, se tivéssemos a10² estaríamos perante a mesma situação dos produtos anteriores, o que corresponde a multiplicar o algarismo das dezenas pelo seu sucessor, obtendo-se assim o valor das centenas e adicionando/juntando o produto dos “algarismos” das unidades. Ou seja:

a²10²+ a10² + bc = a(a+1)10²+ bc

Insistindo então nesta igualdade a(c + b)10 = a10², verifica-se que b+c=10.

Isto leva-nos a concluir que esta técnica de cálculo só é permitida quando os dois factores têm o mesmo número de dezenas e os algarismos das unidades são complementares aritméticos, isto é, quando a sua soma é 10.

No caso de obtermos um quadrado de um número, por exemplo, 64 x 64 poderemos utilizar outra técnica igualmente interessante:

É capaz de explicar a razão deste algoritmo?

Desidratação (resp.)

2010-01-11T17:46:00.001Z

Ao artigo publicado neste blogue com o título Desidratação a 7 de Agosto de 2008, proponho a seguinte resposta:

Após a desidratação, a melancia deixou de ser 99% de água e passou a ser 98% o que faz com que a massa sólida tenha duplicado em termos percentuais, passando de 1% para 2%. Quer isto dizer que as 10g (0,01x 1000g) de massa sólida, antes da desidratação, passaram a corresponder a 2% do peso da melancia.

Ora se 2% são 10g, 1% são 5g e, portanto, 100% são 500g o que corresponde ao peso total da melancia depois da desidratação.

Não nos devemos esquecer que a percentagem é sempre um valor relativo. É por isso que, por vezes, somos convencidos por percentagens estatísticas que nos levam a acreditar naquilo que ainda está longe de acontecer…

Dobros sucessivos – base 2.

2009-12-27T21:43:00.005Z

Frequentemente medito nos números e sobre os números, faz parte da minha profissão. Muito cedo revelei alguma apetência pelos números em desfavor das letras. Uma evidência em sala de aula merecedora de registo foi o exemplo que dei à minha professora primária sobre os sucessivos dobros quando, o que se pretendia era o conhecimento da tabuada do 2. O dobro de 1 é o 2 e o dobro de 2 é 4 e a seguir vem o 8, 16, 32... A professora mandou-me calar quando passava pelo 1024. Hoje sabe-se, incompreensivelmente para alguns, que este valor corresponde a um kilobyte, uma vez que se trata de uma grandeza associada a um sistema de base 2 e, portanto, é a potência de base dois a que se pode atribuir o prefixo kilo, por ser a mais próxima de 1000 bytes.

Mas não querendo fugir à questão dos sucessivos dobros importa referir que essa sucessão pode ser vista como sendo 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, … É importante que se reconheça que o antecessor de qualquer termo é sempre metade desse termo. Faço esta referência porque há uma tendência natural para dizer que o dobro de 2¹⁰ é 2²⁰. Cuidado!...

Só muito mais tarde descobri que o fascínio que tinha por estes números também era um padrão de referência para outras culturas. Os egípcios, por exemplo, não se preocupavam em saber a tabuada como nós a propomos aos nossos alunos. O mais importante para eles era saber duplicar uma vez que qualquer número, se não fosse uma potência de base dois, poderia ser obtido pela soma de potências de base dois.

Também a informática optou por desenvolver a sua linguagem num processo simples, onde apenas dois símbolos seriam o suficiente para representar qualquer valor. Tomando um “zero” como sendo um circuito interrompido e um “um” como estando ligado, todos os arranjos entre “zeros” e “uns” fariam da opção binária a escolha ideal para o desenvolvimento daquilo que hoje é o mais complicado para todos nós - o computador.

De acordo com a tabela seguinte é fácil reconhecer que qualquer número pode ser representado apenas com “zeros” e “uns” necessitando apenas das potências de base dois para a sua formação:

Para ajudar na análise da tabela podemos verificar, por exemplo, que o número 10 é representado por '1010' significando no sistema binário, 1x2³+0x2²+1x2¹+0x2⁰=10, ou seja 8+0+2+0.

Aproveitando a regularidade que se evidência na tabela, sugere-se a formação de listas de ordem 0, 1, 2, 3… tendo cada lista o nome do número do expoente da referida ordem. Começando pela lista de ordem zero (2⁰) devem ser incluídos todos os números que têm um “um” na coluna dessa ordem:

Para construir a lista de ordem 1, segue-se o mesmo critério. Apenas se incluem os números cuja representação binária, precisa de um “um”, nessa ordem.

O mesmo critério se deve aplicar para formar as restantes listas:

Uma vez organizadas 4 listas, verifica-se que são necessários 15 números para a formação das listas com o mesmo número de elementos. Note-se que todas elas acabam nesse número (2⁴-1). O número seguinte (2⁴), por se tratar de uma potência de base dois vai encabeçar a próxima lista (lista de ordem 4). Mas, considerando apenas estas quatro listas (0, 1, 2 e 3), pode-se pedir que pense num número até 15 e que revele as listas onde aparece. De imediato se fica a saber o número em que pensou. Quer dizer como? E se fizesse 6 listas, os números envolvidos seriam até qual?

Experimente descarregar aqui o ficheiro que lhe propõe 8 listas de números. Só tem de identificar as listas onde se encontra o seu número secreto. O computador encarrega-se de descobrir esse número.

Nota: depois de abrir o ficheiro Excel (office 2007), é necessário clicar em “opções” e optar por “activar este conteúdo” - macros.

Áreas e perímetros com abelhas (resp.)

2009-12-12T16:10:00.003Z

Em relação ao artigo publicado neste blogue com o título Áreas e perímetros com abelhas a 1 de Agosto de 2008, proponho a seguinte análise:

Seguindo o conceito de uma pavimentação regular, o plano é pavimentado apenas com um tipo de ladrilho, cuja forma é um polígono regular. O polígono regular implica ter todos os lados de comprimento igual e ângulos internos com a mesma amplitude. Apenas o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular têm ângulos internos cujas amplitudes são submúltiplas de 360⁰. Quer isto dizer, que são os únicos polígonos regulares que pavimentam.

Facilmente se reconhece que o trabalho desenvolvido por uma comunidade composta por centenas de elementos é mais fácil se todos eles forem formatados para fazer o mesmo. Desta forma, não há a necessidade de discutir alterações ou a criação de novos projectos. Neste caso, o projecto das abelhas é dividir o plano em regiões idênticas, de forma que todas elas estejam sempre envolvidas no mesmo projecto. Assim, é compreensível que se adopte apenas um ladrilho para que seja feita a pavimentação (monoédrica).

Por outro lado, o rendimento do trabalho aumentará se para a conclusão do mesmo projecto recorrer à menor energia possível. É dentro desta lógica que importa saber qual a forma a adoptar para obter a maior área tendo o mesmo perímetro. Através do conhecimento matemático prova-se que o círculo é a forma geométrica ideal, tendo em vista a obtenção da maior área com o menor perímetro. De facto, entre as três figuras enumeradas anteriormente, o hexágono é aquela que se aproxima mais do círculo. Vamos lá perceber como é que as abelhas descobriram isso…

Fazendo o teste que é sugerido para uma mesma área:

Optando por triângulos equiláteros:

-- 135 palitos

-- ±9,5 palitos para acabar de fechar o rectângulo.

Total de 144,5 palitos

Optando por quadrados:

-- 76 palitos

-- ± 8,5 palitos para acabar de fechar o rectângulo.

Total de 84,5 palitos

Optando por hexágonos regulares:

-- 45 palitos

-- ± 19,5 palitos para acabar de fechar o rectângulo.

Total de 64,5 palitos

Comprova-se que para um menor consumo energético na construção dos favos, as abelhas estão certas em optarem pelos hexágonos.

Resto, excesso ou diferença

2009-11-30T21:57:00.001Z

Quando mentalmente não se consegue efectuar a operação matemática desejada é nessa altura que se costuma recorrer ao algoritmo conhecido. Seguir um processo institucionalizado dá confiança a quem o pratica embora, por vezes, o praticante do algoritmo não atribua significado ao processo utilizado. Mas a aprendizagem matemática deve visar sempre a compreensão dos procedimentos e, por conseguinte, contribuir para se dar significado às rotinas.

Este objectivo não é um a meta fácil, principalmente nos primeiros anos de escolaridade onde é necessário o recurso a algoritmos para efectuar operações que ainda não foram conceptualizadas. A subtracção é o exemplo de uma operação que recorre a um algoritmo que, em caso pontuais, é de difícil compreensão. Refiro-me a situações em que é necessário recorrer a artifícios matemáticos para tornar possível esta operação, como seja nos casos de em que o algarismo do aditivo é inferior ao subtractivo.

A meu ver, a institucionalização do algoritmo só deve ocorrer quando o cálculo mental se revelar incapaz para se realizar a operação, ou quando outras técnicas utilizadas de forma compreensiva forem reconhecidas como sendo menos eficazes na obtenção de resultados mais rápidos. Mas o querer atingir objectivos muito rápidos no currículo do aluno faz com que a mecanização de procedimentos se antecipe à consolidação conceptual de respectiva operação.

No caso da subtracção, penso que seria importante analisar-se em primeiro lugar o significado da operação, pois pode tratar-se de um excesso, noutros casos de uma diferença ou ainda de um resto, dependendo do contexto onde se insere. Mas, à margem de situações concretas e abusando um pouco da abstracção matemática poder-se-á fazer uma breve análise a estes conceitos.

Por exemplo, 43 pode ser decomposto na adição 40 + 3 podendo, o 3, ser visto como sendo o resto que vai para além de 40. Portanto, perante a subtracção 43 – 40, poderemos entendê-la como querendo procurar o número que resta, para além do 40, para chegar ao 43.

Segundo este raciocínio e, tomando como outro exemplo a subtracção 54 – 26, pretendo determinar o que resta para além do 26 até ao 54. Assim, poderei decompor o 54 numa soma de duas parcelas de modo a obter 26. Este processo poderá ser feito de forma gradual de acordo com as capacidades de cálculo mental de cada utilizador, transferindo valores de uma parcela para a outra, criando adições equivalentes:

Uma outra interpretação seria por exemplo entender 54 – 26 como procurar a diferença que vai de 26 para 54. Neste caso, posso partir do 54 e ir retirando valor até atingir o 26. Depois basta adicionar os valores retirados;

Por outro lado, 54 – 26 pode ser interpretado como sendo o excesso que vai além de 26 até 54. Neste caso poderia seguir outro procedimento que consta no apuramento do valor em excesso. A sua representação poderia ser a seguinte:

Estes são três exemplos de sugestões algorítmicas que podem ajudar a superar a dificuldade na subtracção quando o algarismo do aditivo é inferior ao subtractivo. Para além destas sugestões algorítmicas da subtracção, deixo a representação de uma outra que era muito usual antigamente. Por exemplo, a seguinte subtracção: 2546 - 1794.

Embora se trate de um algoritmo moroso, que vantagem lhe pode ser reconhecida em relação ao nosso algoritmo tradicional?

O papel que usamos… (resp.)

2009-11-14T22:31:00.003Z

Ao artigo publicado neste blogue com o título “O papel que usamos…” a 30 de Julho de 2008, proponho as seguintes respostas aos desafios lançados.

Seguindo a regularidade da tabela obtém-se as dimensões das folhas A₈, A₉ e A₁₀.

1. 2¹⁰=1024; A folha A₀ dá origem a 1024 folhas A₁₀

2. São necessárias 1024 folhas.

3. Para uma resma de papel A₄ são necessárias 500/16=31,25 folhas A₀. Então o peso da resma é 31,25 x 80 = 2500g

4. Uma folha A₀ dá origem a 2⁷ folhas A₇. Assim, o prisma é formado por 5 x 2⁷= 640 folhas. Logo, cada folha tem de espessura 64mm/640=0,1mm. Recorrendo à folha de cálculo Excel é fácil verificar que 0,1mm x 2³³=429496,7mm o que corresponde aproximadamente a 429m, portanto basta fazer 33 dobras sucessivas.

Quadratura do rectângulo

2009-10-31T01:25:00.003Z

Faz parte do currículo académico da escolaridade básica, conhecer e saber determinar os pontos notáveis de um triângulo. Não é difícil memorizar os procedimentos para determinar, por exemplo, o circuncentro tendo em vista a realização de uma prova de exame. No entanto, a aplicação desse conhecimento matemático na vida real, de um modo geral, escapa à maioria dos estudantes. Isto faz-nos reflectir, afinal para que aprendemos matemática se não sabemos aplicar o conhecimento? Talvez uma das razões dos índices de sucesso nesta disciplina serem tão baixos se deva ao facto da escola não conseguir tornar relevante a importância do estudo da matemática.

Repare-se no exemplo de três amigos que pretendem encontrar-se todos à mesma distância de suas casas. Afinal, mais importante do que determinar o circuncentro de um triângulo, que parece não servir para nada, seria resolver um problema concreto onde é necessário aplicar o mesmo conhecimento matemático. Se aqueles amigos tivessem a oportunidade de desenvolver o seu raciocínio geométrico, poderiam não se lembrar do nome, mas provavelmente o problema estaria resolvido.

Há muitas descobertas matemáticas que sendo uma paixão para os mais aficionados por esta ciência, para outros são entendidas como meras futilidades. Um exemplo será saber a relação que existe entre a altura de um triângulo rectângulo, tendo por base a hipotenusa, e os segmentos que a formam separados pelo pé da sua altura.

Isto é: se [AD]=h; [BD]=a e [DC]=b que relação existe entre h, a e b?

O recurso à trigonometria pode ser uma das formas de encontrar essa resposta:

· O triângulo é rectângulo, logo α e β são ângulos complementares: cosβ= senα assim como senβ=cosα

· a+b é a hipotenusa do triângulo

por outro lado,

Assim, se compreende a existência da proporcionalidade:

ou seja,

Da interpretação desta relação, pode fazer-se a seguinte leitura: se considerarmos a base de um triângulo rectângulo a sua hipotenusa, então a sua altura é a média geométrica dos segmentos formados pelo pé da altura e os extremos da hipotenusa.

Este conhecimento, sem interesse aparente, pode servir de base a novos conhecimentos e a novas descobertas matemáticas. É este o sentido deste artigo. Com base neste conhecimento e com um pouco de pensamento geométrico, como se poderá interpretar os seguintes procedimentos?

Reconhecendo maior valor matemático àquele que produz o problema do que aquele que o resolve, deixo o desafio para que o leitor proponha um problema cuja solução exija este conjunto de procedimentos.

Estátua (resp.)

2009-10-12T00:08:00.003+01:00

Em relação ao artigo aqui publicado com o título Estátua a 22 de Julho de 2008, sugere-me a seguinte resposta:

Um ensino conduzido pela sistematização de conhecimentos com especial incidência na resolução de exercícios em detrimento da resolução de problemas, em nada subsidia o desenvolvimento de novos conceitos e que capacite o aluno na aplicação dos seus conhecimentos, quer em situações de contexto matemático ou até mesmo não matemático.

O exemplo deste desafio é uma evidência em como grande parte das pessoas não consegue responder, pelo menos numa primeira abordagem, acertadamente.

Depois de muitos anos se terem passado após a escolarização básica, é muito provável que se tenha presente a regra a aplicar quando se pretende converter uma medida de volume, associada às medidas de comprimento no submúltiplo ou no múltiplo imediato. Com certeza que todos ainda se lembram de ter que se deslocar a virgula três “casas” de cada vez sem que, no entanto, fosse importante a compreensão deste procedimento. Talvez seja esta a razão porque a resposta a este desafio crie tanto embaraço.

