Actividade matemática com engrenagens

Para além do envolvimento do aluno em actividades significativas, o professor de matemática também tem como objectivo elevar o grau de abstracção dos seus alunos.

As engrenagens com rodas dentadas são o exemplo de situações pouco exploradas, mas que têm um grande potencial em relação a várias áreas no domínio cognitivo. Para além da abstracção, promove o sentido espacial, o raciocínio lógico e poderão ainda ser usadas na exploração e apropriação de conceitos matemáticos que fazem parte do programa nacional do ensino da matemática.

Refiro-me concretamente ao desenvolvimento do pensamento algébrico onde a noção de proporcionalidade e o estabelecimento de relações numéricas têm um papel relevante. A exploração deste tipo de tarefas propicia a formulação de generalizações tendo por base a sistematização e a organização do próprio pensamento.

Por exemplo, numa engrenagem constituída por rodas dentadas, algo se pode concluir em relação ao número de eixos envolvidos na engrenagem e o movimento relativo da última roda em relação à primeira.

Outro estudo, de maior interesse, é encontrar a relação entre o número de voltas da última roda dentada por cada volta da roda que desencadeia o movimento da engrenagem.

No caso específico, que se segue, é fácil reconhecer que para obtermos o número de voltas da roda B enquanto A dá uma volta, é necessário encontrar o quociente entre o número de dentes da roda A e o número de dentes da roda B (A:B). Conclui-se que a roda B dá meia volta enquanto a roda A dá uma volta completa.

Analisando uma engrenagem com 4 rodas dentadas, como no exemplo da figura seguinte, poder-se-á recorrer a uma tabela cujo preenchimento recorre à noção de proporcionalidade.

Fazendo a leitura da última linha da tabela fica-se a saber que o eixo D dá 1,6 voltas por cada volta completa de C. Pode-se ainda constatar, pela análise da figura, que se estabelecem 3 relações entre os quatro eixos: 1º-2º eixo, 2º-3º eixo e 3º-4º eixo. Assim, uma outra forma de sistematizar estas relações pode ser da seguinte forma:

Com um pouco de dedicação e capacidade de análise, o leitor com certeza que vai aceitar o seguinte desafio apenas com uma ligeira diferença em relação aos anteriores. Imagine, por exemplo, uma engrenagem composta por 5 eixos de rotação, havendo duas rodas dentadas sobre o mesmo eixo.

Qual o sentido de rotação do eixo F? Enquanto E dá uma volta, F dá mais ou menos que uma volta? Ou será que também dá uma volta?

Se eventualmente for professor, ainda sugeria outro tipo de abordagem como orientação metodológica numa fase mais avançada. Dispondo de 3 rodas dentadas de 9, 12 e 36 dentes, proponha a construção de uma engrenagem de modo que, uma volta completa de um eixo origine, em um outro eixo, quatro voltas completas, mas rodando no mesmo sentido.

A minha idade e a do meu avô - relações numéricas

Ortiga é uma povoação bem no centro de Portugal, próxima de uma barragem muito visitada, especialmente, pelos amigos da lampreia. Trata-se da Barragem de Belver. Foi na escola desta aldeia que há dias tive a oportunidade de assistir a uma aula muito interessante.

O professor estava consciente que seria uma grande surpresa se algum dos seus alunos conseguisse dar resposta à situação problemática proposta. No entanto, quando planeou aquela aula, o seu objectivo não era tanto a solução do problema, mas a possibilidade de os alunos poderem produzir matemática com interesse e motivação.

Em primeiro lugar esteve a interpretação do que foi apresentado e a análise da informação dada, criou-se espaço para a descoberta de regularidades e quase que se chegou a fazer generalizações. Foi mais um passo na capacidade de abstracção daqueles alunos.

Os alunos foram confrontados com algo de extraordinário que tinha sucedido em 1932. Nesse ano, o neto dizia para o avô que o número formado pelos dois últimos algarismos do ano em que nasceu era precisamente a sua idade. Nada de mais nesta constatação. O mais interessante é que o fenómeno que acontecia com o neto, também ocorria com o avô. O neto nem queria acreditar, mas rapidamente se rendeu à evidência demonstrada nos simples cálculos do seu avô. Afinal, que idades teriam eles?

O sincronismo das mentes daqueles alunos foi alcançado quando, depois de alguns palpites e de algum papel rasurado, juntamente com uma ou outra dica do professor surgiu uma tabela para organizar o pensamento.

A partir do ano 1932 foi feito o estudo sobre o que poderia acontecer se o nascimento do neto tivesse ocorrido nos anos imediatamente anteriores. Caso o nascimento fosse em 1931, então teria um ano, se fosse em 1930, teria 2 anos…

O aluno mais perspicaz foi ávido na constatação de que a soma dos números da coluna da direita (idade) e o número formado pelos dois últimos algarismos da data de nascimento era sempre 32. Então, os dois números (iguais) que se procuram resultam da divisão de 32 por 2, ou seja, 16. Fica descoberta a idade do neto.

Agora, todos estavam despertos para a descoberta do ano em que poderiam dizer que a sua idade seria igual aos dois últimos algarismos que formavam o ano do seu nascimento, bastava multiplicar por 2, esses algarismos. Um caso especial é um aluno que nasceu em 1998, 98x2=196

Também aqui se dá conta que o ano vai ser o de 96, mas do século seguinte. É a indicação dada pelo dobro de um número maior que 50. Neste caso, este aluno terá de esperar até ao ano 2096 para poder “casar a sua idade com ano do seu nascimento”. Mas este exemplo pode aclarar o nosso raciocínio para a descoberta da idade do avô. Seria um trabalho penoso continuar com a tabela até encontrar os números desejados. Aproveitando a regularidade descoberta, a idade do avô, no século anterior, vai ser o resultado da divisão de 132 por 2. Fazendo a verificação não ficam dúvidas que o avô em 1932 tinha 66 anos, sendo a sua data de nascimento em 1866.

Imagine-se agora que para tornar este problema num caso completamente excêntrico, o trisavô, caso fosse vivo, faria a mesma observação. Também neste caso, como é lógico, os dois últimos algarismos do ano em que nasceu eram os mesmos dois últimos algarismos da sua idade. Qual teria sido a data de nascimento do trisavô? E já agora, neste ano que decorre (2009), que idade poderá ser “casada” com o seu ano de nascimento?