Um momento de "matemática recreativa"

Hoje em dia, é reconhecido mundialmente a necessidade de qualquer país fazer fortes investimentos no sentido de elevar os índices de literacia matemática dos seus povos. Com um pouco de atenção, damos conta que qualquer comunicação, directa ou indirectamente, recorre a conceitos ou ideias matemáticas, sobretudo quando a mensagem é de conteúdo persuasivo. Valores estatísticos, ou o próprio número em si, acaba por ser um recurso fundamental na comunicação. É por isso que a comunicação matemática é hoje vista como sendo uma capacidade fundamental no currículo escolar de qualquer aluno.

Mas a comunicação matemática envolve conceitos matemáticos que, na maioria das vezes, não têm o mesmo entendimento entre receptores e emissores. Um exemplo muito vulgar é o recurso ao conceito de média para tornar o discurso mais convincente. No entanto, em grande parte dos casos não é pertinente a sua referência isolada, na medida em que a sua leitura não implica necessariamente alguma conclusão. Imagine-se o caso de um responsável de uma determinada empresa que, no seu discurso, para provar que os seus trabalhadores até são os mais bem pagos da região, recorre ao termo “média”. Na verdade, se o conceito de média for interpretado de forma correcta por todo o receptor, o argumento não seria suficientemente convincente dado que os vencimentos dos senhores gestores e administradores iludem os resultados apresentados.

Considere-se um exemplo mais simples. Quando se faz referência ao triplo de qualquer coisa, será que todos retêm a mesma ideia matemática? Não tenho dúvidas que a maior parte das pessoas responderia que se trata dessa coisa, três vezes. Outros, com um pensamento matemático igualmente válido, poderão pensar que se trata dessa coisa e ainda mais o seu dobro. No entanto, há quem pense que se trata de situações diferentes pelo simples facto de aparecer o conceito de dobro e o de triplo para explicar o mesmo fenómeno. Importa, pois, seleccionar o raciocínio que nos parece mais pertinente e adequado à mensagem que pretendemos transmitir de forma convincente, mas também inteligível.

Não serve de exemplo o que acontece no vídeo que se segue. Trata-se do Primeiro-Ministro de um país, a sua Ministra da Educação e um dos seus Secretários de Estado que divulgam um considerável aumento no rendimento subsidiário das famílias. A forma empolgada de o querer dizer, a iliteracia matemática que os limita, ou talvez não saberem ao certo o que querem comunicar, transformam uma comunicação simples em algo meramente difuso, onde eles próprios não se entendem…

Proponho assim o desafio ao leitor, depois de visionar o vídeo, poder interpretar a comunicação para tomar a decisão; o aumento do rendimento anunciado é de 100%, 200%, 300% ou 400%?

Mais um metro de perímetro

Que significado poderá ter o ente matemático 2πr? É normal que qualquer aluno, a partir do 2º Ciclo do Ensino Básico, diga que se trata do perímetro de um círculo cujo raio é r. Será que nos podemos dar por satisfeitos quando o aluno aplica a fórmula para calcular o comprimento de uma circunferência?

Tenho vários exemplos de alunos que aplicam bem a fórmula para o cálculo do perímetro quando lhes é dado o raio ou até o diâmetro. No entanto, porque razão grande parte destes alunos ficam sem resposta e outros arriscam com grande erro, quando lhes é pedido para fazerem uma estimativa sobre o número de diâmetros que cabem no perímetro de um dado círculo?

Na verdade, nem todos os alunos atribuem o mesmo significado a “pi”, embora saibam que é um valor aproximado de 3. Importa, pois, que o professor interrogue: três, quê?

Será que aqueles que são mais desenvoltos no domínio desta noção, de relacionar o perímetro de um círculo com o seu diâmetro, estão à altura de interpretar, em toda a sua plenitude, estas relações?

Eu estava convencido que não necessitava de reflectir mais sobre esta relação, até ao dia em que, já no ensino superior, o meu ilustre professor, Domingos Rijo, colocou à turma o seguinte desafio:

Imaginem uma esfera do tamanho do nosso planeta e que passamos uma corda em toda a sua volta de modo a obtermos o perímetro do seu maior círculo. A essa corda acrescentamos um metro de corda. Seguramente, vamos obter uma folga como ilustra a figura. Será que essa folga é suficiente de modo a passar por ela um gato?

Foi unânime a intuição matemática da turma em admitir que seria insignificante o aumento de um metro em todo aquele comprimento de milhares de quilómetros de corda. Portanto, a folga criada seria insuficiente para que passasse um gato.

A mesma experiência foi proposta numa bola de futebol. Da mesma forma, acrescenta-se um metro à corda que corresponde ao perímetro do círculo máximo da bola. Nesta segunda experiência, ninguém hesitou em reconhecer que a folga criada com o aumento da corda já seria mais que suficiente para passar um gato.

Mas, de acordo com o conhecimento da relação entre o diâmetro do círculo e o seu perímetro, podemos afirmar que está na razão aproximada de 1 para 3. Quer isto dizer que para um diâmetro com uma unidade de comprimento, obtemos um perímetro aproximado de 3 unidades de comprimento. Assim, na razão inversa, um perímetro de um círculo com uma unidade de comprimento, corresponde a um diâmetro aproximado de uma terça parte. Então, nas experiências anteriores, como o aumento do perímetro era o mesmo, implica um aumento no diâmetro no mesmo valor, isto é, aproximadamente uma terça parte de um metro.

Imaginando que a experiência era feita com uma bola de golf e admitindo que uma folga de 10 cm é o suficiente para um gato passar, de quanto se teria de aumentar a corda para que o gato pudesse passar entre a bola e a corda? E em relação ao mundo, quanto teria de ser esse aumento?