É certo que, quando se trata de reduzir ou ampliar um objecto as suas medidas alteram nas suas três dimensões. Neste caso específico, a redução na sua altura é 10 vezes menor, o que implica uma redução no seu volume de 10x10x10. Assim, a quantidade de cobre necessária para a construção desta réplica será de apenas um milésimo da massa da estátua original. Logo 225 000kg:1 000 = 225kg

“E vai um …”

2009-09-29T01:27:00.001+01:00

É muito vulgar a utilização da expressão “e vai um” quando realizamos uma operação aritmética. No caso da adição é facilmente compreensível a utilização desta expressão matemática. Quando adicionamos os valores de uma determinada ordem temos que transportar para a ordem seguinte o número de dezenas acumuladas na ordem anterior. Este procedimento deve-se ao facto de cada ordem admitir apenas um dígito.

Quer isto dizer que se eventualmente a soma dos valores de uma determinada ordem for, por exemplo, dezasseis (dez mais seis), ficam seis nessa ordem e vai uma dezena para a ordem seguinte - o mesmo que dizer “e vai um”. Quando a adição é constituída por várias parcelas pode acontecer que haja a necessidade de “irem 2, 3” ou o número de dezenas que acumula o somatório daquela ordem.

No caso da subtracção já não é assim tão fácil a interpretação do misterioso “e vai um”. A diferença encontrada é sempre inferior a dez, no entanto, por vezes utiliza-se o artifício do “e vai um”. Este procedimento ocorre quando numa determinada ordem é necessário subtrair um valor maior àquele que existe no aditivo.

Por vezes, costuma-se justificar este procedimento, embora sem fundamento científico, como sendo o método do empréstimo. Pede-se emprestado ao vizinho de cima e dá-se novamente ao vizinho de baixo. Isto é, imaginando que se pretende efectuar a seguinte subtracção 53 – 37, diz-se: sete para treze (pede-se 10 ao vizinho do lado) são seis, e vai um; três mais um (entrega-se no vizinho de baixo) são quatro, quatro para cinco fica um. A diferença é 16.

A bem da verdade, esta justificação não justifica nada. O que acontece, de facto, na subtracção é a verificação da ocorrência da invariância do resto quando se adiciona o mesmo número inteiro quer ao aditivo quer ao subtractivo. Neste exemplo, 53 – 37 = 63 – 47, por conveniência, o 63 é visto como sendo 50 + 13 e o 47 como sendo 40 + 7. Assim temos:

Utilizando a linguagem simbólica é o mesmo que:

53-37=

= (53 + 10) - (37 + 10) =

= (50 + 13) - (40 + 7) =

= 50 + 13 – 40 - 7=

= (50 - 40) + (13 - 7) =

= 10 + 6

Neste caso a técnica matemática utilizada consta de uma compensação. Se adicionamos 10 ao aditivo, então teremos que adicionar 10 ao subtractivo para que a diferença se mantenha. Será correcto dizer-se que se trata do método da compensação em vez do empréstimo.

Embora, a meu ver, seja este o método mais complicado para efectuar a subtracção, no entanto é o mais usual. Mais fácil seria a aplicação do verdadeiro método do empréstimo que consiste em transferir, no aditivo, uma dezena para a ordem de nível imediatamente inferior. A sua representação algorítmica poderia ser assim entendida:

Neste caso, o raciocínio seria traduzido da seguinte forma: sete para treze, seis unidades, e três dezenas para quatro dezenas, uma dezena.

Mas, o que me leva a reflectir sobre este assunto é o facto de num momento de avaliação diagnóstica ter surgido um aluno com um raciocínio completamente inovador no que diz respeito à técnica utilizada para fazer uma subtracção. No entanto, não deixa de ser muito interessante.

Perante a mesma subtracção (53 – 37) o aluno pensou alto: “de três, pretendo tirar sete – não é possível. Mas como posso tirar uma dezena na ordem seguinte, tenho que adicionar três nas unidades. Então, três mais três são seis,

“e vai um”. Um mais três, quatro. Quatro para cinco, um”.

Não é fácil aceitar este procedimento sem uma reflexão prévia. Por isso, solicitei outro algoritmo (463 – 178) para que o aluno aplicasse o mesmo raciocínio.

Explicou de forma inequívoca:

- Dois mais três são cinco, e vai um;

- Um mais sete são oito, então dois mais seis são oito, e vai um;

- Um mais um são dois, dois para quatro vão dois.

Tratando-se de uma técnica infalível, importa encontrar o fundamento científico que sustenta o raciocínio deste aluno. É o desafio que fica para o leitor.

Conversões… (resp.)

2009-09-15T22:42:00.001+01:00

Em relação ao artigo publicado neste blogue com o título Conversões a 21 de Julho de 2008, proponho a seguinte resposta:

Um decímetro cúbico não é mais que um cubo com um decímetro de aresta. Assim, em cada aresta cabem, em fila, 10 cubos com um centímetro de aresta. Aliás como esclarece a própria figura, sendo necessário 10x10x10=1000 centímetros cúbicos para preencher o espaço equivalente ao decímetro cúbico. A décima parte desse espaço pode ser visto como sendo uma placa com 10x10=100 cubinhos (centímetros cúbicos)

Portanto, não é nada de novo neste desafio na medida em que o procedimento mais usual para converter decímetros cúbicos em centímetros cúbicos é colocar 3 zeros à direita do número, o que equivale a aumentá-lo 1000 vezes.

Quer isto dizer que se pretender aumentar 10 vezes a aresta de um cubo, vou obter um volume 1000 vezes maior.

Imagine-se, no entanto, que tenho um pequeno cubo de pedra mármore com a massa de 3kg. Se pretender obter um novo cubo com o triplo da aresta, a previsão da sua massa, pela maior parte das pessoas, fica longe de se aproximar de 729kg. Porque será?

Média geométrica

2009-08-23T18:16:00.001+01:00

Diga o que entende por média geométrica de um determinado conjunto de valores. Esta poderia ser uma questão de uma prova de avaliação de conhecimentos que, no âmbito dos conteúdos estudados naquele período, seria previsível que fosse posto à prova no próximo momento de avaliação. É por isso que no meu tempo de estudante, uma das estratégias adoptadas na preparação para as provas de avaliação, era decorar as definições que tínhamos no caderno diário. Neste caso, bastava decorar que a média geométrica de um determinado conjunto de dados é a raiz de índice n do produto desses valores elevados, cada um deles, à respectiva frequência absoluta.

A resposta correcta servia de garantia, para o professor, como o aluno se tinha apropriado daquele conceito. No entanto, o aluno continuava convicto de que aquele conhecimento não teria qualquer utilidade prática no futuro. A evolução do ensino da matemática acaba por valorizar a reflexão que o aluno faz sobre o seu próprio conhecimento ao ponto de retirar das provas de exames perguntas deste tipo. Se o aluno não consegue aplicar o conhecimento em novas situações, então é porque não se apropriou verdadeiramente do conceito matemático, logo, a avaliação feita não é a mais eficaz.

Imagine-se que em vez de ser pedida aquela definição, fosse pedido para determinar o comprimento do lado de um terreno com a forma de um quadrado que tivesse a mesma área de um outro terreno de 20m por 45m. Pretende-se, portanto, determinar a média geométrica destes dois valores. É o mesmo que encontrar um valor que, ao quadrado, seja igual ao produto de 20 por 45. O próprio aluno pode construir este conceito: área do terreno rectangular é 900m²(20x45m²). Para se obter o lado de um quadrado com a mesma área basta determinar a raiz quadrada de 900. O procedimento efectuado traduz-se na seguinte expressão:

Não é mais que a aplicação da definição dada de média geométrica. Assim se chega à conclusão que 30 é a média geométrica de 20 e 45. A partir desta experiência matemática torna-se evidente a importância deste conceito matemático facilitando a sua compreensão e a automatização do algoritmo sem ter de recorrer à “gaveta” onde estava memorizada a definição. Também não se corre o risco da informação se perder no caso de a “gaveta” permanecer muito tempo fechada.

No caso do leitor querer avaliar o seu próprio conceito de média geométrica e a importância que lhe possa dar em outras situações do quotidiano, proponho o seguinte desafio: a partir da figura, crie uma situação problemática sem que utilize a expressão “média geométrica”, mas cuja resposta seja dada pela seguinte expressão:

Pitágoras??... (resp.)

2009-08-08T19:43:00.003+01:00

Em relação ao artigo publicado neste blog com o título “Pitágoras??...” a 18 de Julho de 2008, proponho a seguinte resposta:

É interessante como a maior parte das pessoas, com algum conhecimento matemático, quando são confrontadas com este exercício pensam sempre em recorrer ao teorema de Pitágoras para o poder resolver.

O desafio propõe-nos determinar o comprimento da diagonal do rectângulo. Sabe-se que as diagonais do rectângulo são de comprimentos iguais. É fácil reconhecer que a outra diagonal, não visível no esquema, é o raio da circunferência.

Sendo dado o raio da circunferência (5), então o comprimento de a=5.

Um momento de "matemática recreativa"

2009-07-21T01:58:00.006+01:00

Hoje em dia, é reconhecido mundialmente a necessidade de qualquer país fazer fortes investimentos no sentido de elevar os índices de literacia matemática dos seus povos. Com um pouco de atenção, damos conta que qualquer comunicação, directa ou indirectamente, recorre a conceitos ou ideias matemáticas, sobretudo quando a mensagem é de conteúdo persuasivo. Valores estatísticos, ou o próprio número em si, acaba por ser um recurso fundamental na comunicação. É por isso que a comunicação matemática é hoje vista como sendo uma capacidade fundamental no currículo escolar de qualquer aluno.

Mas a comunicação matemática envolve conceitos matemáticos que, na maioria das vezes, não têm o mesmo entendimento entre receptores e emissores. Um exemplo muito vulgar é o recurso ao conceito de média para tornar o discurso mais convincente. No entanto, em grande parte dos casos não é pertinente a sua referência isolada, na medida em que a sua leitura não implica necessariamente alguma conclusão. Imagine-se o caso de um responsável de uma determinada empresa que, no seu discurso, para provar que os seus trabalhadores até são os mais bem pagos da região, recorre ao termo “média”. Na verdade, se o conceito de média for interpretado de forma correcta por todo o receptor, o argumento não seria suficientemente convincente dado que os vencimentos dos senhores gestores e administradores iludem os resultados apresentados.

Considere-se um exemplo mais simples. Quando se faz referência ao triplo de qualquer coisa, será que todos retêm a mesma ideia matemática? Não tenho dúvidas que a maior parte das pessoas responderia que se trata dessa coisa, três vezes. Outros, com um pensamento matemático igualmente válido, poderão pensar que se trata dessa coisa e ainda mais o seu dobro. No entanto, há quem pense que se trata de situações diferentes pelo simples facto de aparecer o conceito de dobro e o de triplo para explicar o mesmo fenómeno. Importa, pois, seleccionar o raciocínio que nos parece mais pertinente e adequado à mensagem que pretendemos transmitir de forma convincente, mas também inteligível.

Não serve de exemplo o que acontece no vídeo que se segue. Trata-se do Primeiro-Ministro de um país, a sua Ministra da Educação e um dos seus Secretários de Estado que divulgam um considerável aumento no rendimento subsidiário das famílias. A forma empolgada de o querer dizer, a iliteracia matemática que os limita, ou talvez não saberem ao certo o que querem comunicar, transformam uma comunicação simples em algo meramente difuso, onde eles próprios não se entendem…

Proponho assim o desafio ao leitor, depois de visionar o vídeo, poder interpretar a comunicação para tomar a decisão; o aumento do rendimento anunciado é de 100%, 200%, 300% ou 400%?

Mais um metro de perímetro

2009-07-09T11:43:00.002+01:00

Que significado poderá ter o ente matemático 2πr? É normal que qualquer aluno, a partir do 2º Ciclo do Ensino Básico, diga que se trata do perímetro de um círculo cujo raio é r. Será que nos podemos dar por satisfeitos quando o aluno aplica a fórmula para calcular o comprimento de uma circunferência?

Tenho vários exemplos de alunos que aplicam bem a fórmula para o cálculo do perímetro quando lhes é dado o raio ou até o diâmetro. No entanto, porque razão grande parte destes alunos ficam sem resposta e outros arriscam com grande erro, quando lhes é pedido para fazerem uma estimativa sobre o número de diâmetros que cabem no perímetro de um dado círculo?

Na verdade, nem todos os alunos atribuem o mesmo significado a “pi”, embora saibam que é um valor aproximado de 3. Importa, pois, que o professor interrogue: três, quê?

Será que aqueles que são mais desenvoltos no domínio desta noção, de relacionar o perímetro de um círculo com o seu diâmetro, estão à altura de interpretar, em toda a sua plenitude, estas relações?

Eu estava convencido que não necessitava de reflectir mais sobre esta relação, até ao dia em que, já no ensino superior, o meu ilustre professor, Domingos Rijo, colocou à turma o seguinte desafio:

Imaginem uma esfera do tamanho do nosso planeta e que passamos uma corda em toda a sua volta de modo a obtermos o perímetro do seu maior círculo. A essa corda acrescentamos um metro de corda. Seguramente, vamos obter uma folga como ilustra a figura. Será que essa folga é suficiente de modo a passar por ela um gato?

Foi unânime a intuição matemática da turma em admitir que seria insignificante o aumento de um metro em todo aquele comprimento de milhares de quilómetros de corda. Portanto, a folga criada seria insuficiente para que passasse um gato.

A mesma experiência foi proposta numa bola de futebol. Da mesma forma, acrescenta-se um metro à corda que corresponde ao perímetro do círculo máximo da bola. Nesta segunda experiência, ninguém hesitou em reconhecer que a folga criada com o aumento da corda já seria mais que suficiente para passar um gato.

Mas, de acordo com o conhecimento da relação entre o diâmetro do círculo e o seu perímetro, podemos afirmar que está na razão aproximada de 1 para 3. Quer isto dizer que para um diâmetro com uma unidade de comprimento, obtemos um perímetro aproximado de 3 unidades de comprimento. Assim, na razão inversa, um perímetro de um círculo com uma unidade de comprimento, corresponde a um diâmetro aproximado de uma terça parte. Então, nas experiências anteriores, como o aumento do perímetro era o mesmo, implica um aumento no diâmetro no mesmo valor, isto é, aproximadamente uma terça parte de um metro.

Imaginando que a experiência era feita com uma bola de golf e admitindo que uma folga de 10 cm é o suficiente para um gato passar, de quanto se teria de aumentar a corda para que o gato pudesse passar entre a bola e a corda? E em relação ao mundo, quanto teria de ser esse aumento?

A Escada dos Bombeiros (resp.)

2009-06-26T18:00:00.001+01:00

Em relação ao artigo publicado neste blogue com o título A escada dos bombeiros a 17 de Julho de 2008, proponho a seguinte resposta:

A forma como o problema é colocado talvez alvitre uma resposta que nos pareça evidente e, por conseguinte, imediata. Neste caso, a maioria das pessoas, pensa adicionar 12 com metade do seu valor, obtendo assim: 12+6=18.

Assim sendo, o comprimento da escada seria de 18 metros, o que leva a concluir que metade desse comprimento seja 9 metros. No entanto, ao fazer a verificação do resultado obtido, de acordo com o enunciado, a escada tem 12 metros mais metade do seu comprimento total, ou seja, 12 + 9 = 21. O resultado surpreende na medida em que não se confirma o comprimento de 18 metros.

Esta é uma situação que exige, do ponto de vista matemático, o simples conceito de metade. É certo que a unidade, neste caso, a escada dos bombeiros tem duas metades (necessariamente iguais).

Se a escada tem 12 metros, mais metade, quer dizer que a outra metade são os 12 metros. Tratando-se de juntar duas metades só poderemos adicionar 12 com 12.

Deste modo, sabe-se que a escada não tem 18 nem 21, mas sim 24 metros.

Uma questão de percentagem…

2009-06-18T10:31:00.003+01:00

Com a aproximação da época balnear, aumenta a preocupação dos agentes responsáveis pela saúde pública face ao apetite pelo “trabalho” excessivo, onde a maioria das pessoas se empenha na maior produção do seu “bronze”. Isto talvez se deva ao facto de este “trabalho” ser o único que contraria as leis da Física, uma vez que pode ser realizado sem qualquer movimento.

A desidratação é um dos problemas em questão, daí as recomendações surgirem em todos os meios de comunicação social para que ninguém seja apanhado desprevenido. Mesmo assim, há sempre casos a relatar devido à falta de controlo dos índices aquosos. Não é por acaso que este solvente, imprescindível ao bom funcionamento de qualquer organismo vivo, é o constituinte do nosso organismo em maior percentagem.

À medida que a idade do ser humano vai avançando a percentagem de água no seu corpo vai diminuindo, seguindo quase um processo de desidratação. A partir dos 60 anos de idade, a percentagem de água no seu corpo é praticamente responsável por metade do seu peso. No caso das crianças, nos seus primeiros anos de vida, a percentagem de água no seu corpo é muito elevada, chegando a valores próximos de 80%.

Pelo que digo, nem parece que hoje o assunto seja matemática. No entanto, para que seja possível a compreensão do texto é necessário ter presente um conceito matemático – a percentagem. Nos dias de hoje, a solicitação a esta noção é tão grande que todo o público, mesmo não tendo uma apropriação plena deste conceito, de uma ou outra forma, certamente já incluiu este termo no seu discurso. Quanto mais não seja para saber o valor do seu vencimento após o anúncio de um possível aumento.

É no sentido de poder aferir se o leitor tem um bom domínio deste conceito que proponho o desafio de hoje. Trata-se de uma adaptação de um problema proposto pelo prof. Nuno Crato de um recente livro seu intitulado “A Matemática das Coisas”, onde alvitra de forma muito curiosa, como uma melancia pode reduzir substancialmente o seu peso condicionado por uma suposta perda mínima de água.

Analise-se, então, o que poderia suceder com uma criança de 3 anos, onde supostamente a percentagem de água no seu corpo é de 80%. Fica claro que admitimos, neste caso, que a massa sólida do seu corpo corresponde a 20%.

Vamos imaginar que os pais da Maria, em férias na praia, estão tão empenhados no “trabalho do bronze” que se descuidam e deixam que a percentagem de água no corpo da sua filha passe a ser idêntica à do seu avô. Esta desidratação, na criança, fez com que a percentagem de água no seu corpo passasse a ser na ordem dos 60%. Será que se pode considerar um descuido grave por parte dos pais? Imaginando que a Maria pesava 14kg e que sua perda de peso se deve exclusivamente à perda de água, quanto pesa agora a criança?

Antes de fazer os seus cálculos, sugiro que faça em primeiro lugar uma estimativa de quanto passaria a ser o peso da Maria. Só depois deve confirmar a sua estimativa. Mas se o resultado indicar que a criança passa a ter um peso superior a 11kg é porque cometeu um erro de cálculo ou de interpretação. Se for o caso, tente de novo. Não desista até encontrar o resultado certo. Um valor plausível para a solução do problema é garantidamente inferior a 8Kg.

Génio matemático no cálculo mental

2009-06-08T16:50:00.004+01:00

A competência matemática inclui também a capacidade de fazer boas estimativas o que, na maior parte das vezes, é necessário um bom cálculo mental. Mas para o desenvolvimento desta capacidade é fundamental ganhar o hábito de calcular mentalmente, embora seja difícil resistir aos recursos tecnológicos, cada vez mais acessíveis, e que nos facilitam estas tarefas mentais.

Não obstante, nem todos têm o mesmo entendimento sobre este conceito. Aplicar um algoritmo mentalmente poderá ser considerado cálculo mental? Isto é, trabalhar com algarismos é o mesmo que trabalhar com números? O desenvolvimento do cálculo mental necessita do conhecimento das propriedades das operações coadjuvado com muitas experiências matemáticas na procura de relações numéricas. No entanto, o desenvolvimento de estratégias facilitadoras do cálculo mental poderão dar origem a novas sistematizações e por conseguinte, o estabelecimento de algoritmos específicos que poderão estar ao serviço do cálculo sem que, no entanto, seja mental.

O vídeo do génio matemático dá-nos conta disso. Na primeira parte do vídeo é explicada uma estratégia muito interessante que pode facilitar a aprendizagem da tabuada de multiplicar de uma forma diferente. Todavia, é necessário saber a tabuada até ao "cinco." Esta curiosidade matemática também pode ser consultada num artigo aqui publicado ou, através do ppsx também aqui disponibilizado.

Na segunda parte do vídeo, o jovem matemático consegue impressionar a plateia ao fazer a divisão de um número por cinco a partir de um algoritmo que todos deveriam interpretar: multiplicar por 2 e dividir por 10 é o mesmo que dividir por 5. Trata-se de uma estratégia muito útil, na medida em que é mais fácil encontrar, mentalmente, duas décimas de um número do que a sua quinta parte.

Já na terceira parte do vídeo, a apresentadora deixa revelar a sua cumplicidade com o jovem, uma vez que propõe os números que podem fazer brilhar o desempenho do petiz. Esta terceira situação já não resulta com todos os números.

O produto da percentagem por um número que termina em dois zeros faz com que o problema se resuma ao produto entre dois números com dois algarismos. Importa agora saber que propriedades têm estes números ou que relação existe entre eles para que a estratégia adoptada no seu produto resulte em pleno.

Repare-se que a estratégia utilizada para a multiplicação destes dois números é a mesma que pode ser aplicada quando se pretende determinar o quadrado de um número de dois dígitos cujo algarismo das unidades é cinco.

Por exemplo, 75x75; multiplica-se o “sete” pelo seu consecutivo (7x8=56) e junta-se 25. Temos assim, 75 x 75 = 5625. Repare-se que 25 é o quadrado do número das unidades.

Então, fica o desafio que consiste em descobrir a característica comum aos produtos 23x27, 44x46, 65x65 de modo a se poder aplicar a seguinte regra para o seu cálculo:

(a) determinar o produto do algarismo da dezena pelo seu consecutivo e juntar à direita, o produto das unidades.

23 x 27 = 621

44 x 46 = 2024

65 x 65 = 4225

Resposta: Rodas dentadas

2009-06-03T18:55:00.002+01:00

Em relação ao artigo publicado neste blog com o título Rodas dentadas a 16 de Julho de 2008, proponho a seguinte resposta:

Trata-se de uma experiência muito interessante que pode ser facilmente concretizada com duas moedas.

Ao fazer percorrer em toda a volta de uma moeda uma outra de igual perímetro verifica-se que ao fim de dar uma volta completa, esta segunda moeda, dá duas voltas em torno de si própria. É compreensível, na medida em que o comprimento do seu perímetro corresponde a uma volta, e o comprimento do perímetro da outra moeda corresponde a outra volta.

Yakov Perelman explica que, quando um objecto roda descrevendo uma circunferência, ele dá sempre mais uma volta que aquelas que poderemos contar directamente. É por isso que se estivéssemos fora do nosso sistema solar a contar o número de voltas que o globo terrestre dá em torno de si próprio, ao longo de um ano, iríamos contar 366 voltas e ¼ ao contrário das 365 voltas e ¼ que seriam esperadas.

É interessante reflectir então sobre o movimento da Lua em torno da terra. É sabido que a lua mostra sempre a mesma face à terra. Este fenómeno deve-se ao facto de ter movimento de rotação ou, pelo contrário, de não rodar em torno de si própria?

Para ajudar a reflexão deixo aqui um caminho para um artigo de Luiz Vaz do Carmo.

Se não é par, é impar

2009-05-25T00:09:00.002+01:00

A descoberta de relações numéricas pode ser vista como uma metodologia que, para além do desenvolvimento da capacidade de abstracção também favorece o raciocínio algébrico. É neste sentido que, numa visão matemática de natureza recreativa, proponho o desafio que poderá ser, também, uma ideia a aproveitar para ser levada à sala de aula na exploração de relações entre números pares e ímpares.

Considere-se então, os seguintes quadrados de papel com números inscritos em duas cores diferentes:

São necessárias duas caixas com as mesmas duas cores. O recurso ao origami poderá ser uma ajuda preciosa para a sua construção.

É pedido a uma pessoa que escolha dois papéis de cores diferentes e que os coloque, sem que ninguém veja, nas caixas. O objectivo é descobrir se os papéis colocados nas caixas respeitam, ou não, a correspondência das cores. Para isso é necessário recolher alguma informação matemática:

É necessário saber a soma do dobro do número que foi colocado na caixa branca com o triplo do número que foi colocado na caixa negra. Se a informação for verdadeira é o suficiente para saber se os papéis colocados nas caixas estão, ou não, com as cores trocadas.

Por exemplo, imagine-se que o valor da expressão é 46. Fico a saber que os papéis foram colocados com as cores trocadas nas caixas. Porquê?

Neste caso, o 5 (papel negro), foi colocado na caixa branca, o seu dobro é 10. O papel branco com o número 12 foi colado na caixa negra, cujo triplo é 36. A soma destes números é 46 (10+36).

De que forma poderá ser explicado este procedimento para ter a certeza que os papéis colocados nas caixas estão ou não de acordo com as suas cores?

Da capicua ao nove

2009-05-13T00:16:00.002+01:00

O que é que “luz azul” tem de comum com “o bolo do lobo” ou com “o galo no lago” ou com “o namoro do romano”? Repare-se que “somávamos” goza da mesma característica.

Quando um conjunto de letras, números ou quaisquer outros símbolos colocados por uma ordem determinada podem ser lidos num ou noutro sentido, diz-se que estamos perante um palíndromo.

Quando esta curiosidade ocorre com os números, também damos o nome de capicua. Eu estive 27 anos à espera para comemorar um ano capicua. Entretanto, já comemorei outro. Mas o meu sobrinho Diogo vai fazer cinco anos e, muito provavelmente, não vai conseguir comemorar algum ano capicua. Porque será?

Já dei dados suficientes para se saber a minha idade. No entanto, o que eu pretendo é dar um pouco de atenção aos anos capicuas com 4 algarismos. O último é o ano formado apenas por noves: 9999. Qualquer ano capicua, se for separado ao meio, dá origem a dois números, em que um é o outro invertido. Considerando, por exemplo, o ano 3443, invertendo o 34 obtém-se o 43. A diferença entre estes dois números é 9.

Considerando, por exemplo, o ano 4774 e aplicando o mesmo procedimento obtém-se o número 27 (74-47=27). Mas também o 27 tem algo que se relaciona com o 9 (2+7=9). Repare-se ainda que a diferença entre 7 e 4 é 3 que, aparentemente, nada tem a ver com o 9, não fosse o 27 dividido por 3 dar 9. Não estarei eu a ser perseguido pelo 9? Será que isto é sempre assim?

Não falta a vontade para experimentar com outra capicua, por exemplo, 8338. Separado ao meio e fazendo a diferença: 83-38=45. Da mesma forma, 4+5=9. O mais interessante é que a diferença entre 8 e 3 é 5, e se aproveitarmos o 5 para dividir o 45 obtemos novamente 9.

Não tenho dúvidas em eleger o número nove como sendo o número de minha preferência! Caso o leitor não esteja convencido experimente fazer a seguinte experiência:

Escreva o número que representa a data do seu nascimento (ddmmaaaa).
Escreva novamente a data, mas noutro formato (aaaammdd).
Encontre a diferença entre esses dois números. Um exemplo poderia ser 19711205-05121971=14589234.
Adicione os algarismos do número obtido (ex.: 1+4+5+8+9+2+3+4)
Proceda da mesma forma em relação ao novo número obtido, as vezes necessárias até obter apenas um algarismo e delicie-se com o resultado.

Sem dúvida que este número tem características fantásticas. Esta paixão pelo número 9 deve-se ao facto de ter um papel muito especial no sistema de numeração decimal. Imagine que o nosso sistema de numeração não se organizava em grupos de dez, mas sim em grupos de cinco. Neste caso, qual seria o número que nos poderia surpreender com estas potencialidades?

Divisão chinesa (?) com números decimais

2009-05-02T18:41:00.001+01:00

Ultimamente tenho utilizado e praticado várias divisões com o algoritmo apresentado no artigo anterior. Continuo a achar que se trata de um algoritmo que traz mais vantagens na compreensão da divisão. É por esta razão que insisto novamente nesta técnica para dar resposta ao meu próprio repto - como utilizar esta técnica quando estão envolvidos números decimais.

Imagine-se então querer dividir dois números inteiros cujo quociente é um número decimal. Esta possibilidade nunca fica comprometida desde que o dividendo seja inferior ao divisor, por exemplo, a divisão entre 2 e 80.

(a)

Neste caso, para se poder continuar com a divisão é necessário aumentar um número suficiente de casas decimais ao dividendo até que se possa conseguir a divisão exacta. Assim, as duas unidades podem ser vistas como sendo 20 décimas, 200 centésimas ou 2000 milésimas… Neste exemplo, há a necessidade de considerar, pelo menos, 200 centésimas porque se trata do menor número onde posso formar, no mínimo, um grupo de 80.

Deste modo, há a necessidade de identificar a parte inteira e a decimal do quociente. Sugere-se então, o recurso a um traço vertical.

(b)

Agora procede-se normalmente ignorando a vírgula. Em 200 há duas vezes 80. Então, temos:

(c)

Havendo a necessidade de ainda dividir 40 centésimas, procura-se saber em 400 milésimas quantos grupos de 80 fazemos. Completa-se assim o algoritmo:

(d)

Portanto, 2:80=0,025

Outra situação que vale a pena referir, é quando surge uma divisão em que o dividendo tem menos casas decimais que o divisor, por exemplo, 452,5:1,25

(i)

Também aqui, a divisão deverá ser interpretada como sendo uma divisão por medição (subtracções sucessivas) onde se pretende saber, neste caso, em 45250 centésimas quantas 125 centésimas lá cabem. Posto isto, é nesta altura que se vai identificar, no quociente, a ordem das unidades. Esta ordem - as unidades, corresponde às centésimas do dividendo uma vez que se trata de dividir centésimas por centésimas.

(ii)

Agora, procede-se normalmente como se de uma divisão inteira se tratasse:

(iii)

Pode-se então escrever que 452,5:1,25=362

Se, eventualmente, a divisão não compreendesse um número inteiro de centésimas, o algoritmo continuaria a ser executado normalmente estando já identificado a parte decimal do quociente.

Por exemplo, o quociente entre 40,5 e 1,25 é um número inteiro de décimas. Fica o desafio para que o leitor, com este algoritmo, encontre esse valor.

Divisão chinesa?

2009-04-19T20:10:00.001+01:00

A pluralidade cultural é, sem dúvida, um dos aspectos mais positivos em resultado da migração humana. Há dias, quando visitava a Escola do 1º ciclo de Mação, a professora que dá apoio a uma criança chinesa procurou o meu parecer acerca da interpretação de um algoritmo feito por esta aluna. Tratava-se do algoritmo da divisão.

Será o algoritmo da divisão chinesa? O conhecimento que a criança tinha da língua portuguesa, já que eu não enxergo nada em chinês, não permitiu a comunicação de modo a chegar a essa conclusão. No entanto, sendo a matemática uma linguagem universal, fica-nos o registo desta criança que tentarei relatar.

Trata-se de uma técnica muito parecida com o nosso algoritmo tradicional da divisão, mas que, no meu entender, as suas diferenças potenciam uma melhor compreensão do processo de dividir.

Por exemplo, no caso de querer dividir 2586 por 8, o seu aspecto poderá ser o seguinte:

Ou ainda, no caso da aluna que tinha ainda a necessidade de registar as subtracções ao dividendo dos múltiplos de 8 que ia efectuando:

Pelo algoritmo, damos conta que o quociente é 323 e ainda restam 2, que ficam por dividir por 8 (divisor). Assim, simbolicamente poder-se-á escrever:

Na verdade, o procedimento é muito idêntico ao algoritmo indo-árabe a que estamos habituados. Apenas a disposição do divisor e do quociente mudam. Mas a opção de colocar o quociente por cima do dividendo permite interpretar, em qualquer momento do processo algorítmico, o valor de cada algarismo do quociente, uma vez que respeita sempre o seu valor de posição, tendo como referência o dividendo. Por outro lado, reduz a possibilidade de engano enquanto se fazem cálculos intermédios.

Trata-se de uma vantagem para aqueles mais desenvoltos no cálculo mental, permitindo adaptar o algoritmo às suas capacidades de forma a torná-lo mais rápido ou, eventualmente mais lento, se não tiver tão presente o domínio da tabuada.

Vejamos o seguinte exemplo da divisão de 7132 por 15:

(a)

Para quem se sujeita, com frequência, a experiências de cálculo mental, não é difícil reconhecer imediatamente que 15x4=60 e por conseguinte, se a multiplicação fosse feita por 40, então obter-se-ia 600 em vez de 60. Neste caso, e porque se conseguiu aproximar de 713 dezenas, então dever-se-á ter o cuidado de colocar o número 40 na posição correspondente às dezenas. Basta respeitar o valor de posição, o zero do 40, por cima do algarismo três do 713.

(b)

Subtraindo as 600 dezenas, verifica-se que restam 113 que, afinal, ainda poderão ser divididos por 15. Se eventualmente insistir na ideia que o quádruplo de 15 é 60, então posso continuar com o algoritmo:

(c)

Verifica-se que ainda restam 53 dezenas. Teria agora a opção de proceder de forma idêntica. Ainda é possível formar nesta quantidade 3 grupos de 15. Mas, se juntar as duas unidades que faltam, e se o meu cálculo mental permitir reconhecer que 15x30=450, então poderei avançar desta forma:

(d)

Restam 82 unidades, portanto, ainda se pode formar 5 grupos de 15 (15x5=75). Assim, temos:

(e)

Finalmente, chega-se à conclusão que fazendo a divisão inteira de 7132 por 15 é possível formar 40 dezenas, mais 4 dezenas, mais 30 unidades e ainda mais 5 unidades de grupos de 15, e ainda restam 7 unidades.

Assim, sugere-se a finalização do algoritmo determinando a soma das partes do divisor:

(f)

Outra vantagem que vejo neste algoritmo, é no caso de se pretender determinar a divisão exacta, bastar acrescentar a vírgula ao dividendo e, para a direita dela, o número de ordens que se desejam envolver no cálculo. O mesmo já não acontece com o “nosso” algoritmo, dado que o registo do divisor limita esse procedimento o que poderá, nalguns casos, ter de se reiniciar a divisão com o cuidado de criar espaço para esse fim.

Havendo agora a necessidade de assimilar um pouco esta técnica para dividir, fica também lançado o repto aos leitores para a apresentação de sugestões de como dividir, com este algoritmo, números decimais.

Base dez

2009-04-07T10:33:00.005+01:00

O nosso sistema de numeração é decimal porque a organização e a representação do número recorre a agrupamentos de 10. Para facilitar as contagens, o homem começou por fazer grupos de 10, quem sabe, talvez, por influência do número de dedos que tinha nas mãos. Quando temos 10 grupos de 10 forma-se novo conjunto. Da mesma forma, quando se obtém 10 destes novos conjuntos de 10 grupos, tendo cada grupo 10 elementos, obtém-se um grande conjunto de 10x10x10 elementos, e assim sucessivamente.

Este padrão repetido infinitamente pode ser adaptado a um padrão geométrico que tomando qualquer um daqueles conjuntos como unidade, pode ser dividido de tal forma que cada uma das partes é semelhante à unidade inicial. Esta noção representada geometricamente leva-nos a um novo conceito geométrico mais abstracto que, à escala da história da matemática, poder-se-ia considerar ainda em fase de gestação – os fractais.

Mas a ideia dos agrupamentos de dez quero aproveitá-la para noções matemáticas mais concretas. Para ser mais claro, sugeria o exemplo de uma fábrica que produz caramelos. Nessa fábrica decide-se fazer conjuntos de 10 caramelos, em tubos, para poderem ser vendidos ao público. Imaginando que o sr. Rodrigo tem consigo 34 caramelos, logo, deve ter 4 tubos, 3 cheios e ainda outro com 4 caramelos. Também é fácil de perceber que pretendendo comprar 80 caramelos, vai ter que levar 8 tubos para casa. Fácil, não é?

No entanto, no armazém que vende a retalho, os lojistas não podem comprar tubos, mas sim caixas de caramelos. Cada caixa traz 10 tubos de caramelos. Compreende-se assim, que o sr, António precise de ter na sua loja 5 caixas para poder alojar 46 tubos de caramelos, 4 caixas cheias e mais uma com 6 tubos. Portanto, com 5 caixas poderá ter no máximo 50 tubos de caramelos.

O mesmo sucede com o retalhista. A unidade mais pequena que a fábrica vende é a embalagem com 10 caixas de caramelos. Assim, por exemplo, se houver 85 caixas de caramelos em armazém, são necessárias 9 embalagens, 8 cheias, e ainda mais outra com 5 caixas. Essas 9 embalagens serviram de transporte a 90 caixas de caramelos.

O leitor, com toda a razão, já deve estar a interrogar-se o que se pretende com toda esta explicação tão trivial. Na verdade, a forma como se conhece a organização dos números de acordo com o nosso sistema de numeração parece ser muito evidente. No entanto, como se poderá justificar a inquietação gerada entre educadores com ideias diferentes em relação a este problema em concreto? Trata-se do mesmo problema que levou toda a comunidade a comemorar dois anos consecutivos a passagem de milénio, precisamente por não haver consenso numa questão que afinal é tão evidente.

A dúvida surge numa questão muito concreta, num manual escolar do 1º ciclo. Pretende-se saber a que década pertence o ano 1978.

Eu próprio fiz a pergunta a várias pessoas de diferentes estratos sociais. É surpreendente o facto de se obterem várias respostas: (a) não sei, (b) é um ano que pertence aos anos setenta, logo é a sétima década, (c) oitava década, (d) 197ª década, (e) 198ª década. Afinal, em que ficamos?

Antes de o leitor também formalizar a sua opinião, talvez seja conveniente reflectir um pouco na organização dos caramelos. Poder-se-á estabelecer a relação entre os anos e os caramelos. Então quantos tubos (décadas) serão necessários para alojar 1978 caramelos (anos)? É fácil, não é?

Actividade matemática com engrenagens

2009-03-24T00:10:00.009Z

Para além do envolvimento do aluno em actividades significativas, o professor de matemática também tem como objectivo elevar o grau de abstracção dos seus alunos.

As engrenagens com rodas dentadas são o exemplo de situações pouco exploradas, mas que têm um grande potencial em relação a várias áreas no domínio cognitivo. Para além da abstracção, promove o sentido espacial, o raciocínio lógico e poderão ainda ser usadas na exploração e apropriação de conceitos matemáticos que fazem parte do programa nacional do ensino da matemática.

Refiro-me concretamente ao desenvolvimento do pensamento algébrico onde a noção de proporcionalidade e o estabelecimento de relações numéricas têm um papel relevante. A exploração deste tipo de tarefas propicia a formulação de generalizações tendo por base a sistematização e a organização do próprio pensamento.

Por exemplo, numa engrenagem constituída por rodas dentadas, algo se pode concluir em relação ao número de eixos envolvidos na engrenagem e o movimento relativo da última roda em relação à primeira.

Outro estudo, de maior interesse, é encontrar a relação entre o número de voltas da última roda dentada por cada volta da roda que desencadeia o movimento da engrenagem.

No caso específico, que se segue, é fácil reconhecer que para obtermos o número de voltas da roda B enquanto A dá uma volta, é necessário encontrar o quociente entre o número de dentes da roda A e o número de dentes da roda B (A:B). Conclui-se que a roda B dá meia volta enquanto a roda A dá uma volta completa.

Analisando uma engrenagem com 4 rodas dentadas, como no exemplo da figura seguinte, poder-se-á recorrer a uma tabela cujo preenchimento recorre à noção de proporcionalidade.

Fazendo a leitura da última linha da tabela fica-se a saber que o eixo D dá 1,6 voltas por cada volta completa de C. Pode-se ainda constatar, pela análise da figura, que se estabelecem 3 relações entre os quatro eixos: 1º-2º eixo, 2º-3º eixo e 3º-4º eixo. Assim, uma outra forma de sistematizar estas relações pode ser da seguinte forma:

Com um pouco de dedicação e capacidade de análise, o leitor com certeza que vai aceitar o seguinte desafio apenas com uma ligeira diferença em relação aos anteriores. Imagine, por exemplo, uma engrenagem composta por 5 eixos de rotação, havendo duas rodas dentadas sobre o mesmo eixo.

Qual o sentido de rotação do eixo F? Enquanto E dá uma volta, F dá mais ou menos que uma volta? Ou será que também dá uma volta?

Se eventualmente for professor, ainda sugeria outro tipo de abordagem como orientação metodológica numa fase mais avançada. Dispondo de 3 rodas dentadas de 9, 12 e 36 dentes, proponha a construção de uma engrenagem de modo que, uma volta completa de um eixo origine, em um outro eixo, quatro voltas completas, mas rodando no mesmo sentido.

A minha idade e a do meu avô - relações numéricas

2009-03-12T00:20:00.007Z

Ortiga é uma povoação bem no centro de Portugal, próxima de uma barragem muito visitada, especialmente, pelos amigos da lampreia. Trata-se da Barragem de Belver. Foi na escola desta aldeia que há dias tive a oportunidade de assistir a uma aula muito interessante.

O professor estava consciente que seria uma grande surpresa se algum dos seus alunos conseguisse dar resposta à situação problemática proposta. No entanto, quando planeou aquela aula, o seu objectivo não era tanto a solução do problema, mas a possibilidade de os alunos poderem produzir matemática com interesse e motivação.

Em primeiro lugar esteve a interpretação do que foi apresentado e a análise da informação dada, criou-se espaço para a descoberta de regularidades e quase que se chegou a fazer generalizações. Foi mais um passo na capacidade de abstracção daqueles alunos.

Os alunos foram confrontados com algo de extraordinário que tinha sucedido em 1932. Nesse ano, o neto dizia para o avô que o número formado pelos dois últimos algarismos do ano em que nasceu era precisamente a sua idade. Nada de mais nesta constatação. O mais interessante é que o fenómeno que acontecia com o neto, também ocorria com o avô. O neto nem queria acreditar, mas rapidamente se rendeu à evidência demonstrada nos simples cálculos do seu avô. Afinal, que idades teriam eles?

O sincronismo das mentes daqueles alunos foi alcançado quando, depois de alguns palpites e de algum papel rasurado, juntamente com uma ou outra dica do professor surgiu uma tabela para organizar o pensamento.

A partir do ano 1932 foi feito o estudo sobre o que poderia acontecer se o nascimento do neto tivesse ocorrido nos anos imediatamente anteriores. Caso o nascimento fosse em 1931, então teria um ano, se fosse em 1930, teria 2 anos…

O aluno mais perspicaz foi ávido na constatação de que a soma dos números da coluna da direita (idade) e o número formado pelos dois últimos algarismos da data de nascimento era sempre 32. Então, os dois números (iguais) que se procuram resultam da divisão de 32 por 2, ou seja, 16. Fica descoberta a idade do neto.

Agora, todos estavam despertos para a descoberta do ano em que poderiam dizer que a sua idade seria igual aos dois últimos algarismos que formavam o ano do seu nascimento, bastava multiplicar por 2, esses algarismos. Um caso especial é um aluno que nasceu em 1998, 98x2=196

Também aqui se dá conta que o ano vai ser o de 96, mas do século seguinte. É a indicação dada pelo dobro de um número maior que 50. Neste caso, este aluno terá de esperar até ao ano 2096 para poder “casar a sua idade com ano do seu nascimento”. Mas este exemplo pode aclarar o nosso raciocínio para a descoberta da idade do avô. Seria um trabalho penoso continuar com a tabela até encontrar os números desejados. Aproveitando a regularidade descoberta, a idade do avô, no século anterior, vai ser o resultado da divisão de 132 por 2. Fazendo a verificação não ficam dúvidas que o avô em 1932 tinha 66 anos, sendo a sua data de nascimento em 1866.

Imagine-se agora que para tornar este problema num caso completamente excêntrico, o trisavô, caso fosse vivo, faria a mesma observação. Também neste caso, como é lógico, os dois últimos algarismos do ano em que nasceu eram os mesmos dois últimos algarismos da sua idade. Qual teria sido a data de nascimento do trisavô? E já agora, neste ano que decorre (2009), que idade poderá ser “casada” com o seu ano de nascimento?

Acerca da divisão

2009-02-28T14:52:00.007Z

Tenho dado conta que alguns professores do 1º ciclo se têm deparado com algumas críticas em desfavor da sua prática relativamente a alguns procedimentos que não são os mais esperados por parte dos pais. São muitos os pais que, neste nível de ensino, ainda conseguem acompanhar os seus filhos nas tarefas escolares e, quando surgem procedimentos que divergem daquilo que é esperado, normalmente, ocorre alguma incompreensão na comunidade envolvente que coloca em causa o trabalho pedagógico-didáctico do professor.

De uma forma concreta serve de exemplo o algoritmo da divisão mais conhecido pela “conta de dividir”. No acompanhamento do percurso escolar dos seus educandos, muitos pais manifestam preocupação porque os seus filhos ainda não sabem fazer as “contas de dividir” tal como eram “receitadas” antigamente.

Será que importa mecanizar procedimentos sem que, no entanto, sejam compreendidos pela criança? Que importa o cumprimento das regras para fazer uma ”conta de dividir” se no final não existe capacidade de criticar o resultado? Será mais importante saber fazer o algoritmo com todo o rigor das regras impostas para a sua execução tradicional, ou conseguir prever se a divisão, por exemplo, de 0,25 por 0,125 é menor ou maior que um?

Tem-se o exemplo do aluno que recorre ao seguinte modelo para efectuar a divisão de 3476 por 23:

Um outro aluno utiliza o seguinte modelo:

Não será mais compreensivo o recurso ao primeiro modelo para aquele aluno que se inicia na técnica de fazer divisões? Haverá algum mal nisso? No primeiro modelo, o aluno sente-se, com certeza, mais seguro e mais confiante no resultado obtido. Julgo, portanto, não haver qualquer interesse em fazer pressão sobre o aluno para abandonar a representação das diferentes subtracções. Não deverá ser o próprio aluno a tomar essa decisão quando ganhar confiança para isso?

O importante é que a divisão seja realizada, independentemente da técnica utilizada para o efeito. Aliás, o ideal seria o aluno descobrir a sua própria técnica para efectuar uma divisão. Neste caso, sem dúvida, teríamos de estar satisfeitos, pois seria um sinal de que se tenha apropriado do conceito de divisão.

O apoio dos pais é sempre uma mais-valia no desenvolvimento da criança mas, se não estiver sincronizado com a escola, deixa de ser apoio e passa a ser uma menos-valia. Portanto, é necessário que estejamos mais sensíveis às orientações da escola, para poder estar com ela e não contra ela.

Imagine que o seu educando lhe apresenta o seguinte algoritmo para efectuar a divisão anterior:

Esta poderá ser uma outra técnica para aqueles menos desenvoltos no domínio da tabuada. Assim, o aluno pode ir escolhendo os divisores de acordo com a sua capacidade de cálculo mental, alongando ou reduzindo o algoritmo de acordo com as suas capacidades.

De que forma interpretaria o algoritmo para poder ajudar o seu educando a fazer a seguinte divisão: 8275,26:7,23?

Paradoxos

2009-02-16T21:52:00.010Z

Por vezes somos envolvidos em raciocínios de dedução lógica e acabamos por chegar a uma conclusão contraditória. Estas questões, na matemática, suscitam interesse em muitas pessoas dado a curiosidade e a unicidade que elas representam. Poderemos tomar como exemplo a seguinte frase: ”Eu nunca digo a verdade”. Admitindo a possibilidade da frase ser verdadeira, então estamos perante um mentiroso. Se é mentiroso, então a frase tem que ser falsa. Afinal, a frase é verdadeira ou falsa? Esta situação, parecendo uma frase bastante clara, induz-nos num raciocínio circular sem se poder opinar sobre a sua veracidade ou falsidade.

Há também um paradoxo muito conhecido de Russell que aproveito para destacar, o paradoxo do barbeiro:

Há em Sevilha um barbeiro que reúne as duas condições seguintes:
1- Faz a barba a todas as pessoas de Sevilha que não fazem a barba a si próprias.

2- Só faz a barba a quem não faz a barba a si próprio.

Duas condições que parecem ser tão evidentes que não colocam em causa a sua veracidade. Quando se pretende saber se o barbeiro faz ou não a barba a si próprio já não é bem assim. Não querendo ir contra a condição 2, o barbeiro não pode fazer a barba a si próprio. Mas se não faz a barba a si próprio, atendendo à condição 1, vai ter de fazer a barba a si próprio.

Mas, se a auto-alusão propicia o paradoxo, outras situações em que não se fala de si próprio pode originar igualmente situações paradoxais. Imagine um debate entre os dois representantes dos maiores partidos portugueses. A senhora Manuela F. Leite querendo ilustrar o carácter do seu adversário diz:

- O que você vai dizer de seguida não é verdade. A resposta do seu adversário, Sócrates, não tarda:

- É verdade o que a senhora acaba de dizer.

E neste caso? Querendo apurar quem diz a verdade, devemos tomar partido por quem? Pensando bem, a política não será também um paradoxo?

Os paradoxos, à semelhança das ilusões de óptica, deveriam ter um maior peso na educação matemática. A partir deles geram-se raciocínios de elevados níveis na tentativa de procurar os porquês dessas ilusões. Outro exemplo de uma ilusão, traduzido por palavras será iludir ou convencer o leitor que o contrário de uma afirmação falsa é uma afirmação falsa. Sei que não é fácil convencê-lo do que acabo de referir, faço votos também para que o meu professor de lógica não leia este artigo. Sabendo que não está de acordo comigo reflicta então num exemplo de Martin Gardner: ”esta frase tem seis palavras!”. Não há dúvidas sobre a sua falsidade desta afirmação. Mas, a sua frase contrária não me parece que seja verdadeira. Experimente contar as palavras na frase contrária: ”esta frase não tem seis palavras”.

Admitindo que já aqui fica matéria para reflectir, deixo ainda uma outra, com o objectivo de gerar discussão, controvérsia, argumentação, raciocínio mas que se chegue a bons entendimentos.

O gerente de uma loja de CD’s deu ordem à Cátia, funcionária da loja, para fazer uma promoção com os CD’s que não se vendiam. Assim foram criadas duas colecções de 30 CD’s cada uma. Numa das colecções, cada 3 CD’s são vendidos a 3€, na outra colecção o mesmo preço dava direito a dois CD’s. De acordo com as contas do gerente iria facturar na primeira colecção 10 x 3€ e na segunda 15 x 3€ esperando um total de 75€.

A Cátia, entusiasmada com a ideia, pensou que seria mais fácil e mais rápido a venda dos CD´s se fizesse grupos de 5 por 6€. E assim foi. Rapidamente apresentou as contas e explicou ao gerente a sua brilhante estratégia que resultou na venda rápida de todos os CD’s. Assim, 12 grupos de 5 CD’s a 6€ cada grupo, apurou 72€.

A Cátia nem queria acreditar como o gerente ficou irritado. Afinal, faltavam 3€. Cabe agora ao leitor, desvendar este mistério.

Noves fora, nada.

2009-02-08T11:19:00.006Z

O título deste artigo é, com certeza, muito familiar aos leitores da minha geração. Uma das competências matemáticas que a nossa escola se propunha a desenvolver nos alunos, naquela altura, era saber aplicar a prova dos noves. No entanto, julgo que a maioria dos alunos não atribuía significado a esse procedimento. Na verdade, qual será o significado do “nada”? Numa pequena retrospectiva à nossa instrução primária, antes da revolução de Abril, é fácil recordar que os números 18, 27, 36, 45, 54, 63,… gozam desta particularidade – adicionando os seus algarismos dá nove, então: “noves fora, nada”.

Hoje, uma criança do 1º ciclo identifica estes números como sendo os da “tabuada do 9”. De facto são os múltiplos de nove. Isto quer dizer que se fizermos grupos de 9, no final, o resto é zero. É este o critério de divisibilidade por 9. Qualquer número cuja soma dos seus algarismos seja nove ou um múltiplo de nove, possibilita obter, com esse número, um número inteiro de grupos de 9. É o caso do número 4185 (4+1+8+5 são 18, e 1+8 são 9). Assim, outros números compostos com os mesmos algarismos gozam da mesma propriedade: 1485, 8415, 8541,… pois, divididos por 9, dão resto zero.

Estude-se agora o caso do número 19; 1+9=10, noves fora, 1. Repare-se que, com o número 19 fazemos dois grupos de 9 e ainda sobra 1. Então o significado deste 1 é o resto da divisão de 19 por 9. Assim, sabe-se imediatamente que o resto da divisão de 25567, por nove, é 7 (noves fora, “sete”).

Não querendo ser maçudo com esta questão dos noves, aproveito ainda para tentar perceber o que acontece quando subtraímos dois números da mesma classe de resto, módulo 9, isto é, números que divididos por 9 dão o mesmo resto. O número 57 e o número 30 servem de exemplo, divididos por 9, dão resto 3 (experimente tirar os noves). No caso de serem subtraídos, os seus restos anulam-se, sendo a diferença um número que é sempre múltiplo de 9. Fazendo a verificação, temos: 57–30=27; (2+7=9). Esta é uma propriedade dos números que, frequentemente, é usada em muitas curiosidades matemáticas aproveitando-se para dar um cariz mágico a esta ciência.

Como exemplo, pode pensar num número qualquer e subtraí-lo a outro número, desde que seja formado com os mesmos algarismos do anterior. A diferença obtida é sempre um múltiplo de 9. Imagine que peço para esconder um desses algarismos, desde que não seja o zero, e que me revele os restantes. Deve compreender que está a revelar o número escondido, ou não?

Mas todo este discurso não foi apenas para recordar procedimentos antigos. O meu objectivo é dar uma pista para facilitar a descoberta das idades de dois pais e dois filhos na figura de três pessoas – o neto, o pai e o avô.

O problema que proponho pode ser visto na sua versão original no livro Uma Paródia Matemática. A necessidade que tive em adaptar este problema, perdoe-me Brian Bolt, por o ter empobrecido, foi no sentido de lhe dar apenas a possibilidade de uma única solução.

Vamos então ao desafio: o ajudante de cozinha, Augusto, numa tentativa de prever o tempo que faltava para o seu chefe Artur se reformar, perguntou-lhe a idade. O Artur respondeu-lhe da seguinte forma:
- Invertendo os algarismos da minha idade obtém-se a do meu filho Bruno. A diferença das nossas idades é o triplo da idade do meu neto, que, por sua vez, tem um sétimo da minha idade.
O Augusto perguntou ainda: Terá sido pai adolescente?
- Muito longe disso, nem eu nem o meu filho fomos pais adolescentes, respondeu o velho Artur.

Afinal, quais são as idades do neto, do pai e do avô?

Dimensões A4

2009-01-28T00:26:00.007Z

A folha de papel, de formato A4, garantidamente, nada tem a ver com uma empresa de automóveis alemã que produz Audis, aliás, com a mesma designação das folhas de papel que utilizamos mais vezes. A designação referente à letra, sabendo que não é por ser a inicial de Audi, poderá ser uma convenção para identificar aquele formato. No entanto, o número é que diferencia o tamanho das folhas.

Sabe-se que dobrando uma folha A4 obtém-se a folha A5. Esta correspondência permite deduzir que a área da folha A4 é o dobro da área da A5. Pela mesma razão se deduz que a folha A3 tem o dobro da área A4. Uma característica interessante e que merece referência é o facto do comprimento da folha ser sempre igual à medida da largura da folha imediatamente superior.

Outro facto interessante a ser observado, é que os diferentes formatos das folhas quando sobrepostas de tal modo que os seus lados maiores (p.e.) e os vértices correspondentes coincidam, implica que as suas diagonais fiquem sobre uma mesma recta.

Quer isto dizer que as folhas com os diferentes índices são semelhantes entre si.

Esta particularidade permite, nas fotocopiadoras, fazer ampliações e reduções sem haver qualquer desperdício de papel.

Também se verifica, por observação na primeira figura, que as medidas dos lados da folha de A0 e A4 estão numa razão de 4 para 1. Significa isto que os lados da folha A0 têm o quádruplo do comprimento dos lados da folha A4.

Penso que agora se possa deduzir o facto de se utilizar o valor 4 para definir o tamanho da folha. O quadrado desta razão de semelhança (4:1) é, portanto, a razão entre as suas áreas. Facilmente se comprova que a folha A0 é constituída por 16 folhas A4 (quatro ao quadrado).

Com um pouco mais de curiosidade matemática, estamos em condições de saber qual a área da folha A0. A partir do cálculo da área da folha A4, se multiplicarmos este valor por 16, obtemos um valor muito próximo do metro quadrado.

Assim, partindo-se do princípio que, (1) a folha A0 tem de ter um metro quadrado, (2) a divisão de qualquer folha pelo seu menor eixo de simetria origina duas folhas semelhantes à folha que lhes deu origem, só poderá haver uma única dimensão para a folha A4.

Sem medir os comprimentos dos lados, tente deduzir qual o comprimento e a largura da folha A4.

Latas em progressão aritmética

2009-01-17T19:01:00.006Z

Uma pesquisa sobre a biografia de Friedrich Gauss leva-nos a um interessante episódio com mais de 200 anos, sendo já uma importante referência na história da matemática. Conta-se que este prestigioso matemático alemão, ao começar a dar os seus primeiros passos académicos, surpreendeu o seu professor quando sujeito a uma actividade matemática que consistia em determinar a soma de todos os números inteiros de 1 a 100.

Sendo uma tarefa muito penosa para todos os seus colegas, Gauss muito rapidamente, colocou em cima da secretária do professor a sua ardósia com a conclusão da tarefa. Sentindo a necessidade de justificar a sua rapidez, explicou ao professor que a soma seria o valor do produto de 50 pares de números por 101. Assim surge o número 5050. Valor ao qual, os colegas se renderam depois de meia hora de trabalho.

O raciocínio daquele aluno baseou-se na observação de que 1+100 = 2+98 = 3+97 = 4+96 = …= 50+51 = 101. Portanto, bastava adicionar 50 pares de números com o valor de 101.

Será que o leitor também já se tinha apercebido desta curiosidade? Experimente aplicar o mesmo raciocínio para determinar a soma de outra qualquer sequência do mesmo tipo. Em matemática estas sequências são conhecidas por progressões aritméticas - o termo seguinte, resulta da soma do termo anterior com um qualquer número que deve ser constante. Um exemplo de uma progressão aritmética é: 9, 12, 15, 18… em que a constante é 3. Querendo adicionar os 6 primeiros termos (9 + 12 + 15 + 18 + 21+ 24), de acordo com a descoberta de Gauss, é o mesmo que ter 33 + 33 + 33 = 3 x 33 = 99.

Este é um bom exemplo de como a matemática pode ser uma boa ferramenta para nos facilitar o trabalho, que em princípio, parecia ser exaustivo. Assim, tivesse a rapariga do hipermercado conhecimento disso e também ela teria a vida facilitada. A rapariga a que me refiro é a Catarina, funcionária numa empresa que vende salsichas enlatadas. Nunca gostou de matemática, e agora tem que dar conta, ao seu patrão, do número exacto de latas que utilizou na exposição feita no hipermercado.

As latas foram empilhadas de tal forma que cada uma está assente noutras duas latas, o que faz com que cada camada tenha menos uma lata que a camada de baixo.

O trabalho realizado pela Catarina é uma “parede” construída com as latas de salsichas distribuídas por 16 camadas, em que a última camada, a do cimo, tem 16 latas. Já fez 3 contagens e encontrou 3 números diferentes. Desesperada, pediu ajuda a uma colega para fazerem uma nova contagem, entretanto, foi encontrado um novo número. A sua amiga rapidamente se descartou daquela tarefa justificando-se que nunca tinha sido boa aluna a matemática.

É certo que Gauss já não vai poder ajudar a Catarina, mas deixou-nos a maior riqueza que se pode herdar - o conhecimento. É com base nesse conhecimento que conto com a solidariedade do leitor para ajudar a Catarina a determinar o número exacto de latas que utilizou naquela construção.

Comunicação matemática

2009-01-04T17:41:00.007Z

A propósito da baixa de preços dos combustíveis, vários têm sido os comunicados a dar conta desse acontecimento. Mas com tantas baixas de preço, difícil é compreender como é que ainda só houve uma redução de cerca de 25% no preço do combustível, após ter atingido o seu valor máximo, quando a matéria-prima, sendo um factor determinante para o apuramento do preço ao consumidor final, (pelo menos sempre foi essa a justificação para o aumento do preço dos combustíveis), já desceu cerca de 70% em relação ao seu valor máximo.

Bom, mas isto é apenas um desabafo, o que me leva a escrever este artigo prende-se com a forma como são comunicados os novos valores do precioso líquido. Foram já vários os comunicados na rádio em que tive dificuldade na interpretação da comunicação. Será por se tratar de conteúdo essencialmente matemático?

Um dia destes ouvi na rádio, “a partir da meia-noite o combustível vai estar mais barato, sofre uma redução de zero, vírgula, zero, vinte e cinco cêntimos”. Quando não consigo atribuir significado a um número de euros, tenho a tendência para recorrer à moeda que ainda tenho como referência – o escudo, foi o caso. No entanto, o meu cálculo mental não foi suficientemente rápido para fazer a conversão. A jornalista adiantava: “o preço do litro do gasóleo passará a custar novecentos e quarenta e oito cêntimos”.

Fiquei ainda mais confuso. Afinal, trata-se de uma baixa de preço ou um agravamento substancial? Todos sabem que um euro ou cem cêntimos é a mesma quantia. Tratando-se de novecentos cêntimos, já nem quero saber do que vai para além disso, estão em causa, pelo menos, 9 euros.

Nem quero imaginar quando o preço do combustível possa chegar a esse valor. Faço votos, para que nessa altura, a dependência do gasóleo ou da gasolina seja a mesma como a que hoje temos em relação à água que corre no chafariz da aldeia.

Na comunicação social, torna-se evidente a falta de rigor da linguagem matemática, parecendo que a comunicação é perfeita, quando na verdade, é o receptor que a transforma, de acordo com a sua contextualização, naquilo que é previsível. Talvez seja esta a causa por haver necessidade de tantas rectificações orçamentais, principalmente quando envolvem grandes números. Só consigo compreender a coragem de ser feita uma comunicação deste teor, quando o comunicador fala de qualquer coisa para a qual não lhe atribui sentido.

É neste contexto, numa tentativa de percebermos o que é que falha nesta comunicação, que lanço o repto para uma análise mais cuidada. Pegando na frase que nos dá conta do abatimento do valor do combustível em “zero, vírgula, zero, vinte e cinco cêntimos”, ao certo, de quanto é este valor em escudos? Para facilitar os cálculos, considere por arredondamento, que um cêntimo equivale a 2 escudos. Recordo ainda que aquelas moedas, a que chamávamos “tostões”, eram necessárias 10 para obter um escudo. E que essas moedas, as mais antigas, ostentavam numa das suas faces o símbolo “X” e a palavra “centavos”.

Tabuada da multiplicação (com dedos)

2008-12-24T00:35:00.016Z

Muitos professores do 1º ciclo têm reflectido na importância ou não, da insistência na memorização da tabuada.

Normalmente o que se decora acaba por ser esquecido, portanto, há um entendimento generalizado em dar prioridade à compreensão da tabuada em detrimento da sua memorização. A ideia que fica é que o aluno, em qualquer altura, consegue construir a tabuada não havendo portanto, a necessidade de a decorar.

No entanto, em níveis de escolaridade mais avançada os professores queixam-se dos alunos não saberem a tabuada. Esta situação impossibilita o desenvolvimento de outras técnicas de cálculo e exploração de novos conceitos matemáticos como sendo a equivalência de fracções, os múltiplos, os divisores, decomposição de números e outras inúmeras situações onde se pressupõe saber de imediato o produto de dois algarismos.

A questão da memorização, a meu ver, é uma actividade de especial importância na formação escolar. Talvez mais tarde ainda possamos ser apetrechados de chips que resolverão este problema. Mas até lá, vamos com certeza continuar a ter a necessidade de memorizar e, cabe à escola desenvolver no aluno, de acordo com a sua forma de pensar, a capacidade em descobrir as melhores técnicas que facilitem a sua memorização.

E porque a memorização requer um trabalho continuado, torna-se difícil a gestão do tempo face à ambição do próprio currículo escolar do aluno, com múltiplos tópicos matemáticos repletos de conceitos que vão pesando na responsabilidade do professor para fazer com que os seus alunos adquiram maior competência matemática.

Constata-se que a grande dificuldade na memorização da tabuada, na maior parte dos alunos, é a partir da tabuada do seis. É por isso que sugiro que se dê uma atenção especial a Édouard Lucas no seu livro, O jogo Militar. Segundo este autor, a cultura palestiniana e síria usam um algoritmo muito interessante que poderá ser um contributo valioso para que os nossos alunos aprendam a tabuada.

Partindo-se do princípio que o aluno não tem dificuldade em saber a tabuada até ao cinco, toda a outra tabuada se torna muito fácil. Assim, qualquer aluno poderá confirmar, de forma autónoma, o produto de dois números maiores que cinco e de um só dígito.

Tomemos como exemplo o produto de 7 por 8 (7x8). Basta representar o sete numa mão e o oito na outra mão. Dado que as mãos têm apenas cinco dedos, então recorremos aos dedos dos pés para ajudar nessa representação. Assim, tendo cinco dedos nos pés mais 2 dedos levantados na mão, será uma forma de representar o sete. Seguindo a mesma técnica não há dificuldade em representar o oito - três dedos levantados na mão.

Agora, é só adicionar os dedos “levantados”, 2+3=5, e juntar à direita deste, o produto obtido pelos dedos “deitados”, 3x2=6. Obtém-se assim 56 o que corresponde ao produto pretendido: 7x8=56.

Estou convicto que passando a olhar mais vezes para as mãos, este algoritmo que parece ser complicado no início, poderá entrar na rotina e, para além de ajudar a memorizar a tabuada, é um exercício que também desenvolve a abstracção do aluno e consolida outros conhecimentos a favor de outras novas técnicas de cálculo mental.

Repare que a soma dos dedos “levantados” corresponde ao número de dezenas, e o produto dos dedos “deitados” corresponde ao número de unidades. Estes dois valores adicionados dão sempre o resultado pretendido. Faço este reparo para que saiba aplicar o algoritmo quando pretende determinar 6x6 ou 6x7.

Fica agora a cargo do leitor perceber porque refiro estes dois casos especiais. Que técnica vulgarmente é usada nos nossos algoritmos que também aqui pode ser utilizada?

Divisão por três

2008-12-13T18:59:00.020Z

Numa ou noutra situação todos nós já fomos confrontados com a necessidade de um ajuste de contas (no verdadeiro sentido da expressão), onde se pretende fazer o acerto das despesas comuns.

Também três amigos, na preparação de um passeio, decidiram que o almoço seria leitão. Ficou combinado que cada um levaria a sua bebida e o Gustavo com a responsabilidade de levar o assado.

Acontece que o Gustavo só conseguiu comprar 700g de leitão, era o último leitão do dia. Sendo francamente insuficiente para 3 pessoas, o Gustavo decidiu telefonar ao Bernardo para comprar no hipermercado, perto da sua casa, mais 500g de leitão.

No dia do passeio, já no final do almoço, altura que escolheram para fazer o ajuste de contas, o Eduardo chegou à conclusão que teria de pagar 6€, uma vez que a despesa com o leitão foi de 18€. É nesta altura que se levanta o problema. O Gustavo e o Bernardo ficaram, naquele momento, sem saber como dividir os seis euros entre si. No entanto, os dois amigos acabaram por acordar que o Gustavo ficaria com 3,50€ e o Bernardo com 2,50€.

Segundo o raciocínio do Gustavo deveriam dividir o dinheiro tendo em conta a mesma proporção de leitão com que cada um contribuiu. Até porque o preço do quilograma do leitão foi o mesmo.

O Bernardo acaba por concluir que as contas até eram boas de fazer uma vez que se tratava de 1200 g de leitão e, o dinheiro que pretendiam dividir eram 6€. Assim, 500g vai corresponder a 2,50€, esclarece o Bernardo, prontificando-se a entregar de imediato ao Gustavo, a diferença que vai para os 6€.

Entretanto, no dia seguinte, quando o Eduardo tomou conhecimento de tal divisão reprovou veementemente aquela forma de pensar. Segundo as contas feitas por este amigo, que sempre foi respeitado pelas provas académicas dadas, o Bernardo teria que ainda dar ao Gustavo 1 euro.

De facto, após a explicação do Eduardo, os outros dois amigos acabaram por perceber como tinham errado no seu raciocínio. No entanto, não pareciam muito convincentes com o resultado obtido. Principalmente o Guilherme, tendo subscrito o raciocínio do Eduardo, repetiu várias vezes as contas à procura do possível engano.

Como seria possível esse raciocínio ser o mais correcto e, levar a um resultado que parece ser tão injusto - o Bernardo ficaria apenas com 1,50€ e o Gustavo com 4,50€?

Será que o leitor com toda a sua justiça matemática consegue encontrar explicação para esta justa divisão que o Eduardo defende?

Um problema de reflexão

2008-12-03T23:44:00.007Z

Ainda me lembro dos meus tempos de estudante em como a matemática era uma disciplina que só poderia agradar aos “abstractos”. Refiro-me aos “abstractos” como sendo aqueles que, por diversas razões, tiveram oportunidades de passar por múltiplas experiências, ganhando elevados níveis de abstracção o que lhes garantia uma maior competência matemática.

Nesse tempo era mesmo difícil gostar da matemática, era caso para dizer que a matemática era “intragável”. O aluno não via qualquer utilidade no estudo desta matéria. As propostas de trabalho eram áridas, pouco ou nada apelativas, conquistando apenas os “abstractos”, como é o caso do exemplo seguinte:

Encontre o ponto P da recta r de modo que o comprimento da linha poligonal [APB] seja a menor possível.

Convenhamos que se trata de uma tarefa para a qual o aluno poderá revelar pouco interesse em resolvê-la. Qual o objectivo? Qual o interesse em descobrir onde está o ponto P?

No entanto é uma tarefa muito rica, visto implicar vários conhecimentos matemáticos, como por exemplo a distância entre um ponto e uma recta, a noção de reflexão, a perpendicularidade, a implicação e o manuseamento de material como o esquadro, a régua e o compasso.

Hoje o trabalho do professor a nível didáctico-pedagógico é muito mais exigente. Também tem que “saber vender” o seu produto. É por isso que tem de gastar algum tempo na preparação da estratégia de “venda” – processo que não é valorizado por aqueles que estão de fora. Para além da selecção ou produção da tarefa onde se pretende a apropriação de novas aprendizagens, também é necessário que o professor, quando propõe a tarefa, tenha a mesma preocupação que o chefe de cozinha - para além do paladar, primeiro tem que ser agradável à vista. É claro que isto não é tarefa fácil para o professor. Por vezes, a melhor ideia talvez acabe por nunca ocorrer apesar do tempo dedicado a essa causa.

Neste caso, tornar um pouco mais agradável a actividade poderia passar por transformar o ponto A na casa do aluno e o ponto B a casota onde se encontra o seu cão de estimação, sendo a recta r o rio que passa junto à quinta do aluno. Agora pretende-se que o aluno vá ao rio encher o balde para levar água ao rafeiro. Para que o aluno faça a menor distância possível em que lugar deverá apanhar a água no rio?

Será que agora também o leitor já ficou curioso em encontrar o ponto P? Se imaginarmos a casota do cão na outra margem do rio, com certeza que o balde deveria ser cheio no ponto de intersecção do rio com o caminho, em linha recta, até à casota do cão. Não haverá um ponto na outra margem que possa corresponder ao lugar da casota do cão? Será que esta dica poderá ajudar a encontrar o ponto P?

proposta de resolução

Entre o possível e o impossível - as ilusões.

2008-11-22T11:05:00.014Z

Com certeza que já ouviu dizer que uma imagem vale mais que mil palavras. Também um bom exemplo pode evitar muitas palavras quando se pretende transmitir uma ideia matemática. No entanto, pior que a falta de um exemplo poderá ser um mau exemplo.

E quando se trata de um bom exemplo que parece ser um mau exemplo? Não tenho dúvidas que a dúvida resiste.

É o exemplo da figura que se segue que pretende ser o exemplo de duas figuras geometricamente iguais, isto é, se as figuras forem sobrepostas elas coincidem ponto por ponto.

imagem retirada de Perelman,Yakov. Experiências e Problemas Matemáticos Recreativos II. EDITEC

Acredita que estas duas figuras são geometricamente iguais? Claro que não. Uma até parece ser mais larga e curta que a outra. Mas, de facto elas são geometricamente iguais. Faça a experiência, copie, recorte, sobreponha-as e verá que coincidem. Extraordinário como o nosso cérebro tem tendência para ver apenas aquilo que está habituado a ver.

Sem dúvida que estamos perante uma ilusão óptica, sensações que os especialistas tentam justificar a partir das nossas estruturas oculares e mentais e também como elas se combinam.

Esta faculdade do Homem se enganar sobre as suas sensações visuais permite a valia da arte enquanto apreciadores das mais variadíssimas expressões artísticas que, caso a visão fosse completamente perfeita, não iria conseguir percepcionar as suas representações.

Penso que a figura seguinte é um bom exemplo do que acabo de dizer. Há a tendência para ver os círculos da direita afundados e os da esquerda salientes. No entanto, se virar as figuras ao contrário, com certeza que vai mudar de opinião. Aliás, a figura da direita é a mesma da esquerda, apenas foi invertida.

Experimente agora fazer um teste para verificar se realmente o seu cérebro está a ver o que realmente deverá ver. Na verdade deveria ver circunferências. No entanto, só vai acreditar no que não vê se, por exemplo, passar com um lápis sobre as linhas.

imagem retirada de Perelman,Yakov. Experiências e Problemas Matemáticos Recreativos II. EDITEC

Mas não é caso para se assustar, há quem fique ainda mais baralhado. O vídeo que se segue, inspirado nas ilusões de M. C. Escher, é um trabalho magnífico que testemunha o que acabo de dizer.

Divisão de unidades indivisíveis

2008-11-12T00:44:00.029Z

Malba Taban, pseudónimo do professor e autor brasileiro Júlio César de Mello e Souza, falecido no ano em que nós, Portugueses, conquistámos a nossa liberdade de expressão(?), deixa-nos uma panóplia de fábulas matemáticas dando vulto àquilo que ainda muitos de nós deprecia. Um bom exemplo é o seu livro “O homem que sabia contar”, onde, entre muitas histórias, relata uma que destaco precisamente por conseguir glória no seio das tertúlias dos nossos avós. Prepare-se então para poder também participar num assunto que, lamentavelmente, já não serve de tema nas tertúlias de hoje.

Segundo reza a história, durante uma calorosa discussão entre três irmãos, eis que surgem dois amigos montados num camelo que não conseguiram evitar uma paragem para apaziguar tal discussão. A falta de entendimento entre aqueles homens devia-se ao facto de não conseguirem fazer a divisão da herança de seu pai – 35 camelos. Não havia forma de chegarem a um consenso.

Segundo a vontade expressa do falecido, metade da herança seria para o seu filho mais velho, uma terça parte para o filho Hamed e, finalmente, para o filho mais novo, Harim, resta a nona parte da herança.

O filho mais velho reclama, pois, 18 camelos, uma vez que metade de 35 são 17,5. Esta pretensão não foi aceite pelos outros irmãos, dado que o mais velho já leva a maior parte da herança. Hamed tendo direito a uma terça parte, 11 camelos e ainda mais de metade de outro, com toda a justiça acha que deve ficar com 12 camelos. Mas, Harim discorda completamente porque segundo a vontade de seu pai a nona parte da herança são quase 4 camelos. Dado ser ele o que menos recebe, então o mais novo reclama para si o benefício do arredondamento à parte inteira mais próxima.

É nesta altura que intervém Beremiz - o homem que sabia contar, dizendo que o que mais o incomoda é ver 3 irmãos a discutir um problema que é dos mais simples de resolver. Contra a vontade do seu companheiro de viagem, Beremiz fez questão em juntar à herança também o camelo em que eles se deslocavam, ficando, assim, 36 camelos para repartir pelos três irmãos.

Impávidos e já mais serenos, acreditando que se tratava de obra divina o aparecimento e a bondade de tal criatura, os três irmãos aceitaram que fosse Beremiz, com justiça, a fazer tal divisão.

Não havendo dúvidas que metade do conjunto de 36 camelos são 18, Hamed e Harim deixaram partir o seu irmão mais velho com o número de camelos que antes reclamara. Também Hamed ficou satisfeito, dado que uma terça parte de 36 era precisamente aquilo que ele pretendia, 12 camelos. Por fim, também Harim não se pode queixar, uma vez que a nona parte da nova herança dava-lhe direito a que ficasse com 4 camelos.

Concluindo, todos os irmãos saíram a lucrar com aquela divisão 18 + 12 + 4, fazendo um total de 34 camelos. Perante este facto o companheiro de viagem de Beremiz nem queria acreditar como era possível aquele entendimento e agora poderem prosseguir a sua viagem montados cada um em seu camelo.

Antes que o leitor se envolva também numa situação semelhante, sugiro que não se precipite em juntar o seu automóvel a uma possível herança. Em primeiro lugar reflicta sobre o sucedido neste caso dos camelos de modo a encontrar uma explicação para o ocorrido. Só assim ganhará o poder de se transformar também num Homem que sabe contar!

proposta de resolução

Operações vs algoritmos

2008-11-04T00:34:00.009Z

Sempre foi assim, na escola, a primeira operação a aprender é adição e em segundo lugar a subtracção. Mas, o que é isto de aprender a subtracção? Ainda me lembro do meu pai me dizer que já sabia “fazer subtracções”, após eu ter feito uma “conta de menos armadilhada”. Digo armadilhada porque havia ordens em que o aditivo tinha valores menores que no subtractivo, o que elevava o grau de dificuldade para resolver aquele algoritmo.

Mas também há quem consiga efectuar a subtracção sem ter de recorrer a lápis e papel. E neste caso, quem faz o cálculo mentalmente, não pode ser reconhecido com a aptidão de “saber a subtracção”? Com certeza que estamos a falar de coisas distintas. Uma é o conceito da operação em si – a subtracção, outra é a técnica que utilizo para efectuar a operação - o algoritmo.

A Lucy é uma rapariga que recorreu a uma técnica interessante para fazer uma subtracção mas que, no início, baralhou a sua nova professora.

O algoritmo que apresentou foi o seguinte:

A professora admirada e tentando perceber o raciocínio da Lucy pediu-lhe que explicasse o que ali escreveu. A Lucy meio atrapalhada revelou que não tinha dificuldade em subtrair um número a outro que fosse maior. Mas, quando assim não acontece precisa de utilizar uma estratégia auxiliar, de modo a tornar compreensíveis os seus procedimentos. É o que acontece neste algoritmo nas ordens das dezenas e centenas.

Passou então a explicar:

Na ordem das unidades não tem problema, de 9 retiro 2, restam 7.

Na ordem das dezenas pretende-se retirar 6 a 2, o que não é possível. Mas retirar 6 é o mesmo que adicionar 4 e retirar 1 dezena. É isso mesmo que faço: 2 mais 4 são 6 e coloco a dezena para a poder retirar mais tarde.

O mesmo acontece em relação à ordem das centenas, pretende-se retirar 8. É o mesmo que adicionar 2 e retirar 1 dezena. Então, 3 mais 2 são 5 centenas e coloco novamente a dezena de centena para a poder retirar a seguir.

Finalmente, na ordem das unidades de milhar não há problema, a diferença entre 7 e 4 são 3. Resta agora retirar uma dezena de dezena e uma dezena de centena que foram adicionadas ao número, o que já não oferece dificuldade.

A professora, a partir de uma segunda explicação da Lucy, acabou por validar o seu raciocínio mas, convicta que se tratava de um processo muito mais complicado, tentou persuadir a aluna na utilização do algoritmo convencional.

A argumentação da aluna foi completamente convincente ao admitir que se tivesse de utilizar o algoritmo tradicional para fazer a subtracção, muito provavelmente se iria enganar porque não percebia os procedimentos deste algoritmo, embora se trate de uma aluna do 4º ano de escolaridade.

Assim, quando numa ordem o aditivo é menor que o subtractivo, então, só precisaria de fazer a adição do aditivo com o complementar do subtractivo. Note-se que o complementar de um número é a diferença entre a próxima potência de base 10 e esse número. Neste caso porque se tratam de números inferiores a 10, os pares (1,9), (2,8) (3,7) e (4,6) são complementares.
Levanta-se então a questão se o algoritmo utilizado pela Lucy não tem a mesma validade que o vulgar algoritmo da Subtracção.

Esta aluna revelou ter sentido do número, o reconhecimento do valor de posição e um bom domínio do conceito de subtracção. Mais, não se pode pedir.

A professora também aprendeu que o para o estabelecimento de uma relação forte entre professor/aluno, fundamental no processo ensino/aprendizagem, também passa por respeitar os próprios processos de cada aluno.

E o caro leitor, o conceito que tem de subtracção será que é suficiente para poder explicar quando diz “e vai um”, um quê? E porquê?

Dias depois, a mesma professora, após ter verificado os trabalhos de casa pediu ao Télen, novo aluno na turma - imigrante, que explicasse aos seus colegas outra forma de poder efectuar uma divisão.

O algoritmo utilizado no seu TPC era o seguinte:

Não quererá o leitor tentar interpretar o raciocínio do Télen?

proposta de resolução

Um plano, três pontos

2008-10-25T18:26:00.016+01:00

Alunos mais fracos na disciplina de matemática ainda tentam justificar o seu insucesso por não verem utilidade prática nesta área de estudo para o seu futuro. No entanto, nas actividades mais recreativas, estes mesmos alunos, embora não o reconhecendo, acabam por quantificar e aferir os procedimentos envolvidos tendo em vista o objectivo de seleccionar o vencedor.

É, portanto, premente levar esses alunos a reconhecer a importância da matemática nas actividades do dia-a-dia. É também importante o reconhecimento do significado que algumas ideias e conceitos matemáticos poderão ter, como também é fundamental que, às aprendizagens adquiridas, lhes sejam atribuídas aplicação prática, de modo a que o aluno se aperceba da necessidade da fundamentação teórica para apropriação do conhecimento matemático.

A exemplo do que é dito, uma pergunta que poderá surgir do aluno: qual o interesse em saber que um plano fica definido apenas por três pontos?

Na verdade, este conhecimento matemático terá algum interesse prático senão servir como premissa de suporte a novos conceitos? Não quererá o leitor pensar num argumento convincente em como este conhecimento terá implicação directa nalguma aplicação prática do quotidiano?

É de notar que do conhecimento popular é sabido que a melhor opção para uma mesa que não oscile, é ter apenas três pernas.

Problemas com moedas

2008-10-19T00:03:00.016+01:00

A resolução de problemas é reconhecida universalmente como sendo um item fundamental e de especial relevância nas aprendizagens. É indiscutivelmente um processo que promove o desenvolvimento do raciocínio e a construção de processos cognitivos de nível superior, como seja conjecturar, testar, validar, reflectir…

Mesmo assim, o conceito de problema ainda hoje não converge no seio da comunidade educativa. Tanto que, são vários os investimentos por parte de alguns matemáticos que se empenham na melhor definição deste conceito. Mas, partilhando a ideia de que um bom problema, entre outras características, deve ser interessante, desafiador, sem resposta imediata, mas cuja resolução seja possível por parte do resolvedor, contudo, nem sempre é possível reunir todas elas, pois existe uma comunidade de resolvedores muito heterogénea.

Serve de exemplo um problema de Brian Bolt, matemático que muito tem contribuído para motivar o interesse pela matemática. Trata-se de um problema desafiador que, caso o leitor já o conheça, deixará de ser um desafio, e por conseguinte, perderá algum do seu interesse natural.

“Disponha de oito moedas, como se indica na figura formando um quadrado com três moedas em cada lado.

Agora desloque quatro moedas para formar um quadrado com quatro moedas em cada lado!”

Por favor não continue a leitura enquanto não pensar um pouco na resolução do problema.

Este problema é normalmente classificado como sendo de tipo puzzle – não necessita de grandes conhecimentos para ser resolvido, a solução pode surgir num clique, a tal Eureka!

A disposição das moedas apresentada já é algo interessante e até poderia servir de solução a outro problema onde fosse necessário formar 8 soldados em 4 filas havendo apenas 3 soldados em cada fila.

O que poderia parecer impossível, por falta de 4 soldados, afinal, torna-se de fácil resolução se 4 soldados puderem ser contados duas vezes. Assim a disposição em quadrado, como na figura, seria a solução. O soldado que fica no vértice do quadrado será contado duas vezes.

A partir desta experiência torna-se mais fácil a descoberta da solução do problema proposto. Também neste caso para se obter um quadrado com 4 moedas em cada lado, e dispondo apenas de 8 moedas, só nos resta dispô-las de tal forma que cada moeda possa ser contada duas vezes, isto é, cada moeda tem que estar simultaneamente em dois lados.

Assim, basta deslocar as 4 moedas que se encontram no meio de cada lado e sobrepô-las nas moedas que formam os vértices. Temos assim 4 moedas em cada lado num quadrado formado por oito moedas. Interessante, não é?! Quando se sabe, é fácil!

Mas, tão fácil como esta resolução é também uma outra para o problema que apresento de seguida. Na minha opinião, trata-se de um problema dos mais fascinantes devido à facilidade com que pode ser resolvido mas, à primeira vista, parece ser impossível de resolver.

Imagine-se na situação de um condenado à morte que apenas tem uma só noite até à sua execução. Na masmorra onde está preso não entra qualquer luz. Os soldados visitam-no pela última vez para lhe transmitirem a decisão que o imperador tomou por influência do povo, uma vez que sabiam que você era um bom resolvedor de problemas.

Um soldado lê o comunicado: como podes verificar, ficam aqui na mesa 40 moedas. Apenas 18 destas moedas estão viradas com a cara para cima. Se amanhã quando te viermos buscar, as moedas estiverem divididas em 2 grupos, de forma que os 2 grupos tenham o mesmo número de moedas com a cara virada para cima, então, não serás executado.

Os soldados saem, fecham a porta, e fica completamente escuro sem ter qualquer possibilidade de ver as moedas.

O que faria para não ser executado?

Nota: O desgaste das moedas não lhe permite através do tacto identificar a cara ou a coroa da moeda. Caso não encontre a solução de imediato, sugiro que tente reduzir o problema a uma situação mais simples simulando-o com poucas moedas.

proposta de resolução

Números primos

2008-10-10T19:46:00.010+01:00

Não é novidade para ninguém, o facto de haver números primos. Pelo menos na escola já ouvimos falar em tais números. Grande parte das pessoas não se lembra o que estes números têm de especial para que justifiquem o nome de “primos”. De facto, são tão especiais que se tivermos um número primo de pessoas não as conseguimos dividir em grupos com o mesmo número de elementos, tendo em conta que, cada grupo deverá ficar com pelo menos duas pessoas.

Na matemática diz-se que o número primo só admite dois divisores: o um e ele próprio. Também no universo dos números naturais o primeiro primo tem uma característica que mais nenhum tem – é par, todos os outros são ímpares. Porque será?

Procurando então os números que não se deixam dividir por outro número senão por um e por ele próprio, temos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89…

Para além da decomposição de um número em factores primos, que se aprende na escola, será interessante constatar que qualquer número par (excepto o dois) é a soma de dois números primos. Este poderá ser um desafio interessante: descobrir um número par, maior que dois, que não seja a soma de dois números primos. É garantido que se o leitor descobrir esse número (é possível que isso aconteça uma vez que ainda ninguém conseguiu demonstrar o contrário), o seu nome vai ficar na história da matemática mesmo que ainda não tenha ganho grande afinidade com esta ciência. Esse feito iria conseguir refutar a conjectura que já dura quase há 300 anos cujo autor é Christian Goldbach.

Mas, se isso der muito trabalho pode ainda procurar fama na descoberta de um processo que produza a sequência de números primos. Por exemplo, a partir da sequência de números primos acima apresentada, como poderemos descobrir o próximo número primo (97)?

Para facilitar o trabalho posso adiantar uma particularidade que se verifica neste tipo de números: se a qualquer número primo maior que 3, retirarmos um e dividirmos por seis e não der resto zero, então adicionamos um e dividido por 6 dá de certeza resto zero. Será que esta regularidade acontece com todos os números primos? Isto é, qualquer número primo (excepto o 2 e o 3) existe na forma 6n±1?

Também se pode constatar que existem números primos na forma 4n+1. Da nossa lista destacam-se: 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89. Estes números têm a particularidade de serem a soma de números quadrados: 5=1+4, 13=4+9, 17=1+16, 29=4+25, 37=1+36… Será que é sempre assim? Isto é, qualquer número primo na forma 4n+1 é a soma de dois números quadrados?

Para além destas particularidades dos números primos também se constata que entre números quadrados consecutivos existe sempre pelo menos um número primo. Pelo menos na lista dos números primos menores que 100, não há dúvidas que isso aconteça: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 36, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97… Será que é sempre assim?

Parece-me que estas particularidades nestes números podem ajudar na descoberta de novos números primos… então, mãos à obra! E, já agora, consegue descobrir os números que estão escondidos pelas letras A, B, C, e D no esquema seguinte?

proposta de resolução

Pitágoras, não só para quadrados

2008-10-01T01:36:00.019+01:00

É do conhecimento profissional do pedreiro fazer uma esquadria sem que no entanto tenha um esquadro. Quando confrontei um pedreiro meu amigo com esta situação, de imediato referiu: “60, 80 e 100 é quanto preciso para fazer uma esquadria”.

No entanto, ficou surpreendido ao saber que os pedreiros de antigamente conseguiam a mesma proeza mas, sem fita métrica. Uma corda seria o bastante para traçarem duas linhas perpendiculares para que, a partir daí construíssem duas paredes a fazerem entre si 90 graus. A técnica consistia em dar nós na corda à mesma distância uns dos outros de modo a obter doze comprimentos iguais.

Depois bastava formar com a corda um triângulo de modo a ter nos lados 3, 4 e 5 unidades de comprimento. O maior ângulo do triângulo que se obtém é de 90 graus. Trata-se, portanto, de um triângulo rectângulo.

É interessante a observação que esse meu amigo fez sobre a relação entre estes números e os que ele utiliza. Ele próprio disse: “ eu estava a pensar em centímetros mas, se considerarmos decímetros é o mesmo que 6, 8 e 10 que são precisamente os dobros do trio 3, 4 e 5”. Também o terno 9, 12 e 15 dá origem a um triângulo rectângulo a diferença está apenas nas suas dimensões.

Aos conjuntos de três números com a particularidade de expressarem as medidas de um triângulo rectângulo são conhecidos por ternos pitagóricos, dado que, a soma dos quadrados dos lados menores (catetos do triângulo) é igual ao quadrado do lado maior (hipotenusa do triângulo). A interpretação geométrica pode ser traduzida pela seguinte figura:

Fica então o desafio para a descoberta de outros ternos pitagóricos que não sejam múltiplos dos anteriores nem dos do exemplo seguinte: 8, 15 e 17 [8^2+15^2=17^2]

Mas, o produto de um quadrado pelo nobre irracional transcendente “pi” dá origem a um círculo cujo raio é o lado desse quadrado. Então, na igualdade de Pitágoras, neste caso, 3^2+4^2=5^2 podemos criar uma nova igualdade com um novo significado: pi3^2+pi4^2=pi5^2

Se os lados do triângulo rectângulo forem raios de círculos, poder-se-ão relacionar de acordo com a descoberta de Pitágoras. Assim, pode-se concluir que a área do semicírculo construído sobre a hipotenusa de um triângulo rectângulo é igual à soma dos semicírculos construídos sobre os seus catetos. Interpretando esta frase geometricamente, temos: a = b + c

Então, que relação se pode estabelecer entre as lúnulas x, z e o triângulo y?

Proposta de resolução

Descubra o seu algarismo da sorte

2008-09-19T00:19:00.007+01:00

Um caldo de números e operações é o bastante para se aperceber que qualquer pessoa é vulnerável, não tendo qualquer importância o grau de superstição que a afecta. Se quiser fazer a experiência terá que seguir apenas as indicações que eu vou dando. Garantidamente, vai ter a possibilidade de confirmar se o seu algarismo da sorte, para este ano, será aquele em que você pensa que é.

Atenção que se trata de uma experiência que só resulta com adultos. Para isso, vai ser necessária qualquer coisa que escreva, e onde escreva. Peço ainda que não se engane nas instruções que lhe vão ser dadas.

Então vamos lá. Escreva a sua idade. Pense agora num algarismo (de 1 a 9), aquele que julga ser o seu algarismo da sorte. Lembro que o seu algarismo da sorte, para este ano, nunca poderá ser igual aos algarismos da sua idade.

Junte esse algarismo à sua idade, à esquerda se for canhoto, ou então, à direita se for destro.

Inverta o número, isto é, escreva o número pela ordem contrária. Neste momento deverá ter escrito dois números de três dígitos.

Encontre a diferença entre eles (ao maior número, subtrair o menor).

Ao número que obteve troque de posição o algarismo da esquerda com o algarismo da direita. A este novo número adicione-o à diferença obtida.

Neste momento deverá ter obtido um número formado por quatro algarismos. Já só tem que adicionar esses algarismos e guardar mentalmente o número obtido.

Agora, a partir do início do texto (sem contar com o título), só tem que contar o número de palavras correspondente ao número que tem guardado na mente.

Se encontrou a palavra NÃO, parabéns! Quer dizer que não se enganou e, sendo assim, o algarismo que escolheu é de certeza, até ao seu próximo aniversário, o algarismo no qual deve apostar.

Sabe que pode ter mais que um algarismo da sorte? Tente encontrar uma justificação para o fenómeno matemático que o leva a descobrir todos os seus algarismos da sorte.

proposta de resolução

Teorias modernas

2008-09-11T12:05:00.037+01:00

Com certeza que também já foi confrontado com aquele desafio muito antigo onde se pretende desenhar o envelope aberto sem levantar o lápis e sem passar novamente pela linha já traçada.

Um amigo meu, há dias, disse-me que se tivéssemos que desenhar o envelope fechado já não seria possível desenhá-lo. Por que será?

Será que este desafio também tem algo a ver com matemática? Claro que tem, e aqueles que se moveram pela sua resolução, só revela que também têm o gene da “essência matemática” – talvez não tenham descoberto ainda isso.

Esta situação é semelhante a outra muito conhecida que, já no séc. XVIII, fez perder muito tempo a Leonhard Euler na sua resolução – as pontes de Königsberg. Esta cidade é atravessada pelo rio Pregel que devido à sua ramificação dá origem à ilha Kneiphof (para a visualizar no Google Earth, pesquise por Kaliningrado). Esta ilha estava ligada à cidade por pontes onde os habitantes, durante os seus passeios, tentavam procurar o percurso que lhes dava a possibilidade de passar por todas elas, uma e apenas uma vez.

Esquema da cidade de Königsberg, antiga capital da Prússia

(Imagem retirada do site de Adérito Araújo, Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra - http://www.mat.uc.pt/~alma/escolas/pontes/)

Euler acabou por resolver o problema, provando que não é possível traçar esse circuito. E é talvez a partir do raciocínio deste matemático que se fez luz para o desenvolvimento de um novo ramo da geometria que, não considerando as dimensões da figura, analisa a ordem da disposição e a relação entre os vários elementos dessa figura – Teoria dos grafos.

A exemplo do que é dito, os esquemas que se seguem, embora diferentes, têm a mesma importância para o tipo de análise que se pretende fazer, representam a mesma coisa, neste caso, as pontes de Königsberg. As linhas (arestas do grafo) representam as pontes e os pontos (vértices do grafo), as regiões onde as pontes vão ligar.

À semelhança do desafio do envelope, também aqui se pretende desenhar a figura sem se poder levantar o lápis, a menos que as pessoas se pudessem deslocar pelo ar, mas naquela altura ainda não havia helicópteros. Também não se pode passar novamente numa linha já traçada - os habitantes de Königsberg não queriam passar mais do que uma vez na mesma ponte.

Já são muitas as actividades económicas que recorrem a este ramo da matemática tendo em vista maior rendibilidade nas suas acções. É o exemplo do vendedor ambulante que pretende visitar todos os seus clientes fazendo o menor percurso possível, a distribuição do correio, ou a elaboração do plano do circuito das carreiras urbanas de uma cidade.

Esta nova área da matemática tem vindo a ganhar importância devido ao seu enorme potencial de aplicações. No entanto, é pena que a escola ainda não lhe tenha reconhecido essa importância para a incluir nos seus currículos de escolaridade obrigatória. Assim, para além do gozo pessoal que se pode ter na descoberta da solução do desafio do envelope, importa saber também de que forma se poderá sistematizar o conhecimento para que rapidamente se possa decidir sobre a possibilidade ou não da resolução de qualquer figura.

Fazendo uma análise um pouco mais cuidada sobre esta situação damos conta que, ao traçar um circuito ininterrupto, quando se chega a um vértice (ponto) é necessário sair de lá. Então, se a todos os vértices afluírem um número par de arestas (linhas), é possível a sua resolução, uma vez que em cada vértice há uma entrada e uma saída. Mesmo que se escolha um vértice para partir, desde que ele seja par, fica garantida uma aresta para a chegada, o que se conclui que o vértice de partida também terá que ser o de chegada.

Pode, no entanto, ainda ser traçado um circuito ininterrupto com partida num vértice e com chegada noutro vértice. Neste caso, os vértices de partida e chegada terão de ser ímpares, ou seja, concorrem nele um número ímpar de arestas, em que, a aresta que não tem par serve de partida ou de chegada. Portanto, ainda há a possibilidade da figura ter vértices ímpares (pontos onde afluem um número ímpar de linhas) mas, neste caso terão de ser dois.

Reúnem-se, agora, as condições para opinar sobre quais as pontes que deveriam ir abaixo de forma a que os habitantes de Königsberg pudessem, nos seus passeios, visitar todas elas uma só vez. Claro que se não houver problemas de orçamento poder-se-ia pensar antes na construção de novas pontes. Não quererá dar uma sugestão onde poderá ser construída uma ponte para poder satisfazer as pretensões dos habitantes daquela cidade?

Voltando ao desfio do envelope, já poderemos dar uma opinião sobre a sua resolução: por que razão não é possível traçar um circuito ininterrupto, de modo a obter o envelope fechado?

Proposta de resolução

Uma questão de tempo

2008-09-07T19:06:00.010+01:00

De há muito que o nosso povo se distingue pela sua capacidade de improvisação e criatividade até mesmo inventiva. Numa plateia, com o objectivo de aferir a criatividade e capacidade argumentativa do público, foi lançado o desafio para que cada pessoa respondesse por escrito tentando encontrar uma justificação para o fenómeno que se apresenta:

Um avião que habitualmente faz carreira entre a cidade A e a cidade B demora uma hora e vinte minutos quando se descola da primeira para a segunda cidade. Mas, quando faz o percurso inverso demora oitenta minutos. Encontre razões que justifiquem o sucedido.

Foram variadíssimas as respostas dadas. O vento, o movimento de rotação do planeta, a mudança de fuso horário foram alguns dos factores que serviram de justificação para a compreensão do fenómeno.

No entanto, poucos foram os interlocutores que deram a resposta que deveria ser evidente. Coloca-se então a questão, porque será que apenas uma minoria da plateia utilizou o conhecimento matemático mais básico, mas suficiente, para dar resposta a uma situação do mais trivial que existe? Espero que o caro leitor pertença a essa minoria que reconhece uma hora e vinte minutos como sendo o mesmo que oitenta minutos não havendo, portanto, necessidade de justificar qualquer fenómeno.

É interessante o próprio leitor fazer este teste com outras pessoas. Vai verificar que é isso mesmo que acontece, a maioria das pessoas esquece que o sistema de numeração a que estamos habituados (sistema decimal), não é usado habitualmente para fazer contagens de tempo. No caso desta grandeza, as contagens deixam de ser feitas em agrupamentos de dez para serem feitas em agrupamentos de sessenta (sistema sexagesimal). Daí ficarmos um pouco baralhados.

Trata-se de uma influência da civilização Babilónica que se expandiu na região que hoje conhecemos por Iraque e que remonta a um período que poderíamos considerar simétrico aos dos nossos dias seguindo a linha cronológica que nos serve de referência.

À semelhança do que acontece com as horas, também as coordenadas geográficas se expressam de acordo com a herança dos antigos babilónios. Será que é capaz de encontrar outro exemplo onde ainda usamos esta influência babilónica?

Resposta sugerida

Dados da sorte

2008-09-02T18:32:00.013+01:00

A conjuntura económica que assola os nossos dias coloca-nos numa posição que nos faz reflectir sobre o futuro. No jornal Público já foi proposto um desafio por Eduardo Veloso e José Paulo Viana que é, sem dúvida, uma mais-valia para quem tiver que recorrer a outros rendimentos extraordinários. Aproveitando esta ideia, qualquer pessoa com um pouco de audácia poder-se-á tornar num invejável ganhador de apostas, seduzindo mesmo aqueles que se julgam mais finórios.

Considere-se, então, 4 dados cujas faces têm um número de 0 a 6:

Dado Azul – 0, 0, 4, 4, 4, 4;

Dado Branco – 1, 1, 1, 5, 5, 5;

Dado Castanho – 2, 2, 2, 2, 6, 6;

Dado Dourado – 3, 3, 3, 3, 3, 3.

Pretende-se que cada um dos apostadores escolha um dado. Depois de cada apostador lançar o seu dado, ganha um ponto aquele que obtiver maior valor acusado pelo seu dado. No final de 20 lançamentos, por exemplo, aquele que obtiver maior número de pontos arrecada o dinheiro em jogo.

Imagine que vai jogar comigo. Dou-lhe a oportunidade de escolher o dado com que quer jogar. Vamos imaginar que escolhe o dado azul. Assim, eu escolho o dado branco.

Sabendo que cada dado tem 6 faces, há portanto 6x6=36 casos possíveis. Na tentativa de clarificar esta situação, identifiquemos as faces de um dado (cubo 1), com as letras A, B, C, D, E e F e as faces do outro dado (cubo 2), com as letras a, b, c, d, e e f. Os casos possíveis encontram-se identificados na tabela seguinte:

No caso dos dados envolvidos serem o azul e o branco, o dado branco – o meu dado, pontua quando se obtém a dupla 0-1 (2x3=6 possibilidades), a dupla 0-5 (2x3=6 possibilidades) ou ainda a dupla 4-5 (4x3=12 possibilidades), o que perfaz 24 casos favoráveis em 36. Quer então dizer que provavelmente irei ganhar.

Mas, sabendo que o dado branco é mais vantajoso que o azul, provavelmente iria escolher em primeiro lugar o dado branco. Neste caso, eu escolheria o dado Castanho. Agora, os casos favoráveis para o dado branco é a dupla 2-5 o que corresponde a apenas 12 casos favoráveis (3x4=12) restando, novamente, 24 casos favoráveis para o meu lado. Quer isto dizer que, tal como na situação anterior, terei a mesma probabilidade de ganhar.

Perante este facto, estou convicto de que o dado castanho passaria a ser a sua preferência. Se assim fosse, eu escolheria o dourado. Neste caso, os casos favoráveis ao dado castanho é quando sai apenas a dupla 3-6, correspondendo apenas a 12 casos favoráveis (2x6=12), contra, uma vez mais, os meus 24 casos favoráveis. Quer isto dizer que, com a mesma probabilidade, muito provavelmente, eu iria ganhar.

Afinal, o significado do dourado talvez tenha todo o seu peso na escolha do dado ganhador. Assim seja, nesse caso, se escolhesse o dourado, eu escolheria o azul. Será que continuo a fazer uma boa escolha? Estou convencido que iria ganhar novamente…

Duplicação do quadrado

2008-08-24T01:47:00.012+01:00

Um aluno do 9º ano e o outro do 4º ano foram confrontados com o seguinte desafio:

“A partir do quadrado que é dado, desenha outro que tenha o dobro da área. No final, faz um registo daquilo que te possa ocorrer sobre o teu trabalho.”

O aluno do 9º ano começou por traçar um quadrado tendo de lado o dobro do comprimento, mas facilmente se apercebeu que não estava a obter o que desejava.

Recorreu a uma régua e concluiu que a área do quadrado pedido teria que ter 8 centímetros quadrados. Com a ajuda da máquina calculadora e utilizando a operação de radiciação decidiu construir um quadrado com 2,8cm de lado.

O seu registo final: “Não é possível desenhar um quadrado exactamente com o dobro da área do quadrado que é dado, uma vez que é necessário ter de lado um comprimento que não é possível medir (número irracional, sendo neste caso 2,82842712…). Assim, o quadrado que tracei tem um valor muito próximo do que é pedido: 2,8x2,8=7,84 centímetros quadrados”.

O aluno do 4º ano seguiu o mesmo erro do aluno com maior escolaridade, no entanto, também ele deu conta que obteve um quadrado com o quádruplo da área em vez do dobro, como era pedido.

Depois de várias tentativas, o aluno revela incapacidade de resolver aquilo que inicialmente lhe parecia muito fácil. É então aconselhado a simular um geoplano podendo mesmo aproveitar o quadrado como unidade para a representação da malha quadrangular. Este aconselhamento foi o suficiente para que o aluno tivesse ganho novo entusiasmo neste desafio.

Desenhou então:

Uma nova ajuda foi necessária para que o aluno escolhesse uma unidade de área que o facilitasse na construção do quadrado pedido. A partir daí já não foi muito difícil concluir que, o quadrado pretendido deveria ter quatro unidades de áreas dado que o quadrado inicial teria 2 u.a. (2 triângulos).

Com alguma perseverança lá conseguiu construir o quadrado pretendido:

Confrontado com a mesma dificuldade com que todos os alunos deste nível de ensino revelam, foi difícil fazer com que o aluno reflectisse um pouco sobre o seu trabalho e conseguisse algum registo. Após análise orientada sobre o trabalho produzido, o aluno acaba por escrever: “Gostei desta actividade porque percebi que não deveremos desistir. Afinal só temos é que pensar um pouco. Com este desafio aprendi ainda que a diagonal de um quadrado e o lado de outro quadrado com o dobro da área têm o mesmo comprimento.”

Importa então reflectir sobre a competência matemática destes alunos. Em qual dos casos será maior ou, tenha havido uma maior apropriação dessa competência?

O desenho seguinte resultou de uma actividade de desenvolvimento que pretendia a elaboração de uma figura composta apenas por quadrados. O único requisito é que qualquer quadrado na figura teria de lá ter o seu sucessor ou antecessor, isto é, o quadrado com o dobro ou com a metade da sua área.

Quanto mais depressa, mais devagar...

2008-08-18T19:09:00.024+01:00

Um aluno meu justificou o seu atraso à aula de matemática com a seguinte argumentação:
"habitualmente venho para a escola de bicicleta, mas hoje, à mesma hora, aceitei boleia de automóvel do meu vizinho. Fiquei convencido que iria chegar mais cedo uma vez que o carro anda quatro vezes mais depressa que a bicicleta. No entanto, a três quartos do percurso acabou-se a gasolina e tivemos que vir a pé. Ora, como a pé ando quatro vezes mais devagar que de bicicleta, acabei por chegar atrasado".

Não parece ser absurda esta argumentação para justificar os 6 minutos de atraso? Então, o tempo que veio a pé, apenas um quarto do percurso, não chegou a ser compensado pelo tempo que veio de automóvel? Caso fosse eu a ter a mesma infelicidade, não tenho dúvidas que esta argumentação não servia de nada, mesmo que tivesse feito mais de metade do caminho a pé. A única possibilidade para justificar a falta seria apresentar um atestado médico, mas não do automóvel, como se poderá pensar...

No caso do aluno, por me parecer ridículo e sem sentido a mesma exigência, após a análise à sua argumentação, não tive alternativa senão ter de a aceitar. Recomendei-lhe no entanto, o tempo que deveria considerar para sair de casa com antecedência, no caso de sair de bicicleta e no caso de sair a pé.

Por que razão foi aceite a argumentação do aluno e quais os tempos que teriam sido recomendados para sair de casa com antecedência de modo a ser pontual?

Proposta de resolução

Sinal de perigo

2008-08-12T11:17:00.011+01:00

São muitos os casos em que, na estrada, aparecem sinais de trânsito com informação que exige conhecimento matemático.

Também eu, quando tive de me preparar para o exame de condução, dei conta que um sinal triangular sugerindo uma descida e, acompanhado por um valor percentual, dá a indicação de uma situação de perigo devido à inclinação da descida que se aproxima ser demasiado acentuada. Por vezes, até é acompanhado de um painel adicional dizendo: “trave com o motor” ou “teste os travões”.

Imagine-se no ponto A da figura . Na sua opinião, que ponto ligaria ao ponto A para obter um declive que se aproxime daquele que é indicado no sinal de trânsito (10%)? E se o declive fosse de 100%, qual seria o ponto a ligar a A?

Proposta de resolução